高三复习课“函数的对称性”的教学设计与反思

张征

高三复习课不仅要复习旧知识，还要提升学生的认知水平和能力。本节课重在引导学生对知识自主归纳、总结和探究，提升学生数学思维能力和对数学本质的理解。下面从教学内容、学情分析、教学过程、教学反思几个方面进行说明。

一、教学内容

函数的奇偶性、周期性和对称性是函数的重要性质，是研究函数的重要工具，也是高考热点。本节课是在复习了奇偶性、单调性、周期性及基本初等函数后的一节内容，也是函数性质的综合应用。

二、学情分析

学生对函数对称性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思维能力弱，对问题隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用，原因是不能将符号化的语言向描述性语言或图形语言转化。基于以上分析制订了本节课的重点和难点。

重点：函数对称性等性质综合应用和符号化语言的转化。

难点：掌握描述性的语言和符号语言之间的转化。

三、教学过程

1.师生共同探究

例.函数f（x）=x2+bx+c对于任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），则f（1），f（2），f（4）大小关系是 。

（1）设计意图

从学生熟悉的二次函数对称引导其关注自变量，掌握符号化语言和描述性语言之间的转化，正确理解f（1+t）=f（1-t），从“关注函数自变量具有什么关系时函数值才能相等”的代数角度分析对称。

（2）問题启发

①现在的问题是什么？

②一般的，如何比较几个数的大小？

③这几个数是二次函数的函数值，如何比较大小？

④如何判断二次函数的单调性？

⑤如何理解f（1+t）=f（1-t）这个数学表达式？它反映了函数的什么性质？

（3）反思

学生一般先画图，教师可追问上面的问题，帮助学生转化符号语言：在x轴上，自变量所取的两个值在轴上所对应的点是以1为中点，其对应的函数值相等。对任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），图象又有什么特征？显然图象关于x=1对称。故函数在（1，+∞）上单调递增，则f（1）

由上例可知：若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x）， 则图象关于直线对称。教师可继续启发并由学生自主探究。

追问1：若函数数f（x）满足f（2-x）=f（x），图象有什么特点？你是怎样发现的？

追问2：你能写出“函数f（x）关于直线x=a对称”的数学表达式吗？

结论1：f（x）图象关于x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（2a-x）=f（x）。

2.小组合作，自主探究

【探究一】

例1.若函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），图象有什么特征？你是怎样发现的？

（1）设计意图

引导学生分析自变量，得到函数图象中心对称，培养其观察探究能力与合作精神。充分思考并对比结论1符号化语言的意义，探究自己的结论。

（2）问题启发

在x轴上，自变量所取两个值所对应的点还是以1为中点，且其对应的函数值相等吗？如果不是，哪些地方变了？（在x轴上，自变量所取两个值所对应的点以1为中点，函数值互为相反数，故关于点对称）。

结论2：函数f（x）图象关于点（a，0）对称的充要条件是f（a+x）+f（a-x）=0，即f（x）+f（2a-x）=0

追问：你还能说出函数f（x）的图象关于点（a，b）对称的充要条件吗？[f（x）=f（2a-x）=2b]

（3）反思： 学生类比引例，得出关于点对称的充要条件，教师可指导学生多表达。

【探究二】

例2.在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）（ ）

A.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（1）设计意图

巩固对称性的符号表达，引导学生探究两次轴对称可得到周期性。

（2）问题启发

①现在的问题是什么？

②一般的，如何判断函数的单调性？

③这个函数没有给解析式，怎样判断它在某区间上的单调性？

④画出示意图，还能得出什么结论？为什么会产生周期？

⑤你能说出一个一般性结论吗？

结论3：若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2a-b是其一个周期。

（3）反思

教师搭建问题台阶，引导学生数形结合，发现周期性和对称性的关系。

【探究三】

例3.设y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）= （ ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

（1）设计意图

引导学生对已知一段解析式的函数性质进行探究。发现具有周期性的奇函数也具有对称性。

（2）问题启发

①现在的问题是：已知自变量的取值求函数值。

②一般的，如何求函数值？

③这个函数的解析式是已知的吗？

④只知道函数在一段区间的解析式，怎么求其他区间上的函数值呢？

（3）反思

高考常考查分段函数的周期性和对称性，学生利用周期性和奇函数易得结果，但画图得知函数有周期且为奇函数，故得知又有对称性。

3.归纳小结

师生共同总结，追问“我们为什么要学习奇函数和偶函数？”目的是研究函数对称性的本质，关注函数自变量间的关系，注意符号化语言的理解和转化，提升学生对函数本质的理解。

总之，本节课学生通过师生共同探究、自主探究、总结函数的性质，对函数的对称性达到更深层次的理解，进一步掌握符号化的数学语言和描述性的数学语言之间的转化，并能用函数的思维解决函数的问题。

？誗编辑 李 姣