利用MATLAB拟合压实黄土土水特征曲线的研究

许淑珍,白晓红,2,马富丽

(1.太原理工大学 建筑与土木工程学院,太原 030024;2.黄土地区公路建设与养护技术交通行业重点实验室,太原 030006)

利用MATLAB拟合压实黄土土水特征曲线的研究

许淑珍1,白晓红1,2,马富丽1

(1.太原理工大学 建筑与土木工程学院,太原 030024;2.黄土地区公路建设与养护技术交通行业重点实验室,太原 030006)

为了找到准确且简便的拟合压实黄土的SWCC的模型与方法,利用压实黄土入渗试验得到的体积含水率与基质吸力的数据,选用MATLAB的lsqcurvefit,nlinfit和fminunc三种函数为拟合方法,分别拟合了适用性较广的van-Genuchten模型和Gardner模型的土水特征曲线,并进行了拟合比较。结果表明,在本课题研究范围内,利用fminunc函数采用Gardner模型拟合压实黄土SWCC效果最好；平行试验数据的验证结果表明误差小于10%。利用MATLAB的fminunc函数通过Gardner模型拟合压实黄土土水特征曲线是一个既方便又准确的方法。

压实黄土;土水特征曲线;MATLAB;拟合

土水特征曲线(Soil-water characteristic curve,以下简称SWCC)定义为土的含水量与土的吸力之间的关系曲线[1]。非饱和土的性状如非饱和土的渗透、抗剪强度和持水特性都与其SWCC存在一定的关系[2],由土水特征曲线可以得到非饱和土的抗剪强度、渗透系数、体积变化等性质[3-6]。因此,SWCC是描述非饱和土特性的一个关键性指标曲线。获得SWCC有直接量测法和经验公式法,但直接量测费时费力,也具有不稳定性,而用经验公式来拟合SWCC既稳定又方便快捷。常用的经验公式有:Brooks-Corey模型[7],Gardner模型[8],van-Genuchten模型[9],McKee和Bumb模型[10]等。但是不同的模型适用于不同的土类,其中Brooks-Corey模型对具有较窄孔径分布的均质和各向同性的粗质样本较理想,而对于细质土壤和未扰动的原状土通常精度较差;Gardner模型由于形式简单,应用最多;van-Genuchten模型具有广泛的适用性,尤其对于细粒土具有很高的拟合精度,亦适合吸湿曲线；McKee和Bumb模型在低吸力范围拟合效果较好,不过只适合粗颗粒土[11-12]。文献[13]通过对压实黄土的SWCC研究发现Gardner模型和van-Genuchten模型拟合压实黄土效果较好。

对于各种模型参数的拟合,通过数值计算求解参数,一般较为复杂繁琐,而且容易出现无解的情况,因此可以运用计算机程序对其求解。文献[14]通过数值试验与试验数据的比较,证实了在不同条件下含水率和基质吸力的预测结果差异明显,因此需要找到一种具有一定稳定性的拟合土水特征曲线的方法。MATLAB软件是一种被广泛使用的软件,它包涵大量的拟合函数,可以使我们在拟合参数时工作大大简化,不需要花大量时间去考虑拟合方法和编制程序,有程序开发环境简洁直观、数值稳定性好和函数资源丰富的特点。综上所述,笔者选用MATLAB中的lsqcurvefit,nlinfit和fminunc三种函数[15]为拟合方法，对Gardner模型和van-Genuchten模型进行参数拟合,旨在找到一种适合压实黄土SWCC的拟合模型与拟合方法,为压实黄土SWCC拟合方法提供参考。

1 SWCC模型

1.1 van-Genuchten模型

van-Genuchten通过对SWCC的研究,提出非饱和土体积含水率与基质吸力之间存在式(1)所示的函数关系：

(1)

式中:Se为有效饱和度;θ为体积含水率;θr为残余含水率;θs为饱和含水率;ψ为基质吸力,kPa;a,m,n为拟合参数,其中a与空气进气值有关,kPa,且m=1-1/n。

式(1)表示的土体体积含水率与基质吸力的关系称为van-Genuchten模型。

1.2 Gardner模型

Gardner模型表达式如式(2)所示：

(2)

