不等式证明中的常用换元策略

●金国林 (镇海中学 浙江宁波 315200)

不等式证明中的常用换元策略

●金国林 (镇海中学 浙江宁波 315200)

在国内外的各类数学竞赛中，不等式的证明很受命题者青睐.这类问题往往入手较困难，没有通用的办法，需要结合具体问题选择恰当方法.换元是一种常见且有效的办法，通过引入合适的新变元，改变问题形式，更好地揭示问题本质而获得解决.下面笔者通过具体例子介绍一下在不等式证明中常用的换元策略.

1 分母换元

评注此题直接入手有难度，特别是其中有一项的系数为负，使得配凑系数的难度变大.对于一次分式，通常可以通过换元来简化分母，从而使问题迎刃而解.

2 分式换元

评注 根据不等式条件，通过分式换元，将非齐次不等式转化成齐次不等式，从而更容易利用一些常用的不等式来解决.

3 倒数换元

4 整体换元

评注通过整体换元，回避了较难处理的根号，通过改变题目面貌，更容易理清题中的相互关系，从而使问题获解.

5 三角换元

评注对于某些条件不等式，往往可以根据已知条件的代数结构，结合常见的三角恒等式进行三角换元，从而将原不等式转化成较熟悉的三角不等式来处理.

6 线性换元

评注以三角形3条边长为变元的齐次不等式的隐含条件较难利用，需要较强的代数恒等变形和因式分解能力.通过变量代换，我们用正实数x，y，z来刻画隐含条件a+c＞b，a+b＞c和b+c＞a，从而使问题的解决变得简单而明朗.