一类具有脉冲接种和非线性传染率的SEIR传染病模型的分析

王寿斌，王丽敏，张 娣

(兰州交通大学数学系，甘肃兰州 730070)

一类具有脉冲接种和非线性传染率的SEIR传染病模型的分析

王寿斌，王丽敏，张 娣

(兰州交通大学数学系，甘肃兰州 730070)

研究了一类具有脉冲接种和非线性传染率的SEIR传染病模型，利用Floquet乘子理论和脉冲微分系统比较定理，证明了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性的条件．

非线性传染率，脉冲接种，周期解，持久性

传染病的流行给人类和动物的生存带来了巨大的灾难，为了对传染病进行控制，常常在给定的时间点进行预防接种，在每个接种时刻，用很短的时间给种群提供疫苗，一部分易感者获得了免疫力而成为移出者．脉冲接种作为一种有效预防和控制传染病的手段，许多学者[1-11]对具有脉冲接种的动力学行为作了相关研究．在文献[1-5]中给出了模型的阈值，并分别得到了无病周期解的存在性，无病周期解的全局吸引性质．在文献[6]中是对一类具有非线性传染率的传染病模型的定性研究．文献[7]讨论了一类潜伏期和传染期均有传染力的传染病模型．文献[8]则对一类潜伏期、染病期和恢复期均有传染力且传染率是一般传染率的传染病模型的稳定性进行了讨论．文献[9]研究了具有垂直和水平传染的SIR传染病模型，在脉冲接种的情况下，对系统周期解进行了分析．文献[10]则是对具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型，研究了其周期解的存在性和稳定性，通过分叉理论，给出了超临界分叉发生条件，得到了决定疾病流行与否的阈值．在文献[11]中是对一类具有非线性传染率的脉冲免疫接种的SIRSV模型的无病周期解、全局稳定性和系统的持续生存做了研究．本文考虑了具有垂直传染、潜伏期和恢复期内的染病者具有传染力的SEIR模型，应用Floquet乘子理论和脉冲微分系统比较理论，研究了模型的动力学行为，得出模型无病周期解的存在性和全局稳定性的条件，并通过文献[11]中理论来判定系统的一致持久性，最后应用文献[12]中讨论接种策略的方法，通过控制接种比例，应用脉冲接种方法，进而选择适当的接种间隔期，以达到防控效果．

1 模型的建立

根据不同阶段流行病的特征，假设种群分为四类：易感者类、潜伏者类、染病者类、恢复者类．染病能获得免疫力，但恢复者不能获得终生免疫，无因病死亡．根据以上假设，可得SEIR传染病模型的脉冲微分方程为：

其中b,μ,ω,β,α,η,δ,γ,p,q 为正参数，且0＜p＜1，0＜q＜1．b为出生率，μ表示自然死亡率，ω为染病者进入染病者仓室的比例，η表示种群因病死亡率，δ表示因病治愈所获得免疫的平均丧失率系数，α＞0,γ＞0分别表示发病率和恢复率，q表示垂直传染率，p表示nτ时刻成功接种比例．τ是脉冲接种周期，τ+是应用脉冲接种的时间．本文所引用的非线性传染率βSIφ(I)是βIpS(1+aIp)的推广[6]，并且当φ(I)=1时，该传染率为双线性传染率．假设函数φ(I)满足φ(0)=1，即对于I≥0有φ(I)≥1．1φ(I)表示当染病者的数量增加时，易感者的行为变化将阻碍传染，即易感者和染病者间的接触会减少．

由于系统（1）的前三个方程均不含R，所以只需考虑系统（1）的子系统：

而系统（2）的初始条件为：(φ1( θ),φ2( θ),φ3( θ))∈C+=C([-τ,0],R),φi( θ)＞0,i =1,2,3．

考虑到模型的生物学意义，则系统（2）的可行区域为：

易知Ω为正不变集．

当系统（2）无染病者，即E=I=0时，系统（2）变为：

2 无病周期解的稳定性

3 一致持续生存

4 结论和讨论

本文利用Floquet乘子理论和脉冲微分系统比较定理，证明了无病周期解的存在性和全局渐近稳定性的条件：

（1）当R2＜1时，系统（2）的无病周期解(ˆ(t),0,0)是全局吸引的；当R1＜R2＜1时，系统（2）的无病周期解(Sˆ(t),0,0)全局渐近稳定的．

（2）当R2＞1时，系统（2）是持久的．

系统持久性从生物学意义来看通俗的是指传染病蔓延、发展成为地方病，即在一段时间内，感染者数量一直保持一定水平．对于潜伏期、染病期和恢复期有传染力的疾病，不但要控制染病期的病人，还要控制潜伏期和恢复期的病人，才能更加有效的控制疾病蔓延．若疾病在潜伏期的传染力越小，即模型（1）中的ω,β值越小，阀值也越小，越有利于疾病的消除；反之，则不然．而预防接种是一种行之有效的控制疾病的方法，在文献[12]中讨论接种策略的方法，通过控制接种比例p(p＜p*)，其中p*=(R2-1)(eμτ-1)，来控制疾病，应用脉冲接种策略，选择适当的接种间隔期，来预防控制疾病蔓延成地方病，来达到防控效果．

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Analysis of an SEIR Epidemic Model with Pulse Vaccination and Nonlinear Infectious Rate

WANG Shoubin, WANG Limin, ZHANG Di
(Department of Mathematics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

In this paper, an SEIR epidemic disease model with nonlinear infectious rate and pulse vaccination is investigated. Based on Floquet multiplier theory and comparison theorem of impulsive differential equation, the research proves that the existence of the disease free periodic solution and conditions of overall asymptotic stability are meanwhile involved.

Nonlinear Infectious Rate; Pulse Vaccination; Periodic Solution; Persistence

O175

A

1674-3563(2015)02-0044-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.007 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2014-12-09

国家自然科学基金资助项目(11061017)

王寿斌(1990- )，男，甘肃武威人，硕士研究生，研究方向：生物数学