式中:Se,θ,θr,θs,ψ的含义和van-Genuchten模型中的一致;a,n为拟合参数,其中a与空气进气值有关,kPa。

2 SWCC拟合方法

MATLAB软件是一套可以实现数值分析、优化、统计、偏微分方程数值解等领域的计算和图形显示功能的软件包,它集矩阵运算、数值分析、图形处理和编程功能于一体,是一种功能强大的分析、计算和程序设计工具,其语言表达形式简单,不需要复杂的编程,且函数形式分类成库,使用时直接调用这些函数并赋予实际参数即可快速解决问题。

对于SWCC的拟合,笔者使用了MATLAB中的三种函数,分别是非线性最小二乘数据回归拟合函数nlinfit、非线性最小二乘曲线拟合函数lsqcurvefit和非线性规划函数fminunc三种方法来进行SWCC参数的求解。

方法1:nlinfit函数是Matlab统计工具箱中的非线性回归函数,依据最小二乘法求解,最小二乘问题就是对由若干个函数的平方和构成的目标函数求极小值的问题,基本算法是Guass-Newton法。其调用格式为[Parameters,r,j]=nlinfit(xdata,ydata,‘fun’,Parameters0),其中xdata,ydata是拟合点数据,Parameters0是初始参数,fun是被拟合的函数。

方法2:lsqcurvefit是Matlab优化工具箱中的函数,它同样采用最小二乘法来求解非线性函数的参数,基本算法是Guass-Newton法和Levenberg-Marquardt法。其调用格式为[Parameters,resnorm]=lsqcurvefit(@fun,Parameters0,xdata,ydata),其中xdata,ydata是拟合点数据,Parameters0是初始参数,fun是被拟合的函数。

方法3:fminunc是Matlab优化工具箱中的函数,求解无约束优化问题,其基本算法是共轭梯度法、牛顿法和拟牛顿法。其调用格式为[Parameters,fval]=fminunc(‘fun’,Parameters0)；Parameters0是初始参数,fun是目标函数。

3 SWCC的拟合结果与分析

3.1 数据来源

数据是通过室内一维土柱入渗试验得到的。土柱规格:高80 cm,直径150 cm;土样的体积含水率和基质吸力是通过安装在土柱两侧的体积含水率传感器和孔压传感器测定的。试验用土为黄土状粉土,其颗粒组成如表1所示。

表1 土的颗粒组成

3.2 SWCC参数拟合结果

拟合效果好坏的评判是通过求参结果所建立的模型计算值与实测值之间的残差平方和来分析判断,残差平方和越小,结果适应性越高,效果越好。

3.2.1 nlinfit函数对数据的拟合效果

用nlinfit函数对试验测得的数据进行拟合,如图1所示。拟合参数如表2所示。

图1 nlinfit函数拟合的SWCC

表2 nlinfit 函数拟合的SWCC的关键参数

参数Gardner模型van⁃Genuchten模型θr-0 0499-0 2754θs0 27680 2768a322 58277 78n1 80831 8055残差平方和4 1229×10-64 1227×10-6

由表2可以看出,nlinfit函数拟合的结果,两种模型中的残余含水率θr均为负数,其结果没有意义。因此,表明nlinfit函数拟合效果不好。

3.2.2 lsqcurvefit函数对数据的拟合效果

用lsqcurvefit函数对同一组数据进行拟合,拟合曲线如图2所示,拟合参数如表3所示。

图2 lsqcurvefit函数拟合的SWCC

表3 lsqcurvefit 函数拟合的SWCC的关键参数

参数Gardner模型van⁃Genuchten模型θr0 24310 0540θs0 28070 2750a107 53101 01n0 98051 0331残差平方和4 3414×10-62 0149×10-5

由表3可见关键参数均为正数,结果有意义。首先,残差平方和 Gardner模型为4.341 4×10-6,van-Genuchten模型为2.014 9×10-5,均远远小于0.000 1,且θs即饱和含水率相近,说明两种模型在低吸力范围的拟合效果都很好。其次,拟合所得的两个模型的θr即残余含水率相差较大,表明高吸力条件下两种模型拟合效果相差较大。结合图2可知,用lsqcurvefit函数拟合,两种模型的拟合效果相比,Gardner模型对数据拟合效果更好,曲线更符合SWCC的特征,而van-Genuchten模型所得曲线形式不符合SWCC的特征,所以不适用。

