“数上构形”解证不等式“恒成立”题

何勇波

所谓“数上构形”就是根据函数式的特点，赋予这些函数式以几何意义，构造出对应的图形，从几何的角度研究代数问题的一种解题方法.从图形上可以直观地看出问题的解，它是一种重要的数形结合的数学思想.而某些形如f（x）<（或>）g（x）的不等式“恒成立”问题，可以通过分别作出f（x）和g（x）的图像，只需满足f（x）的图像在g（x）的图像的下方（或上方）的条件即可满足f（x）<（或>）g（x）“恒成立”.下面以近两年的高考题为例，说明“数上构形”的应用.

例1（2014年高考山东理科卷）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称.若h（x）是g（x）=4-x2关于f（x）=3x+b的“对称函数”， 且h（x）>g（x）恒成立，则实数b的取值范围是 .

分析g（x）的图像表示以原点为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上面的部分.根据题意有：h（x）+4-x22=3x+b，即h（x）=6x+2b-4-x2，要使h（x）>g（x）恒成立，即使6x+2b-4-x2>4-x2，即使3x+b>4-x2成立.因此，要使h（x）>g（x）恒成立，只需满足f（x）的图像在g（x）的图像上方.现

做出f（x）与g（x）的图像（如图1），当直线y=3x+b与半圆相离，且b>0时，可满足h（x）>g（x）恒成立.根据圆心（0，0）到直线y=3x+b的距离大于圆的半径得|b|9+1>2，解得b>210或b<-210（舍去），所以要使h（x）>g（x）恒成立，则b>210，即实数b的取值范围是（210，+∞）.

图1评点本题考查了新定义问题与直线和圆的位置关系的应用.解答本题的难点是通过推理得到不等式3x+b>4-x2恒成立的条件是直线在半圆的上方，并且与半圆相离，此外，本题还隐藏直线的截距b>0这个隐含条件.

因此，根据奇函数的图象关于原点对称做出函数f（x）在R上的大致图象如图2，f（x-1）的图象可以看作f（x）的图像向右平移一个单位长度而得到，要使x∈R，f（x-1）≤f（x），必需满足平移后f（x-1）图像左边的射线完全置于y=f（x）图象中右边射线下方时，即只需满足3a2-（-3a2）≤1，解得

-66≤a≤66.

评点本题考查了函数的图象与性质、恒成立问题.无论从哪个角度（呈现形式，考查内容，求解方法等）都领略到试题所蕴含的“美”；学生求解须抓住将y=f（x）的图像向右平移一个单位得到y=f（x-1）的图象，在尝试移动的过程中会发现：只有当平移后左边的射线完全置于y=f（x）图象中右边射线下方时，才可能使x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立.

例3（2014年高考北京理科卷）已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].（Ⅰ）求证：f（x）≤0；（Ⅱ）若a

分析将①变形得：ax

评点本题的解法通过构造相应的图形把不等式“恒成立”问题转化成求直线的斜率的变化范围，回避了运用导数，通过分类讨论函数的单调性来确定函数的最值问题的复杂的解题过程，运用该解法解题的优点在于形象、直观地看出问题的解.

例4（2014年陕西高考理科压轴题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf ′（x），其中f ′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a

的取值范围.

h（x）是增函数；当x>1-m时，h′（x）<0，此时h（x）是减函数，因此x2=1-m是h（x）的极大值点，也是最大值点，即h（x）≤h（1-m）=0，得ln（x+m）≤x+m-1，ex≥ln（x+m），即f（x）≥0，“=”成立的条件是：x1=x2（此时m=1），且x+1=x+m-1（此时m=2），即m=1且m=2同时成立，矛盾，故f（x）>0.

评点本解法先通过作4个函数的图象，从图象上可以看出4个函数的大小关系，知道了这4个函数的大小关系，等于为证题指明道路和方向，然后再通过构造函数，利用导函数判断函数的单调性和求出极值点，从而证明所构造的2个不等式成立.因此，本题的证题思路概括为“数形结合法探路，构造函数法证题”.

（收稿日期：2014-12-12）