2015年高考数学模拟试题一

张名佳

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（ ）.

A.-1+i B. -1-i

C.1+i D. 1-i

2.已知全集为R，集合A={x|（12）x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，则A∩CRB=（）.

A.{x|x≤0}

B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2或x>4}

D.{x|0

3.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数

据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y^=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）.

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本的中心（x，y）

C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

4.由曲线y=2-x2和直线y=x围成的封闭图形的面积为（ ）.

A.12 B. 3

C.92 D.112

5. 图1是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）.

A.9πB.10π

C.11πD.12π

6.已知某流程图如图2所示，现分别输入选项所述的四个函数，则可以输出的函数是（ ）.

A.f（x）=2x4+3x2

B.f（x）=x3

C.f（x）=x2+1xD.f（x）=x2+1

7.函数y=sinx+tanx+|sinx-tanx|在区间（π2，3π2）内的图像大致是（ ）.

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=12b，且a>b，则∠B=（ ）.

A.π6 B. π3 C.2π3 D. 5π6

9.已知点A，B，C是直线l上不同的三点，点O不在直线l上，则关于x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集为（ ）.

A.{-1-52，-1+52} B. {-1}

C. D.{-1，0}

10.在区间[0，1]上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2-nx+m=0有实根的概率为（ ）.

A.78 B. 13 C.12 D. 18

11.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）.

A.2 B. 3 C.2 D.3

12.已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）.

A.（-∞，1] B.[-2，0] C.[-2，1] D. （-∞，0]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考试都必须作答.第22题～24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.二项式（x-13x）5的展开式中常数项为 .

14.过点A（4，1）的圆C与直线x-y-1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程为.

15.设λ>0，不等式组x≤2λx-y≥0x+2λy≥0所表示的平面区域是W，给出下列三个结论：①当λ=1时，W的面积为3；②λ>0，使W是直角三角形区域；③设点P（x，y），对于P∈W有x+yλ≤4.其中，所有正确结论的序号是 .

16.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，其外接圆面积为S2，则S1S2=14.推广到空间几何，可以得到类似结论：若正四面体A-BCD的内切球体积为V1，其外接球体积为V2，则V1V2=.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设bn=n·2an+12，求数列{bn}的前n项和Tn.

18.（本小题满分12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2015年1月的某天晚上8点至11点在市区内设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，图3是根据这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内）.

（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中醉酒驾车人数X的分布列和期望.

19.（本小题满分12分）如图4，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证：AB⊥PD；

（2）若∠BPC=90°，PB=2，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F2也是抛物线C2∶y2=4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=53.

（1）求C1的方程；

（2）平面上的点N满足MN=MF1+MF2，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若OA·OB=0，求直线l的方程.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+a-1x（a∈R）.

（1）若lnx-f（x）≤-1对x∈（0，+∞）恒成立.求实数a的取值范围；

（2）对任意的n∈N*，证明：n+1

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图5，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣

弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E.

（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°， △ABC的底边BC上的高为2+3，求△ABC外接圆的面积.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2+22ty=1+22t（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρ2=

123cos2θ+4sin2θ.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x+a2|+|x+2a-5|<5.

（1）当a=1时，求不等式的解集；

（2）若不等式有实数解，求实数a的取值范围.

参考答案

一、ACDCDCAACDCB

二、13.-10 14.（x-3）2+y2=2

15.①③16.127

三、

17.解设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3=a1+2d=5S6=6a1+15d=36，解得a1=1d=2，

所以an=2n-1.

（2）由（1）知bn=n·2n，

所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n

2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1

上述两式相减得Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=-2-2n+11-2+n×2n+1=2+（n-1）×2n+1.

18.解（1）由已知得，（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15.

（2）易知利用分层抽样抽取的8人中，醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0，1，2.

P（X=0）=C36C38=514，P（X=1）=C26C12C38=1528， P（X=2）=C16C22C38=328.

所以X的分布列为

X012

P5141528328

EX=0×514+1×1528+2×328=34.

19.解（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，故AB⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.

（2）过P做AD的垂线，垂足为O，过O做BC的垂线，垂足为G，连接PG.

故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.

在Rt△BPC中，PG=233，GC=263，BG=63.

