善辟蹊径 深化复习——以阿波罗尼斯圆教学设计为例谈微专题教学

●李宽珍 (溧水高级中学 江苏溧水 211200)



善辟蹊径 深化复习
——以阿波罗尼斯圆教学设计为例谈微专题教学

●李宽珍 (溧水高级中学 江苏溧水 211200)

专题复习是高三数学复习后期的重要阶段.它是在一轮复习的整体梳理、知识网络建构之后，必须要经历的以综合训练为主、以训练解题能力和优化思维品质为最终目的的复习阶段.如何提高这一阶段的复习效率呢？笔者经过几届毕业班的教学实践，发现在高三后期的专题复习中，微专题复习是对数学专题复习的有效补充，对学生掌握难点问题、查漏补缺有很好的帮助.近几年的数学高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的试题一度成为考查热点，而此背景源自课本.由此，笔者基于课本资源开设了一节关于阿波罗尼斯圆及其简单应用的微专题复习课，取得了良好的效果，笔者以此为例来谈谈实施微专题教学的几个关键环节，仅供参考.

1 微专题课题的确定，遵循真、小、实的原则

微专题立足于学生的实际学习情况而选择切口小、角度新、针对强的小专题.关注学情，难度适中；可以进行适度拓展，激发学生潜能.微专题的选题不求面面俱到，而是要结合复习的目标要求，针对学生在单元复习和大专题复习中暴露出的在知识、方法和能力等方面的薄弱环节，以学生复习中的“问题”促“专题”的生成，力求解决学生学习中的“真问题”、“实问题”.笔者设计本专题主要考虑以下3个因素：

1.1 学生的难点

笔者发现学生在多次的作业及考试中对隐含的阿波罗尼斯圆的关注度不是很高，从而导致这类题目答题的正确率较低.应该说，这类问题涉及到数形结合、转化与化归、函数与方程等多个知识点及思想方法，问题本身具有一定的综合性.

1.2 考试的热点

笔者查阅近几年全国各地的数学高考题，有关阿波罗尼斯圆的问题出现在多个省份的高考题中，如2003年北京春季卷、2005年江苏卷、2008年江苏卷和四川卷，2009年江苏卷、2013年江苏卷、2014年湖北卷、2015年湖北卷等等，在这些题目中虽没有直接出现阿波罗尼斯圆的概念，但经过推导、变形均能转化得到阿波罗尼斯圆.

2 微专题课型的教学设计，注重知识的整合，突出以小见大

微专题教学的关键在于抓住课堂内容的“主线”，以“真问题”、“实问题”驱动教学，让学生在真情境、真讨论、真问题、真思考中学会学习，提出能体现核心要旨的“问题”，从而将丰富的教学内容整合成清晰的结构.

我们在对某一个微专题进行教学设计时，要以找到一条能串起零散问题的“主线”为目标，要注重揭示这些问题之间的内在逻辑关联，这样才能让学生做到举一反三、触类旁通.要防止复习的“碎片化”，避免“就题论题”，将专题复习异化为对几个题目的复习.

笔者分析，造成学生对阿波罗尼斯圆背景判断困难的根本原因是没有真正理解这类曲线的本质.因此，在本专题的设计中，笔者没有像以往的一些专题复习课那样，过多考虑题目的综合性或新颖性，过多注重解题的技巧训练，而是从一组课本的习题开始，以理解阿波罗尼斯圆的本质为主线，通过回顾课本习题，引导学生回归问题的起点，真正达到“固本溯源、微中见著”的目的.通过梳理学生认知结构中已有的、相对“零散”的题组，以阿波罗尼斯圆的概念为核心构建这类问题的本质联系，为学生以后解决这类问题形成了一条更为清晰的“线路图”.本专题设计了以下几个主要教学环节来实现以上目标.

活动1 课本溯源,奠定基础

展示课本上的2道题：

例2 求平面内到2个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.

(学生思考、自主解答，具体解答略.)

设计意图 挖掘课本习题的教育功能和教学价值，让学生体会到许多高考题都源于课本.

师：很好！这2道题都是研究了一个什么问题？

生：研究使是平面内到2个定点距离之比等于定值(大于0)的点的轨迹是什么？

师：对！这类研究平面内到2个定点距离关系的问题我们以前遇到过吗？

生(经过回顾、思考)：有！学习过的椭圆和双曲线就是这么定义的:

平面内到2个定点距离之和等于定值(大于2个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆；

平面内到2个定点距离之差的绝对值等于定值(小于2个定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.