3.2.3 fminunc函数对数据的拟合效果

用fminunc函数对同一组数据进行拟合的结果如图3和表4所示。

图3 fminunc函数拟合的SWCC

表4 fminunc 函数拟合的SWCC的关键参数

参数Gardner模型van⁃Genuchten模型θr0 15170 1000θs0 27950 2800a500 00101 01n0 99981 2005残差平方和4 2356×10-64 2799×10-6

由图3和表4可知,用fminunc 函数拟合的结果无论是Gardner模型还是van-Genuchten模型整体效果均为相近。拟合残差平方和均远远小于0.000 1,分别为4.235 6×10-6和4.279 9×10-6,且饱和含水率θs几乎一样,说明两种模型在低吸力范围的拟合效果都很好。其次,残余含水率θr相近;拟合参数n和a,亦相近;两种模型拟合曲线形状整体相似,只有在高吸力范围有一些差距。因此用fminunc函数来拟合更具有稳定性。考虑到Gardner模型参数相对较少且物理意义明确,整体拟合效果较van-Genuchten模型更好。

3.3 SWCC参数拟合结果验证

为了进一步确定拟合结果的正确性,用同一土料所做另外一个平行的一维土柱试验的数据来验证,即将数据代入用fminunc函数拟合Gardner模型土水特征曲线得到的表达式中,比较计算值与实测值的误差。

表5为平行验证试验的体积含水率的实测值、拟合公式的计算值以及两者的误差。由此可知,实测值与计算值误差在6.71%～8.82%之间,平均为7.69%,小于10%,说明使用fminunc函数以Gardner模型来拟合压实黄土的SWCC是准确且稳定的。

表5 fminunc 函数拟合的Gardner公式误差列表

4 结论

通过MATLAB软件中的nlinfit函数,lsqcurvefit函数和fminunc函数分别利用Gardner模型和van-Genuchten模型来拟合压实黄土的SWCC,结果表明:

1) 利用fminunc函数及Gardner模型和van-Genuchten模型来拟合压实黄土的SWCC曲线整体效果良好,两种模型的拟合参数相近,曲线整体形状符合SWCC的特征,因此用fminunc函数拟合压实黄土SWCC具有可行性。

2) Gardner模型和van-Genuchten模型相比,虽然van-Genuchten模型的使用范围更广,但对于压实黄土而言,实测数据一般在低吸力范围较小且数据量较少；而Gardner模型因其参数少,整体效果反而更好。

3) 通过试验数据的验证,利用fminunc函数采用Gardner模型来拟合压实黄土的SWCC的误差小于10%,具有较好的精度和稳定性。

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(编辑：朱倩)

Study of Fitting Soil-water Characteristic Curves for Compacted Loess by MATLAB

XU Shuzhen1,BAI Xiaohong1,2,MA Fuli1

(1.CollegeofArchitectureandCivilEngineering,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China;2.KeyLaboratoryofHighwayConstruction&MaintenanceTechnologyinLoessRegion，Taiyuan030006,China)

Three functions in MATLAB,i.e.lsqcurvefit,nlinfit and fminunc,were used to find a convenient and accurate way to fit soil-water charactieristic curve(SWCC) of compacted loess,by using van Genuchten model and Gardner model separately.The fitting data of volumetric water content and matrix suction were obtained by one dimensional infiltration test of compacted loess.The analysis on fitting effects shows that the fitting result of Gardner model by fminunc function is the best among the methods used in this study.Finally,the data from a parallel test were used to verify the fitting formulae.The errors between calculated and measured data are less than 10%,which further verifies that Gardner model fitting SWCC of compacted loess by using fminunc of MATLAB is convenient,stable and accurate.

Compacted loess；SWCC;MATLAB；Fitting

2014-05-24

国家自然科学基金资助项目：压实黄土的工程力学特性及微观结构研究(51178287)；黄土地区公路建设与养护技术交通行业重点实验室开放题(KLTLR-Y12-1)；山西省自然科学基金资助项目(2010011029)

许淑珍(1990-)，女，山西霍州人，在读硕士，主要从事压实粉土的工程性质试验的研究，(E-mail)xushuzhen0221@link.tyut.edu.cn

白晓红，教授，博士生导师，(E-mail)bxhong@tyut.edu.cn

1007-9432(2015)01-0081-04

TU441

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.01.016