具有不同频率脉冲控制的周期环境下捕食系统的动力学性质

李远远，罗 勇，胡亦郑

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

具有不同频率脉冲控制的周期环境下捕食系统的动力学性质

李远远，罗 勇†，胡亦郑

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

研究了一类在周期环境下具有不同频率脉冲控制的综合害虫治理捕食系统模型，利用脉冲微分方程相关理论，分别给出了不同策略下害虫灭绝周期解的存在性与全局渐近稳定的充分条件，用数值模拟分析了系统参数、害虫和天敌的残存率、喷洒杀虫剂的次数等对临界值的影响．

脉冲控制；综合治理；全局渐近稳定；捕食系统

综合害虫管理策略（IPM）是一套害虫治理系统．这个系统考虑到害虫的种群动态及其有关环境，利用适当方法和技术，采用尽可能互相配合的方式来控制害虫种群，使其不引起经济危害．害虫综合治理主要包括生物防治和化学控制等方法．天敌助增（天敌的人工繁殖和释放）是近年来备受重视的生物防治的一个领域，因其可避免使用化学药剂带来的问题而日益受到重视．化学控制是通过喷洒杀虫剂来控制害虫，它能使害虫数量迅速减少，尤其当害虫数量太大，释放天敌数量不足以控制害虫时，必须使用杀虫剂来控制害虫．实践证明，IPM比任何一种经典方法（如化学控制，生物控制）都更加有效[1-2]．已有许多学者对具有固定时刻脉冲的综合害虫管理模型进行了研究，并且取得了显著的成就[3-8]，其中文[7]建立周期环境下捕食系统模型，研究了固定时刻脉冲下内禀增长率改变时的捕食系统的害虫根除周期解的存在性与全局稳定性．文[8]考虑害虫感染疾病，研究了具有脉冲控制的害虫-天敌相互作用和食饵-害虫相互作用的害虫治理SI模型，得出易感害虫灭绝周期解存在性与全局吸引性的阈值条件以及控制参数对阈值条件的影响．本文基于文[7]和文[8]模型，建立不同频率使用杀虫剂和释放自然天敌的两种脉冲控制策略来治理害虫，利用Floquet理论[9]和脉冲微分方程比较定理[10]和分析方法，系统研究了所提出模型的动力学性质，给出了两种策略下的害虫灭绝周期解的存在性和全局渐近稳定的充分条件．

1 模型建立

本文考虑如下具有不同频率脉冲控制的周期环境下捕食系统模型：

其中x( t),y( t)分别为t时刻害虫和天敌种群数量；r, a, b, c, d均为正常数，a+rsinωt为害虫的内禀增长率在周期环境下的变化，b为捕食率，h是消化率，d是捕食者的死亡率，λbx( t)(1+bhx( t))是食饵的转化率；q1和q2分别是喷洒农药时害虫和天敌的存活率，τ为按常数投放天敌，q3为按比例投放天敌，τ,qi( i =1,2,3)与捕食者的种群数量无关，τ＞0,0≤q1＜1，0≤q2＜1,q3≥1；τn为喷洒农药的时刻，λm为释放天敌的时刻．

根据投放天敌与使用杀虫剂不同频率的使用模式来研究捕食系统的害虫根除周期解的存在性，找出全局渐近稳定的的充分条件，分析不同频率脉冲控如何影响害虫控制策略．

情况1 杀虫剂的使用比自然天敌释放更频繁．

假设：∀m∈Z+，λm+1-λm=TM，其中TM是天敌的释放周期，如果存在一个正整数kp使得τn+kp=τn+TM，即在每个释放天敌TM周期内喷洒kp次杀虫剂，那么称系统（1）为TM周期系统．

情况2 自然天敌的释放比杀虫剂的使用更频繁．

假设：∀n∈Z+，τn+1-τn=TN，其中TN是杀虫剂的喷洒周期，如果存在一个正整数kq使得λm+kq=λm+TN，即在每个杀虫周期内释放kq次有病害虫，那么称系统（1）为TN周期系统．

情况3 喷洒杀虫剂的周期和投放自然天敌的周期不同．

假设：∀m∈Z+，λm+1-λm=TM，且∀n∈Z+,τn+1-τn=TN，其中TM是天敌的释放周期，TN是杀虫剂的喷洒周期．令ρ=TMTN，那么ρ是有理数或是无理数．若ρ是有理数，那么ρ=p q，且p与q是互素的，此时令T0=pTN=qTM，则系统（1）是T0周期系统．因此，若ρ是有理数，系统（1）可以应用情况1或情况2的方法进行研究；若ρ是无理数，那么系统（1）就变得十分复杂，对于这种特殊的情况，我们不做考虑．

