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例谈数学竞赛中的局部调整法

2015-06-12卢学谦泰安市第一中学山东泰安271000莱城区羊里中学山东莱芜271118

中学教研(数学) 2015年7期
关键词:条边糖块盘子

卢学谦 (泰安市第一中学 山东泰安 271000) ●卢 健 (莱城区羊里中学 山东莱芜 271118)



例谈数学竞赛中的局部调整法

卢学谦 (泰安市第一中学 山东泰安 271000) ●卢 健 (莱城区羊里中学 山东莱芜 271118)

局部调整法也称为逐步调整法,就是暂时固定问题中的一些可变因素,研究另一些可变量对求解问题的影响,取得局部成果后,再设法求得整个问题的结果.例如著名的算术-几何平均值不等式的证明,2014年“北约”自主招生考试数学试题第10题以及2014年全国高中数学联赛加试第4题都可用局部调整法.先来看一道经典竞赛题:

1 趣味调整,进入境界

例1 已知锐角△ABC中,∠A>∠B>∠C.在△ABC的内部(包括边界上)找一点P,使得点P到3条边的距离之和最小.

分析 这是一道趣味竞赛题.我们先考虑特殊情况,当点P在△ABC边界上的什么位置时,点P到3条边的距离之和最小,然后再对点P在△ABC的内部时进行研究.

解 1)先研究点P在△ABC的边界上时的情况:

①若点P在边BC上.如图1,记△ABC的顶点A,B,C对应的边分别是a,b,c,边a,b,c上的高分别为ha,hb,hc,点P到边c,b的距离分别为x,y,联结PA.因为∠A>∠B>∠C,所以ha

因此hb≤x+y(当x=0时,取到等号),即点P在点B处时,点P到3条边的距离之和最小.

②若点P在边AC上,点P在点A处时,点P到3条边的距离之和最小.

③若点P在边AB上,点P在点A处时,点P到3条边的距离之和最小.

综合①,②,③,当点P在点A处时,点P到3条边的距离之和最小.

图1 图2

2)再研究点P在△ABC内部时的情况:如图2,过点P作BC的平行线交AB于点E,交AC于点F,固定x,由第1)小题知,

x+y+z>EG+EH.

让x变化,得

EG+EH≥ha,

从而

x+y+z>ha.

综合1),2)知,当点P在点A处时,x+y+z最小.

注 本题先对点P在边界上进行调整,获得问题的局部解决.经过若干次这样的局部调整,逐步逼近目标,最终得到问题的整体解决.

2 逐次调整,妙不可言

例2 已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1x2…xn=1,求证:

(2014年“北约”自主招生考试数学试题第10题)

分析 本题解法很多,但利用调整法最为简便.

证明 1)若x1=x2=…=xn=1,待证式等号成立.

所以f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn).这说明把(x1,x2)调整成(1,x1x2)后,f(x1,x2,…,xn)的值变小,依此类推,每调整一次,f(x1,x2,…,xn)的值减少一次,这样,最多经过n-1次调整,(x1,x2,…,xn)变成(1,1,…,1),从而

f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn)>

f(1,1,x1x2x3,…,xn)>

综上所述,原不等式成立.

(1)

于是 (1-x1)(1-x2)…(1-xn)≥

(1-x1) (1-x2)…(1-xn)≥

注 本题把变量的取值向左、右2个方向调整,直至最大量的值是1,其余量都是0,与例1稍有区别,代表了局部调整法证明不等式的2种风格.

3 尝试调整,触类旁通

例4n(其中n≥4)个盘子里放有总数不少于4的糖块,从任意选出的2个盘子里各取1块糖放入另一个盘子中称为一次操作,问能否经过有限次操作,把所有的糖块集中到1个盘子里去?证明你的结论.

(第9届CMO试题)

分析 经过尝试,可经过有限步操作使所有糖块集中到2个或3个盘子里,这就为进一步探索打开了缺口.

解 首先证明可经过有限步操作使所有糖块集中到2个或3个盘子里.

事实上,如果放糖的盘子不少于3个,任取其中3个盘子,分别记为A,B,C,并设A,B,C中分别有a,b,c(其中0

(a,b,c) →(a-1,b-1,c+2)→…

→(0,b-a,c+2a).