设AB=m，则OP=PG2-OG2=43-m2，故四棱锥P-ABCD的体积为V=13×6×m×43-m2=m38-6m2.

因为m8-6m2=8m2-6m4=-6（m2-23）2+83，

故当m=63，即AB=63时，四棱锥P-ABCD的体积最大.

此时，建立如图6所示的坐标系，各点的坐标分别为O（0，0，0），B（63，-63，0），C（63，263，0），D（0，263，0），P（0，0，63）.

故PC=（63，263，-63），BC=（0，6，0），CD=（-63，0，0）.

设平面BPC的法向量n1=（x，y，1），则由n1⊥PC，n1⊥BC得

63x+263y-63=06y=0，

解得x=1，y=0，n1=（1，0，1）.

同理可求出平面DPC的法向量n2=（0，12，1）.

从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为

cosθ=|n1·n2||n1||n2|=12·14+1

=105.

20.解（1）由C2：y2=4x知F2（1，0），

设M（x1，y1），因为M在C2上且|MF2|=

53，所以x1+1=53，得x1=23，y1=263.

又M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，得49a2+83b2=1b2=a2-1，消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.解得a=2（a=13不合题意，舍去），

故椭圆C1的方程为x24+y23=1.

（2）由MN=MF1+MF2知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O.

因为l∥MN，所以直线l与直线OM的斜率相同，

故直线l的斜率k=26323=6，

设l的方程为y=6（x-m）.

由3x2+4y2=12y=6（x-m）消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数关系得x1+x2=16m9，x1x2=8m2-49.

因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+y1y2=x1x2+6（x1-m）（x2-m）=7x1x2-6m（x1+x2）+6m2=7·8m2-49-6m·16m9+6m2=19（14m2-28）=0，所以m=±2.此时Δ=（-16m）2-4×9（8m2-4）=80>0，

故所求直线l的方程为y=6x-23或y=6x+23.

21.解（1）令g（x）=lnx-f（x），则g（x）=lnx-（ax+a-1x）≤-1恒成立，即g（x）max≤-1.

由g（x）≤-1恒成立可得g（1）≤-1，即g（1）+1=-a-a+1+1≤0，于是a≥1.

而当a≥1时，g′（x）=-（ax+a-1）（x-1）x2=-a[x-（-1+1a）]（x-1）x2，

由g′（x）=0得x=1，x=-1+1a.

因为x=-1+1a≤0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）>0，g（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，

+∞）时，g′（x）<0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）max=g（1）=1-2a≤-1，符合题意，即g（x）≤-1恒成立.所以实数a的取值范围为[1，+∞）.

（2）由（1）知，当a=1时，有lnx≤x-1，x>0.于是有ln（1+x）≤x，x>-1.

则当x>0时，有1xln（1+x）<1ln（1+x）1x<1（1+x）1x

在上式中，用1，12，13，…，1n（n∈N*）代换x，可得2

22.（1）证明：

如图7，设F为AD延长线上一点.

∵A、B、C、D四点共圆

∴∠CDF=∠ABC

又因为AB=AC，∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又因为∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.

（2）设O为△ABC外接圆圆心，连接并延长AO交BC于H，则AH⊥BC.

连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，所以∠OCH=60°.

设圆的半径为r，则r+32r=2+3，得r=2，

所以△ABC的外接圆的面积为4π.

23.解（1） 由ρ2=123cos2θ+4sin2θ，得3x2+4y2=12，即x24+y23=1.

（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得

3（2+22t）2+4（1+22t）2=12，即

72t2+102t+4=0

，由于Δ=（102）2-4×72×4=144>0，故设t1，t2是上述方程的两实根，所以

t1+t2=-2027t1t2=87，又直线l过点P，故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-（t1+t2）=2027.

24.解（1）因为a=1，所以|x+1|+|x-3|<5.

①当x≥3时，2x-2<5，解得x<72，所以3≤x<72；

②当-1

③当x≤-1时，-2x+2<5，x>-32，所以-32

综上，不等式的解集为{x|-32

（2）因为|x+a2|+|x+2a-5|≥|x+a2-x-2a+5|=a2-2a+5，

所以a2-2a+5<5，解得0

（收稿日期：2014-12-10）