说题——一次“寻根之旅”

●凌 红 (湖州中学 浙江湖州 313000)

说题
——一次“寻根之旅”

●凌 红 (湖州中学 浙江湖州 313000)

数学教师的基本功之一就是做题和说题.做题是教师的一种自觉修炼，说题是一种教学提炼.说题概括地讲是教师在精心做题、备题的基础上，阐述对某道习题解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验型解题规律，针对问题的特点寻找它的背景和价值，因此说题也可以成为一种有意义的教学研究活动.笔者曾参加了一次这样的活动，下面谈一谈自己的感受.

例1 设△AnBnCn的3条边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，则( )

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

(2013年全国数学高考新课标理科试题)

该题形式新颖，涉及知识点多，入口宽.作为一个选择压轴题，它辩证地体现了计算量与思维量的关系，综合考查了学生运用知识分析问题和解决问题的能力.

1 题意理解

这是一道以三角形的面积为背景的数列问题，是代数和几何问题的交融，因此可以从“形”与“数”这2个方面来分析.

1.1 从“形”的角度

1)三角形列有什么特点?

由an+1=an可知，所有的三角形都有一条等长的边BnCn，可以研究点列{An}的轨迹.

2)如何计算三角形的面积?

由于题意涉及三角形的3条边长，可以直接选择海伦公式(必修5课后习题)计算面积.此时要先计算三角形的半周长

因此可以考察数列{bn+cn}.

1.2 从“数”的角度

利用消元思想，将已知混合递推关系转化为{bn}的递推关系，求出{bn}的通项公式，进而求出{cn}的通项公式.

2)能否较简单地表示出{Sn}的通项公式，进而判断{Sn}的单调性?

由第1)小题可知三角形三边数列的通项公式，可以将面积列{Sn}的通项公式表示出来.

2 解法分析

此题的核心为数列，如何转化为我们熟悉的数列知识来加以解决是问题的关键.

解法1转化为常见数列

1)数列{bn+cn}为常数列.

等式2边同时减去2a1，得

又因为b1+c1－2a1=0，所以{bn+cn－2a1}为零常数列，即bn+cn=2a1.

2)数列{bn－cn}为等比数列.

又b1－c1＞0，故{bn－cn}是以b1－c1为首项、为公比的等比数列.

3)数列{bn·cn}为递增数列.

4)数列{Sn}为递增数列.

所以数列{Sn}为递增数列.

评注利用方程思想，整体考查了数列{bn+ cn}，{bn－cn}的特点，利用恒等变换考查了数列{bn·cn}的单调性.当判断出{bn+cn}为常数列时，发现三角形列的特点:等周长.此时点列{An}在以Bn，Cn为焦点的椭圆上运动，要进一步挖掘点列{An}的运动规律，因此要考查数列{bn－cn}.这一解法根据形与数的结合，相辅相成，层层深入，充分体现了“数形结合百般好”，巧妙地进行了转化与化归，体现了思维的灵活性.

解法2利用好递推数列

1)求数列{bn}和{cn}的通项公式.

①利用待定系数法或不动点法将递推关系

3)判断数列{Sn}的单调性.

考虑数列{Sn}的通项公式对应的函数可知数列{Sn}是单调递增的.

评注利用消元思想，将双数列的混合关系转化为单数列的递推关系，进而求得数列的通项公式.考查了转化与化归思想，以及常见递推关系求通项公式的基本方法:待定系数法.

解法3计算归纳猜想

由选项可知，只需考察数列的前4项即可选出正确答案.

由已知条件，取a1=8，b1=10，c1=6，得.

评注从题型上看，这是一道选择题，考虑能否用排除法.在考试时间十分紧张的情况下，这种小题小做的解题思想不失为一种很好的解题策略，既节省了时间，又保证了答案的正确性，达到了事半功倍的效果.

3 背景研究

数学问题都有它自己特殊的背景，在解决问题的基础上，教师应该探求它的多角度背景，全方位地了解问题，这样才能在教学过程中更好地把握问题的实质，让学生明白数学方法不是“魔术师帽子里的兔子”.有些时候要让学生欣赏到优美的解法，培养兴趣，明白“没有最好，只有更好”的真谛.对于该试题有如下3个方面的背景研究:

3.1 特点探究——中点坐标公式

3.2 结构探究——椭圆的焦点三角形

△AnBnCn的周长列是一个常数列，且底边列{an}也是常数列，此时明显地出现了2个定点、1个动点的焦点三角形模型，因此点An在以Bn，Cn为焦点的椭圆上移动.当bn与cn逐渐接近时，点A逐渐接近于短轴端点，此时边BnCn上的高逐渐增大，因此面积列{Sn}是递增数列.

3.3 手段探究——均值代换

当bn与cn越来越接近时，dn逐渐减小到0，bncn越来越接近.

4 价值研究

该题考查了三角形的面积与周长的关系、等比数列与常数列的概念、数列的递推关系与通项公式、数列的单调性等知识点，检测了学生知识的应用能力和问题转化的意识，是一道难度系数较大的选择题.

通过挖掘其背景，探讨其解法，体会其美妙，使我们对问题有了清晰的认识，并能在不同的场合以不同的方式加以利用，培养学生的数学思维，发挥题目更大的作用.

4.1 例题功能——探究

例1的适当改变，可以在课堂教学中起到很好的教学作用，如以开放题的设问方式，增强问题解决的氛围，提高学生的学习兴趣.

设△AnBnCn的 3条边长分别为 an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若 b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，试研究数列{Sn}的单调性.

4.2 习题功能——拓展

该试题背景丰富，解题方法多样，在高中学习的各阶段可以拓展学生的思维，如以下例2可作为必修5的模块习题.

例2设△AnBnCn的3条边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，.

1)证明:数列{bn－cn}是等比数列;

2)求数列{bn}的通项公式;

3)判断数列{Sn}的单调性，并说明理由.

4.3 检测功能——能力

例1有一定的难度，作为检测题，可以较好地体现学生的能力，表现出较好的区分度.题目解法较多，也为学生打开思维提供了素材:

1)考查选项的特点，只需列出数列{Sn}的前4项，就可以利用排除法找到唯一的正确答案;

2)例1可以根据庞大的计算过程(通项公式)或敏捷的数学思维(焦点三角形)作出正确选择，因此它可以作为选择压轴题.

5 引申拓展

问题研究后，我们还可以思考问题可能的延伸和拓展，为思维的发散提供途径.

例3设△AnBnCn的3条边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，.记αn=∠BnAnCn，试研究数列{αn}的单调性.

2)根据本题与中点坐标公式的关系，可用定比分点公式进行延伸如下:

例4设△AnBnCn的3条边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3，….若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，试研究数列{Sn}的单调性.

6 结束语

“题目小世界，思维大舞台”.开展说题研究，不仅关系到教师自身素养的提高，也能提高数学课堂的教学效率.让研究试题成为高中数学教师的“自觉”意识，让说题成为高中数学教师交流解题心得的一个重要舞台.