即放有糖块的盘子的总数减少1个(当a≠b时)或2个(当a=b时),这样继续下去,总可以将糖块集中在2个或3个盘子中.

其次,不妨设所有糖块集中在盘子A,B,C中,每个盘中放的糖块分别为a,b,c(其中a≥b≥c≥0).另取一个空盘D(由n≥4,知至少有4个盘子),上述状态简记为(a,b,c,0).如果a,b,c中有2个相等,那么上述证明可经过有限步将糖块集中到1个盘子中,故只要考虑a>b>c≥0的情形,又分为下列2种情形:

2)若a>c+2,则先作如下操作:

(a,b,c)→(a-1,b-1,c+2),

因为a>b>c及a>c+2,所以

a-1>b-1≥c,a-1≥(c+3)-1=c+2,

故经过调整后,3个盘子中所放糖块量的最大数减少1,而最小数不减少,故经过有限调整可归结为有2盘糖块数相等或情形1),于是由前面证明可知经过有限步操作可将糖块集中到1个盘子中.

4 直觉调整,茅塞顿开

但在有些问题的解决过程中,变量的流向并不明显,需辅以直觉作出判断.

1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最大值?

2)进一步地,对任意1≤i≤j≤5有|xi-xj|≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时,S取到最小值?说明理由.

(2006年全国高中数学联赛试题)

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5,1≤j≤5).

(2)

将S改写成

x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+

x3x5+x4x5,

同时有

x3x5+x4x5,

于是

这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.因此

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5,1≤j≤5).

当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时取到最大值.

2)当x1+x2+x3+x4+x5=2 006且|xi-xj|≤2时,只有如下3种情形满足要求:

①402,402,402,400,400;

②402,402,401,401,400;

③402,401,401,401,401.

例6S是由在同一条直线上个点构成的一个集合,随机地选择其中的4n个点染成蓝色,其余2n个点染成绿色.证明:存在一条线段,使其包含S中的3n个点,其中2n个点为蓝色,n个点为绿色.

(2008年巴西数学奥林匹克竞赛试题)

(3)

再考虑当i=1,2,…,3n时,f(i+1)与f(i)的关系:

若Ai,Ai+3n同色,则

f(i+1)=f(i);

若Ai为蓝色,Ai+3n为绿色,则

f(i+1)=f(i)-1;

若Ai为绿色,Ai+3n为蓝色,则

f(i+1)=f(i)+1.

总之,|f(i+1)-f(i)|≤1,结合式(3)知必存在j∈{1,2,…,3n+1}使f(j)=2n,即存在一条线段恰好包含S中Aj,Aj+1,…,Aj+3n-1这3n个点,其中2n个点为蓝色,n个点为绿色.

注 本例把包含前3n个点的线段看作原始状态,每步调整时去掉最前面那个点并添加后面相邻的一个点.调整过程中可证明存在一个时刻,连续3n个点中恰有2n个蓝色点.

由以上例题可以看出,局部调整法的精髓可以体现在以下4个方面:

1)通过调整,使原状态达到某种意义下更优的状态,从而逐步达到最优状态(注意必须以最优状态存在为前提);

2)通过调整,将大量一般的情形归结为讨论少数几类特殊的、规则的情形,使问题便于解决;

3)在按某种条件或要求进行操作时,掌握操作过程中的某种内在规律(如不变性、奇偶性、同余性、连续性、单调性等)进行逐步调整,使之得出某种结论;

4)为寻找某种对象,在满足部分限制条件的前提下,通过调整使其余限制条件也得以满足.

[1] 张小明.例谈局部调整法在不等式证明中的应用[J].中学教研(数学),2014(9):37-38.

[2] 郑日锋.数学竞赛中的局部调整策略[J].中等数学,2004(4):10-11.

[3] 苏勇,熊斌.不等式的解题方法与技巧[M].上海:华东师范大学出版社,2013:119-120.

[4] 卢学谦.数学教学中对学生思维深刻性的培养[J].中学数学杂志,2014(11):23-25.

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