师：很好！那你认为如何研究它们的轨迹呢？

生：应该和椭圆、双曲线的推导方法类似吧！

师：请同学们自己完成推导过程.

设计意图 该问题旨在使学生深刻理解椭圆与双曲线的定义，熟悉其标准方程的推导过程，强化分类讨论的意识，渗透类比数学思想.

活动2 特殊到一般,完善定理

将课本习题一般化：设A，B是平面内的2个定点，平面内的动点M到点A的距离与到点B的距离的比为定值λ(其中λ>0)，求动点M的轨迹．

学生类比课本题的方法给出解决方法.

这个定理在高考题、模拟题中经常碰到，下面举例说明.

活动3 数学运用,链接高考

(2008年江苏省数学高考试题)

(2008年四川省数学高考理科试题)

答案：8.

例5 在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

(2013年江苏省数学高考试题)

设计意图 由课本习题提炼出定理，再回到高考中体会试题出现的情境，让学生体会这些高考题原来都是源于课本,接地气，易于接受.

活动4 延伸拓展,深化思维

命题中涉及2个定点、1个定比、动点的轨迹方程.若将这些重新组合，改变它们的逻辑次序(在已知动点的轨迹的条件下)，能否可以得到新的结论呢？

这其实是我们经常遇到的一类定值问题：已知定点A、定点B、定圆C,求定值λ.

这其实也是我们经常研究的定点问题：已知定点A、定值λ、定圆C,求定点B.

这是我们常见的求定点问题：已知定圆C、定值λ,求定点A、定点B.

此问题即为常见的求定值、定点问题：已知定点A、定圆C,求定点B、定值λ.

将圆中的几类定点、定值问题一线串之，让学生从中看到问题的根源源于课本，认清本质，进而能做到运用自如.

3 微专题教学主题的选择，突出见微知著

微专题教学的例题和习题选择不要刻意求新求异，而是要立足于解决学生认知结构中的真问题，应选择部分本专题具有代表性、可以从多个角度认识和解决、且具有深入探究的价值和思维含量的问题，这类题目能够体现解决本专题问题的核心思想与方法.笔者认为选题时应重点关注以下几个方面的习题.

3.1 源于“易错易混点”的辨析

心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并据此进行教学.”学生的错题是反映学情的第一手材料，特别是学生反复做错的一些题目，更是我们要格外关注的问题.此外，选择学生作业中相关的一些易错易混题作为专题复习的素材还有助于引导学生养成回顾与反思的良好习惯.本课例所选的阿波罗尼斯圆就是学生在学习中遇到的易错题.

3.2 源于课本习题的延伸

高考题的源头是教材，这是高三复习必须研究和回归的起点和终点.当前专题复习中对一些知识和方法交汇处的综合题、高考题关注得比较多，而对课本的习题关注得不够.课本的习题都是经过专家反复推敲的，最能反映相关数学知识和方法应用的典型题目，历届高考试卷中来自课本原题或改编题的考题比比皆是.因此，课本的习题理应成为复习的重点.本课例的背景就是来源于课本，以课本题展开并延伸拓展，让学生对“高大上”的高考题不再畏惧.

3.3 源于典型的高考题

选择一些典型高考题作为复习题,有助于我们在复习中准确把握高考的命题方向，克服复习中出现一些偏题、怪题.但在使用高考题时要注意和复习的专题相吻合，不可生搬硬套，冲淡复习的主题.本专题中的活动3选取了近几年的高考题，让学生体会阿波罗尼斯圆在高考题中的呈现形式.

4 微专题复习课的课堂教学，注重课堂的生成

课堂教学是预设和生成有机融合，预设是为了更好的生成.微专题复习课的教学中,更要给学生足够的思考时间，让学生回顾和梳理问题解答的过程，体会它们之间的本质联系.最好让学生自主生成串起这个专题的一条“主线”，进而在头脑中形成对一类问题的本质认识.因此，微专题复习课的重点应放在学生对解决本专题问题的一般思想方法的生成上，而不是在单个题目的具体解法上，否则，这样的专题教学会异化为同类题的综合训练，起不到专题复习的效果.在本专题的教学中，笔者将教学的重点放在以下2个方面:一是教会学生自主构建阿波罗尼斯圆定义的基本方法;二是让学生体会函数与方程的联系、数形结合、转化与化归等更一般的数学思想方法.

以上是笔者对微专题在高考数学复习中的一些实践和思考，由于微专题是立足于具体的学情、教情和考情而灵活设置的专题，没有现成的复习资料可以照搬，如何提高这种形式复习课的效果，还有待各位专家和同仁不断研究和实践，以更好地提高高考数学复习的有效性.