例谈数学竞赛中的局部调整法

卢学谦 (泰安市第一中学 山东泰安 271000) ●卢 健 (莱城区羊里中学 山东莱芜 271118)



例谈数学竞赛中的局部调整法

卢学谦 (泰安市第一中学 山东泰安 271000) ●卢 健 (莱城区羊里中学 山东莱芜 271118)

局部调整法也称为逐步调整法，就是暂时固定问题中的一些可变因素，研究另一些可变量对求解问题的影响，取得局部成果后，再设法求得整个问题的结果.例如著名的算术-几何平均值不等式的证明，2014年“北约”自主招生考试数学试题第10题以及2014年全国高中数学联赛加试第4题都可用局部调整法.先来看一道经典竞赛题：

1 趣味调整，进入境界

例1 已知锐角△ABC中，∠A>∠B>∠C.在△ABC的内部(包括边界上)找一点P，使得点P到3条边的距离之和最小.

分析 这是一道趣味竞赛题.我们先考虑特殊情况，当点P在△ABC边界上的什么位置时，点P到3条边的距离之和最小，然后再对点P在△ABC的内部时进行研究.

解 1)先研究点P在△ABC的边界上时的情况：

①若点P在边BC上.如图1，记△ABC的顶点A,B,C对应的边分别是a,b,c，边a,b,c上的高分别为ha,hb,hc，点P到边c,b的距离分别为x,y，联结PA.因为∠A>∠B>∠C,所以ha

因此hb≤x+y(当x=0时,取到等号),即点P在点B处时，点P到3条边的距离之和最小.

②若点P在边AC上，点P在点A处时，点P到3条边的距离之和最小.

③若点P在边AB上，点P在点A处时，点P到3条边的距离之和最小.

综合①，②，③，当点P在点A处时，点P到3条边的距离之和最小.

图1 图2

2)再研究点P在△ABC内部时的情况:如图2，过点P作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，固定x，由第1)小题知，

x+y+z>EG+EH.

让x变化，得

EG+EH≥ha,

从而

x+y+z>ha.

综合1)，2)知，当点P在点A处时，x+y+z最小.

注 本题先对点P在边界上进行调整，获得问题的局部解决.经过若干次这样的局部调整，逐步逼近目标，最终得到问题的整体解决.

2 逐次调整，妙不可言

例2 已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1x2…xn=1，求证：

(2014年“北约”自主招生考试数学试题第10题)

分析 本题解法很多，但利用调整法最为简便.

证明 1)若x1=x2=…=xn=1,待证式等号成立.

所以f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn).这说明把(x1,x2)调整成(1,x1x2)后，f(x1,x2,…,xn)的值变小，依此类推，每调整一次,f(x1,x2,…,xn)的值减少一次，这样，最多经过n-1次调整，(x1,x2,…,xn)变成(1,1,…,1),从而

f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn)>

f(1,1,x1x2x3,…,xn)>

综上所述，原不等式成立.

(1)

于是 (1-x1)(1-x2)…(1-xn)≥

(1-x1) (1-x2)…(1-xn)≥

注 本题把变量的取值向左、右2个方向调整，直至最大量的值是1，其余量都是0,与例1稍有区别,代表了局部调整法证明不等式的2种风格.

3 尝试调整，触类旁通

例4n(其中n≥4)个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意选出的2个盘子里各取1块糖放入另一个盘子中称为一次操作，问能否经过有限次操作，把所有的糖块集中到1个盘子里去？证明你的结论.

(第9届CMO试题)

分析 经过尝试，可经过有限步操作使所有糖块集中到2个或3个盘子里，这就为进一步探索打开了缺口.

解 首先证明可经过有限步操作使所有糖块集中到2个或3个盘子里.

事实上，如果放糖的盘子不少于3个，任取其中3个盘子，分别记为A,B,C,并设A,B,C中分别有a,b,c(其中0

(a,b,c) →(a-1,b-1,c+2)→…

→(0,b-a,c+2a).

