一个交汇性试题的命制展示

杨苍洲 (泉州市第五中学 福建泉州 362000)



一个交汇性试题的命制展示

杨苍洲 (泉州市第五中学 福建泉州 362000)

1 试题呈现

例1 已知函数f(x)=ex，记p：存在x∈R，ex

1)求函数f(x)的图像在点P(0,f(0))处的切线方程；

2)若p为真，求实数k的取值范围；

(2015年3月福建省泉州市质检试题)

2 试题背景

不等式“ex≥x+1,lnx≤x-1”是高中数学中的2个重要不等式，不等式所表示的图像如图1所示．许多试题是以这2个不等式为背景命制的．虽然在考试的解答过程中不能直接应用此不等式，但若能熟记这2个不等式也将有利于学生迅速入题、解题．

图1

上述不等式源于《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》人教A版习题1．3B组第1题第3)小题：

例2 利用函数的单调性，证明:ex>1+x(其中x≠0)．

证明 设函数f(x)=ex-x-1(其中x≠0),则f′(x)=ex-1(其中x≠0)．

当x>0时，f′(x)=ex-1>0,f(x)单调递增，从而f(x)=ex-x-1>f(0)=0;当x<0时，f′(x)=ex-1<0,f(x)单调递减，从而f(x)=ex-x-1>f(0)=0.

综上所述，f(x)>0，即ex>1+x(其中x≠0).

11+22+…+nn≥e0+e1+…+en-1,

…

基于对上述不等式的认识，笔者拟以此为背景进行试题命制．

3 命制过程

即

同理可得

根据上述分析，笔者命制出试题的第1稿．

第1稿 已知函数f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像相切，求实数k的值；

2)证明：当k>1时，函数f(x)的图像上至少存在一点在函数g(x)的图像的下方；

第2稿 已知函数f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)求曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程.

2)当k>1时，证明：函数f(x)的图像上至少存在一点在函数g(x)的图像的下方.

3)根据第1)和第2)小题的结论，可得ex与x+1的大小关系，并用此结论完成下列问题：

第3稿 已知函数f(x)=ex，g(x)=kx+1(其中k∈R)．

1)求曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程.

2)若x≠1时，函数f(x)的图像恒在函数g(x)的图像的上方，求实数k的取值范围.

3)探究问题1)和2)，并可证得结论：ex≥x+1．用此结论完成下列问题：

第3稿存在的问题与修改方向:第2)小题的文字表达较为拗口；第3)小题直接给出不等式ex≥x+1，缺少探究的味道．对试题进行改进时，拟交汇“简易逻辑”知识，通过“逆否命题的等价关系”，“全称命题、特称命题的否定”对问题进行转化，从而改善第2)小题的表述，并隐性给出不等式ex≥x+1．终稿见文首例1．

例1融合并交汇了函数、导数、数列、不等式、简易逻辑等高中数学的主干知识，对高中数学知识进行了高效、综合的考查．同时，试题具有较大难度、较好的梯度和区分度,体现了较强的选拔功能和较好的教学导向功能．