关于切点三角形与切边三角形性质的初探

●胡文生 (磨溪中学 江西德安 332000)

关于切点三角形与切边三角形性质的初探

●胡文生 (磨溪中学 江西德安 332000)

笔者研读了本刊2015年第3期尚品山老师的文章［1］后，深受启发，也试探研究了另一种三角形的性质:切边三角形的性质，并结合切点三角形的特点进行了初探，结果同样发现了一些有趣的性质.

1 关于切边三角形的几个性质

所谓切边三角形，就是过△ABC的3个顶点分别作3条直线与该顶点所在的外接圆半径垂直，3条直线相交而成的三角形(如图1).下面分别介绍它的几个性质.

为了下面叙述方便，本文约定:如图1，在△ABC中，O为外心，它的边长与切边△A1B1C1的边长分别为a，b，c;a1，b1，c1，△ABC，△A1B1C1的面积分别为Δ，Δ1，半周长、外接圆、内切圆半径分别为s，s1;R，R1;r，r1.

图1

最后一个不等式是著名的欧拉不等式，故式( 1) 右边成立.

2 切点三角形与切边三角形相关的几个性质

如图2，△A2B2C2是切点三角形，I是△ABC的内心，设它的3条边分别为a2，b2，c2，半周长、面积、外接圆、内切圆半径分别为s2，Δ2，R2，r2，则

性质 6 △A2B2C2的外接圆半径就是△ABC的内切圆半径，即r=R2，由欧拉不等式知

图2

以上所有不等式当且仅当所有三角形为正三角形时取到等号.

由以上性质可知:切点三角形与切边三角形的许多性质极其相似，但它们又不是相似三角形，它们与中间的△ABC紧密相连.通过中间的△ABC可以沟通起来，建立一些新的不等式，如性质9，又如本文性质5中的式(1)和文献［1］中的式(12)也可以联系起来构成一个新的不等式:

限于篇幅，还有一些性质不再列出.关于切点三角形与切边三角形的性质研究还有待继续挖掘，本文只是初探，仅作为抛砖引玉.

［1］尚品山.关于切点三角形的几个有趣性质［J］.中学教研(数学)，2015(3):30-31.

［2］ Bottema O.几何不等式［M］.单墫，译.北京:北京大学出版社，1990.