食饵具有阶段结构的时滞捕食系统的Hopf分支

刘 娟，张子振，孙礼俊

(1．蚌埠学院数学与物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)

食饵具有阶段结构的时滞捕食系统的Hopf分支

刘 娟1，张子振2，孙礼俊1

(1．蚌埠学院数学与物理系，安徽蚌埠 233030；2．安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)

研究了一类食饵具有阶段结构和HollingII类功能性反应的时滞捕食系统．通过分析相关的特征方程，以捕食者的消化时滞为参数，讨论了系统正平衡点的局部稳定性和Hopf分支的存在性．进一步，利用规范型理论和中心流形定理，给出了确定Hopf分支方向和分支周期解稳定性的计算公式．最后利用仿真实例证明了理论分析结果的正确性．

阶段结构；时滞；Hopf分支；周期解

自然界中的许多生物个体在成长中都会经历幼年和成年两个阶段，所以具有阶段结构的种群模型更加具有实际意义．对具有阶段结构的种群模型的研究成果有很多[1-3]．文献[4]对一类食饵具有阶段结构的捕食系统（1）进行了研究，给出了系统稳定性和持久性的条件：

其中，x1( t)，x2( t)，y( t)分别表示未成年食饵和成年食饵及捕食者在时刻t的种群密度；a，a1，a2，b，b1，m，r，r1，r2均为正常数，具体生态含义可以参考文[4]；τ为捕食者消化时滞．

众所周知，动力系统的性质除了稳定性和持久性以外，还有其它重要性质，如系统的全局吸引性[5]、Hopf分支[6]以及周期解[7]等，尤其是周期解的性质，近年来受到了众多研究学者的关注，而文献[4]只是研究了系统的稳定性和持久性，并没有分析系统Hopf分支的存在性，以及Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性．基于此，本文在文献[4]的基础上，并考虑到捕食者的种内竞争，将对如下模型的Hopf分支的存在性与Hopf分支的周期解进行研究：

其中，c为捕食者的种内竞争系数，其它所有参数的含义均与系统（1）相同．

1 系统局部稳定性和Hopf分支的存在性

2 Hopf分支方向和分支周期解的稳定性

3 仿真实例

本节利用上述计算方法得到一些数据，再由Matlab软件绘制出系统的相图，以此验证系统的稳定性．将系统（2）的系数取特定的常数，可以得到系统（2）的一个实例系统（16）：

根据定理1可得理论上结论：当τ∈[0,4.7641)时，系统（16）的正平衡点E*(0.285 2, 0.101 0,1.250 0)是渐近稳定的；当τ＞4.764 1时，系统（16）的正平衡点E*是不稳定的．令初值为“0.45,0.12,2.25”，取τ=4.050 0，画出系统的波形图和相图，如图1所示，由图1可知正平衡点E*是渐近稳定的；取τ=4.950 0，画出系统的波形图和相图，如图2所示，由图2可知正平衡点E*是不稳定的．

图1 系统的波形图和相图 (τ=4.050 0)

图2 系统的波形图和相图 (τ=4.950 0)

另外通过计算得，μ2=7.2570＞0，β2=-1.770 7＜0，T2=1.830 5＞0．所以，由定理2可知，系统（16）在正平衡点E*(0.285 2,0.101 0,1.250 0)处的Hopf分支方向是超临界的，分支周期解是稳定的．

[1] Zhang L, Lin Z G. A Holling type II prey-predator model with stage structure and nonlocal delay [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(10): 5000-5010.

[2] 梁桂珍, 李坤. 非自治的具有阶段结构和时滞的捕食系统的动力学行为[J]. 大学数学, 2011, 31(3): 415-422.

[3] Zheng L F, Zhao H Y. Research on a predator-prey model with age-structure [J]. Journal of Biomathematics, 2011, 26(1): 48-56.

[4] Xu, R. Global dynamics of a predator-prey model with time delay and stage structure for the prey [J]. Nonlinear Anal. RWA. 2011, 12, 2151-2162.

[5] Zhu, Y L, Wang K. Existence and global attractivity of positive periodic solutions for a predator-prey model with modified Leslie-Gower Holling-type II schemes [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011, 384, 400-408.

[6] Ma Y F. Global Hopf bifurcation in the Leslie-Gower predator-prey model with two delays [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2012, 13(1): 370-375.

[7] Tian Y L, Weng P X. Stability analysis of diffusive predator-prey model with modified Leslie-Gower and Hollingtype III schemes [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 218(7): 3733-3745.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981: 190-205.

Hopf Bifurcation of a Time-lag Predator-prey System With Stage-structure for Prey

LIU Juan1, ZHANG Zizhen2, SUN Lijun1
(1. Department of Mathematics and Physics, Bengbu College, Bengbu, China 233030; 2. School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, China 233030)

This paper probes into a time-lag predator-prey system with stage-structure and Holling II functional response. The local stability and the existence of Hopf bifurcation are demonstrated by analysing the relevant characteristic equation and regarding the digestion-lag of predators as the parameter. Furthermore, the computational formula which determines the orientation of Hopf bifurcation and the stability of its periodic solution by utilizing the normal form method and center manifold theorem is provided. Finally, the validity of theoretical analysis result tends to be testified by means of simulation examples.

Stage-structure; Time-lag; Hopf Bifurcation; Periodic Solution

O175.12

A

1674-3563(2015)02-0028-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2014-05-05

安徽省教育厅自然科学研究项目(KJ2013B137)；安徽省教育厅自然科学研究项目(KJ2012B009)

刘娟(1976- )，女，江苏泗洪人，讲师，硕士，研究方向：生物数学