多角度解析一道高考填空题

蔡勇全

一、试题再现

已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为 .

该题是2014年高考浙江卷文科第16题，属于多参数最值问题，本文入口较宽，但有一定的技巧性和综合性，本文尝试从多个角度解析此题，供大家参考.

二、多角度解析

解法一构造函数

由a+b+c=0移项得b+c=-a. ①

将条件a2+b2+c2=1配方得a2+（b+c）2-2bc=1，将①代入此式，得

bc=a2-12. ②

由①、②两式可知b、c是一元二次方程x2+ax+a2-12=0的两个实数根，因此有Δ=a2-4（a2-12）≥0，即a2≤23，解得-63≤a≤63，所以a的最大值为63，故应填63.

解法二换元引参

由条件a+b+c=0易得c=-（a+b），将其代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12，配方得（a2+b）2+（32a）2=12，令a2

+b=22cosβ32a=

22sinβ，

其中β∈R，则a=63sinβ∈[-63，63]，所以a的最大值为63，故应填63.

解法三不等式法

由条件a+b+c=0易得c=-（a+b），将其代入a2+b2+c2=1得a2-12=-b（b+a）≤[-b+（a+b）]24=a24，即a2≤23，解得-63≤a≤63，因此a的最大值为63，故应填63.

解法四配方放缩

由条件a+b+c=0易得c=-（a+b），将其代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12，配方得（a2+b）2+

34a2=12

，利用放缩思想可知，34a2≤12，即a2≤23，解得-63≤a≤63，因此a的最大值为63，故应填63.

三、后记

在高三复习教学中，同学们练习一定量的题目是必要的，也是必须的，但我们应坚决抛弃题海战术，多练一些有价值的题目，什么样的题目才是有价值的题目呢？历年的高考试题无疑给我们提供了极好的选择，高考试题是众多专家、学者的心血与智慧的结晶，它不仅蕴含了大量高考命题改革的前沿信息，而且是支撑我们高三复习的最宝贵的知识财富.同时，练题要不在多，而要在精，像上述的高考试题，我们要充分挖掘其潜在的复习价值，通过一题多解、一题多变，甚至多题一解等专项练习，逐步使我们的复习效益最大化.

（收稿日期：2014-10-15）