即放有糖块的盘子的总数减少1个(当a≠b时)或2个(当a=b时)，这样继续下去，总可以将糖块集中在2个或3个盘子中.

其次，不妨设所有糖块集中在盘子A,B,C中，每个盘中放的糖块分别为a,b,c(其中a≥b≥c≥0).另取一个空盘D(由n≥4,知至少有4个盘子)，上述状态简记为(a,b,c,0).如果a,b,c中有2个相等，那么上述证明可经过有限步将糖块集中到1个盘子中，故只要考虑a>b>c≥0的情形，又分为下列2种情形：

2)若a>c+2，则先作如下操作：

(a,b,c)→(a-1,b-1,c+2),

因为a>b>c及a>c+2，所以

a-1>b-1≥c,a-1≥(c+3)-1=c+2,

故经过调整后，3个盘子中所放糖块量的最大数减少1，而最小数不减少，故经过有限调整可归结为有2盘糖块数相等或情形1)，于是由前面证明可知经过有限步操作可将糖块集中到1个盘子中.

4 直觉调整，茅塞顿开

但在有些问题的解决过程中，变量的流向并不明显，需辅以直觉作出判断.

1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值？

2)进一步地，对任意1≤i≤j≤5有|xi-xj|≤2,当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值？说明理由.

(2006年全国高中数学联赛试题)

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

(2)

将S改写成

x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+

x3x5+x4x5,

同时有

x3x5+x4x5,

于是

这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.因此

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

当x1=402,x2=x3=x4=x5=401时取到最大值.

2)当x1+x2+x3+x4+x5=2 006且|xi-xj|≤2时，只有如下3种情形满足要求：

①402,402,402,400,400；

②402,402,401,401,400；

③402,401,401,401,401.

例6S是由在同一条直线上个点构成的一个集合，随机地选择其中的4n个点染成蓝色，其余2n个点染成绿色.证明：存在一条线段，使其包含S中的3n个点，其中2n个点为蓝色，n个点为绿色.

(2008年巴西数学奥林匹克竞赛试题)

(3)

再考虑当i=1,2,…,3n时，f(i+1)与f(i)的关系：

若Ai,Ai+3n同色，则

f(i+1)=f(i);

若Ai为蓝色，Ai+3n为绿色，则

f(i+1)=f(i)-1;

若Ai为绿色，Ai+3n为蓝色，则

f(i+1)=f(i)+1.

总之，|f(i+1)-f(i)|≤1,结合式(3)知必存在j∈{1,2,…,3n+1}使f(j)=2n，即存在一条线段恰好包含S中Aj,Aj+1,…,Aj+3n-1这3n个点，其中2n个点为蓝色，n个点为绿色.

注 本例把包含前3n个点的线段看作原始状态，每步调整时去掉最前面那个点并添加后面相邻的一个点.调整过程中可证明存在一个时刻，连续3n个点中恰有2n个蓝色点.

由以上例题可以看出，局部调整法的精髓可以体现在以下4个方面：

1)通过调整，使原状态达到某种意义下更优的状态，从而逐步达到最优状态(注意必须以最优状态存在为前提)；

2)通过调整，将大量一般的情形归结为讨论少数几类特殊的、规则的情形，使问题便于解决；

3)在按某种条件或要求进行操作时，掌握操作过程中的某种内在规律(如不变性、奇偶性、同余性、连续性、单调性等)进行逐步调整，使之得出某种结论；

4)为寻找某种对象，在满足部分限制条件的前提下，通过调整使其余限制条件也得以满足.

[1] 张小明.例谈局部调整法在不等式证明中的应用[J].中学教研(数学)，2014(9):37-38.

[2] 郑日锋.数学竞赛中的局部调整策略[J].中等数学，2004(4)：10-11.

[3] 苏勇,熊斌.不等式的解题方法与技巧[M].上海:华东师范大学出版社，2013:119-120.

[4] 卢学谦.数学教学中对学生思维深刻性的培养[J].中学数学杂志，2014(11)：23-25.