浅谈在数学过程中培养学生的合情推理能力

摘 要：合情推理已走进了高中数学新课程，作为一个专题内容“推理与证明”纳入高中数学新课程教材中。合情推理在数学教学中的重要性日益凸显，谈了如何在数学过程中培养学生的合情推理能力。

关键词：合情推理；数学过程；数学教学

一、什么是合情推理

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果）以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。这种推理的途径是从观察、实验入手，凭数学直觉，通过类比而产生联想、归纳而提出猜想。高中阶段合情推理常用的思维方法为：归纳推理、类比推理。《普通高中数学课程标准》指出：“让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义、步骤和方法，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。”

二、什么是数学过程

数学过程是指“数学概念、公式、定理、法则的提出过程，数学结论的形成过程，数学思想方法的探索及概括总结过程以及用数学的过程”。

三、在数学过程中培养合情推理能力

（一）在数学概念、公式、定理、法则的提出过程中培养学生的合情推理能力

数学概念、公式、定理、法则的提出过程妙趣横生，充满了合情推理的精彩案例。数学教学中可以将数学家们的发现过程经过精心加工，让学生重走数学家的“发现之路”，通过精心设计的问题串，引导学生扮演“数学家”，在一个简化的理想模式下直面数学家的困惑，亲历数学家当年的探索与发现过程，给学生创造“发现”概念、公式、定理、法则的机会，学生通过不断的思维冲突、归纳、类比、细心观察、提出猜想，逐步掌握合情推理的方法。

例如，在《频率与概率》的概念教学中，可以这样设计：

1.全体学生4人一组，每组投一枚硬币80次，一人负责记录。

（1）统计正面朝上的频率，问各小组结果是否相同，均为0.5吗？

（2）对全班结果进行累计，正面朝上的频率有何规律，如何

描述？

让学生重回概念原始发现、提出过程，在做试验中亲历发现过程，亲自感受概率概念的提出。

2.用程序实现掷硬币模拟实验。

3.回顾当年数学家的试验。

层层推进，学生很快就能猜想正面朝上的频率接近某个值，进而得到概率的概念以及概率和频率的关系。整个过程学生利用合情推理，动手试验，大胆猜想，归纳总结，揭示概念的产生过程，发展了学生的合情推理能力。

（二）在数学结论的形成过程中培养学生的合情推理能力

认真对待定理、公式等结论的形成过程，在探索定理、公式等结论的形成过程中学生通过自己的努力，观察、试验、归纳、类比、猜测和反思，培养了他们的合情推理能力。

如，在《椭圆的简单几何性质》一课中，椭圆用离心率来刻画其扁平程度，椭圆的离心率e→0，椭圆越接近圆；e→1，椭圆越扁。这个结论使很多学生难以透彻理解，笔者在处理时极力展现该结论的形成过程。

1.问题：用多媒体展示各种不同椭圆后，学生发现椭圆有圆有扁。引导他们思考：椭圆的扁平程度怎么表示，用什么样的数学表达式表示，用什么量来表示？

学生大胆猜想，其中有些提到用a、b、c这3个量来刻画，其直觉已经逼近结论。

2.动手实验。

准备好细绳，两人一组把绳子的两端点固定在两钉子（焦点）处，用铅笔尖绷紧绳子画一个椭圆，然后变换绳子的长度，画椭圆，观察椭圆“扁平”的程度，描述其变化规律；再让绳子的长度固定不变，将两钉子距离（焦距）变化，继续画椭圆，观察椭圆的“扁平”的程度，描述其变化规律。

3.变化规律。

学生热烈讨论，发现 →0时，椭圆变得越“圆”，当 →1时，椭圆变得越“扁”。

学生找到规律的同时，有学生运用类比思想猜想：a、b或者b、c两个量可以不可以也能来刻画椭圆的扁平程度呢？如果可以，选哪两个量来刻画呢？让他们带着猜想设计验证方法。教师见机引导，得出结论。

4.展示“椭圆的离心率”Flash动画。

5.给出椭圆离心率定义。

用离心率来刻画椭圆的扁平程度

规律：e→0，椭圆越圆；e→1，椭圆越扁。

此时上面关于离心率结论的形成已经水到渠成，期间学生经历了凭数学直觉大胆猜想、动手试验、亲自体验的数学过程，得到初步结论，进而类比猜想，产生新困惑，继续验证，得出最终结论，在此过程中，他们的合情推理能力得到培养。

（三）在数学思想方法的探索及概括总结过程中培养学生的合情推理能力

数学思想方法——数学的精髓，它铺设了知识到能力的大道，在数学思想方法的探索及概括总结过程中，学生的合情推理能力得到潜移默化的提升。

比如，在使用数形结合的探索过程中，以现有的知识为基础，运用数学直觉，从整体上把握数学对象并对其结构快速识别，做出判断，大胆猜测，合理假设，并给出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。

例1.n个半圆的圆心共线，圆心在直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f（n）段圆弧，画出图形，观察（此时应用了数形结合的思想方法），采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证。

（四）在“用数学”的过程中培养学生的合情推理能力

1.在日常解题训练中运用所学数学知识，合情推理。

“用数学”是数学价值的真正所在，数学的生命力也源自于此，“用数学”推动了数学的发展。在日常解题训练中，注重解题思路产生过程那一刹那的灵感，在探究问题的结论和寻找解决问题的途径中培养学生的合情推理能力。

例2.两个数列{an}和{bn}，已知an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，当a1=1，b1=2时，求{an}，{bn}的通项公式。

分析：由已知an，bn，an+1成等差数列可以得到2bn=an+an+1，又由bn，an+1，bn+1成等比数列可以得到a2n+1=bnbn+1，所以变形得，an+1=2bn-an，bn+1= 先观察n=2、3、4的特殊情况，

2.关注生活中的数学，用数学知识解决生活实际问题，培养学生的合情推理能力。

数学与生活息息相关，密不可分，数学巧妙地融入在生活中，基于应用和问题的数学过程教学，教师必须关注生活中热点问题，挖掘生活素材，设法引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生思想的火花四溅，猜想连连，热烈讨论，在问题的解决过程中，培养学生的合情推理能力。

参考文献：

[1]何良仆，何燕妮.落实“过程性”与“结构性”原则是实现数学教育价值的根本所在[J].西昌学院学报：自然科学版，2010.

[2]何良仆，何燕妮.论数学教学的过程性原则[J].西南科技大学学报：哲学社会科学版，2011（02）.

[3]朱雪兴.新课程下初中数学应用研究[J].中学生数理化：教与学，2011.

[4]邓胜兴.例谈合情推理中的高考试题[J].中学生数理化：教与学，2011.

[5]肖海燕.数学归纳法在几何教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报教育科学版，2011（04）.

作者简介：池屏雁，出生于1977年，女，福建闽清人，中学数学一级教师，研究方向为高中数学教学。

编辑 韩 晓