一道浙江竞赛题引发的思考

沈小红 计惠方 (湖州市王勇强名师工作室 浙江湖州 313000)



一道浙江竞赛题引发的思考

沈小红 计惠方 (湖州市王勇强名师工作室 浙江湖州 313000)

2015年浙江省高中数学竞赛中有这样一道形式优美，入口平宽，解法众多，创意新颖,内涵丰富的好试题.

1)求椭圆C1的方程；

2)若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标．

消去y得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

从而

Δ1=16(4k2-m2+1)=0,

即 4k2-m2+1=0.

(1)

联立方程组

消去y得

从而

(2)

经检验A(0,2)或A(0,-2)符合题意，故所求点A的坐标为(0,2),(0,-2).

联立方程组

消去y得

令Δ=0解得

经检验A(0,2),或A(0,-2)符合题意，故所求点A的坐标为(0,2),(0,-2).

1 赛题的另解

图1

经检验A(0,2)或A(0,-2)符合题意，故所求点A的坐标为(0,2),(0,-2).

2 赛题的推广

消去y得

(b2+a2e2)x2+2a3ex+a4-a2b2=0，

即

x2+2cx+c2=0,

证明 当公切线l的斜率不存在时，显然不满足题意.当公切线l的斜率存在时，可设直线l的方程为

y=mx+n(其中m,n∈R)，

消去y得

(a2m2+b2)x2+2a2mnx+a2n2-a2b2=0,

(3)

从而

Δ1=4(a2m2-n2+b2)=0,

即a2m2-n2+b2=0.

(4)

消去y得

(1+m2)x2+2(mn-c)x+n2-a2=0，

从而

Δ2=4(a2m2+a2-2mnc+c2-n2)=0,

即a2m2+a2-2mnc+c2-n2=0.

(5)

a2m4+b2m2-c2=0，

即

故

因此曲线C1,C2的公切线有且仅有2条，其方程分别为

l1:y=ex+a和l2:y=-ex-a.

3 赛题的引申

消去y得

(b2-a2e2)x2-2a3ex-a4-a2b2=0，

即

x2+2cx+c2=0,

证明同命题1′(略).

消去y得

证明同命题1′(略).