2 情况1的动力学性质分析

情况1中，每个TM天敌释放周期内喷洒kp次杀虫剂，考虑到实际生物意义，令kp≥1．首先，考虑（1）的子系统：

3 情况2的动力学分析

4 数值模拟

为了更好了解喷洒杀虫剂的次数和投放天敌的比例及个数，通过以下数值模拟来进行分析．

图1 喷洒杀虫剂的次数和系统参数对临界值的影响

图1（a – c）中，只改变害虫残存率（q1），其他参数设为a=1.35，r=0.219，b=1.2，d=0.28，q3=1，τ=7，TM=19．图1（a – c）中，选择天敌的残存率q2=0.98时，只让q1变化，其他参数不变，发现图1（b）中存在一个最优的喷洒杀虫剂次数，这时喷洒杀虫剂的次数增加或者减少反而可能导致害虫爆发．如果再继续增加或者减少杀虫剂的剂量，临界值R0关于喷洒次数则变为单调了．可以看出，合理选择参数至关重要．图1（d – f），只让q2变化，发现天敌的残存率对临界值R0的影响比较大，当q2=0.89时，临界值关于喷洒杀虫剂的次数是单调递增函数；当q2增大到0.95时，临界值关于喷洒杀虫剂的次数是单调递减函数；而当q2=0.92时，图形是一个非单调函数，这暗示着要慎重选择喷洒杀虫剂次数．

图2 喷洒杀虫剂次数对临界值的影响

图2说明害虫q1和天敌的残存率q2、喷洒杀虫剂次数kp、系统的周期TM对临界值的影响．图2参数如下：（a）q2=0.96，TM=19，τ=7；（b）q1=0.7，TM=19，τ=7；（c）q1=0.7，q2=0.93，TM=19；（d）q1=0.7，q2=0.92，τ=7．在图2（b）和（c）中让天敌的残存率q2和投放常数τ变化，可以发现临界值是随着天敌的残存率q2和投放常数τ的增大而减小；在（a）和（d）中临界值随着喷洒杀虫剂的次数kp增加而减小，随着天敌的残存率q1和系统周期TM的增大而增大．也就是说，为了更好地控制害虫，我们应该增加固定周期内天敌的投放量，或者增加喷洒杀虫剂的次数或者缩短周期的长度，从而使经济危害最小．

5 结 论

种群增长必然会受到季节、气候、食物资源等周期波动的影响．本文研究了一个在周期环境下固定时刻脉冲的综合害虫治理捕食系统模型，讨论了不同频率使用杀虫剂和投放自然天敌两种脉冲控制策略，得到了系统在两种策略下根除害虫周期解存在与全局渐近稳定的充分条件．在实际的害虫治理问题中，了解害虫的生物、化学控制之间的相互作用至关重要．文中的数值模拟分析了系统参数、害虫和天敌的残存率、喷洒杀虫剂的次数等对临界值的影响，这些结果对人们在控制害虫时合理选择喷洒杀虫剂次数及农药类、投放天敌常数、脉冲周期提供一定帮助．

[1] Xiao Y N. The dynamics of an ecoepidemic modle with biological control [J]. Ecol Modle, 2003, 168: 203-214.

[2] Barclay H J. Modles for pest control using predator release, habitat management and pesticide release in combination [J]. Appl Ecol, 1982, 19: 337-348.

[3] Tang S Y, Chen L S. The periodic predator-prey lotka-volterra modle with impulsive effect [J]. Journal of Mechani-cs in Medicine and Biology, 2002, 2(4): 267-296.

[4] Wang F Y, Zhang S W. Conversion from fixed periodic impulsive differential equations to state-dependent impulsive equations and applications [J]. Journal of Biomathematics, 2005, 20(2): 173-179.

[5] Tang S Y, Tang G Y, Robert A. C heke, optimum timing for integrated pest mangement: modelling rates of pesticide application and natural enemy releases [J]. Journal of Theiretical Biology, 2010, 264(2): 623-638.

[6] 李暢通. 一类具有脉冲的捕食与被捕食系统的动态行为[J]. 西安工程大学学报, 2010, 24(5): 673-675.

[7] 戴飞, 李畅通. 周期环境下的最优的脉冲控制策略[J]. 西安工程大学学报, 2012, 32(9): 689-693.

[8] 王毅, 刘兵, 康宝林. 具有不同频率脉冲控制的害虫治理S-I模型的动力学性质[J]. 生物数学学报, 2013, 28(1): 53-60.

[9] 桂占吉, 王凯华, 陈兰荪. 病虫害防治的数学理论与计算[M]. 北京: 科学出版社, 2014: 70-71.

[10] 宋新宇, 郭红建, 师向云. 脉冲微分方程理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2011: 19-32.

Dynamic Behaviors of a Predator-Prey System under the Condition of Periodic Environment with Impulsive Control of Different Frequency

LI Yuanyuan, LUO Yong, HU Yizheng
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper tends to study the comprehensive pest prey-predator system model with impulsive control of different frequency under the condition of periodic environment. With the theory of impulsive differential equations, the existence of pest extinction periodic solution and the sufficient condition of global asymptotic stability were obtained under different strategies. By the numerical simulation result, the impact of system parameters, survival rate of pests and natural enemies, and the numbers of the spraying on the critical value were respectively analyzed.

Impulsive Control; Integrated Management; Global Asymptotic Stability; Prey-predator System

O193

A

1674-3563(2015)02-0036-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.006

(编辑：封毅)

2014-04-26

国家自然科学基金(11001204)

李远远(1986- )，女，河南新蔡人，硕士研究生，研究方向：生物数学．† 通讯作者，luoyong@wzu.edu.cn