老 树 开 花 枯 木 逢 春——一道立体几何高考题的课堂生成教学实录

●倪新华 (湖州中学 浙江湖州 313000)

老 树 开 花 枯 木 逢 春
——一道立体几何高考题的课堂生成教学实录

●倪新华 (湖州中学 浙江湖州 313000)

前段时间遇到一位刚刚步入教坛的年轻教师，发现他备课特别认真，几乎把整堂课要说的话全都写在了教案里，当然，对一位新教师来说，这也不失为一种好方法.然而，在实际的数学教学中，却永远无法预料课堂将要发生什么.但或许正是这样的难以预料才是课堂活力的源泉，才是教师梦寐以求的快乐.

作为培养学生空间思维的重要载体——立体几何，一直是一些学生难以驾驭的内容之一，因此也是教学的重点.最近，笔者准备借助一道浙江省高考题的教学，对立体几何中线面角的计算进行复习，然而……

师:同学们，前面我们学习了直线和平面所成角的定义，大家说说看，我们一般是怎么作这个角的?

生(齐声):直线上取一点作平面的垂线，再把垂足和斜足连起来……

师:很好!那么当这个角不太好作时，我们还有哪些方法可以弥补?

生1:体积法.

生2:空间向量法.

师:嗯，不错!看来，大家对这个内容开始熟悉起来了，理论知识已经掌握得差不多了，不知道实战效果如何?今天我带来了一个问题，大家一起来研究研究吧!

图1

幻灯片(2007年浙江省数学高考理科第19题):在如图1所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC= BC=BD=2AE，M是AB的中点.

1)求证:CM⊥EM;

2)求CM与平面CDE所成的角.

此时，学生跃跃欲试，开始解答.笔者巡视每个学生的解答情况，15分钟以后……

师:好，我发现大家都做得差不多了，都有了自己认为正确的答案.有些甚至已经迫不及待地想要分享自己的方法了.

师:在解决第1)小题之前，我先问大家一个问题，这个几何体确定了吗?

这时，一些学生突然坐直了身体，或脑袋往后仰，或眯起了眼睛，开始思考……

生1:没定吧，棱长都不知道.

生2:棱长可以设啊!

生(引起共鸣):有道理!点线面的位置关系好像都已经确定了嘛!

师:是啊!事实上，在这个几何体中，所有的点线面的位置关系都已经确定，因此只要我们假设AE=a(其中a＞0)的话，它就是一个完全固定的几何体了.我们首先讨论第1)小题，如何证明CM⊥EM?

生1:利用勾股定理.

师:不错!由于CM与EM相交，很自然地将它们放入一个三角形内，通过计算3条边的长，利用勾股定理判断即可.

生2:利用CM⊥平面ABDE.

师:很好!因为可以证明CM⊥AB，CM⊥EA，且AB与EA相交.

生3(插嘴):还可以利用空间向量.

师:嗯!当然可以啦!那么接下来我们讨论第2)个小题:CM与平面CDE所成的角.刚才我发现有位同学算得最快，简直神速，来，你来回答一下，你的答案是多少?

生4(略带骄傲):45°.

此时，班里其他学生投去羡慕的目光!

师:嗯，好!刚才我发现，在你做好后10分钟，一些同学还在拼命计算，那你说说看，你是怎么做到这么快的?

生4:因为平面EAC⊥平面ABC，所以点M在平面EAC上的射影落在AC上，因此CM与平面CDE所成的角就是∠MCA=45°.

生5:要求的不是CM与平面CDE所成的角嘛，你求的是CM与平面EAC所成的角了!

生4(有点紧张):难道它们不是同一个平面吗?

师:这个问题问得好!接下来我们不妨来讨论一下，这2个平面到底是不是同一个平面?

学生在下面开始七嘴八舌，有的说是，有的说不是，笔者一一请他们发言.

生:我是凭感觉的，看上去应该是同一个平面嘛!

师:嗯!虽然感觉不一定准，但有时也是需要的!不过感觉终归是感觉，没有说服力，你们说对吗?

生:对，我感觉他们就不是同一平面的!

其他学生发出了赞同的笑声.这时一位学生要求发言:老师，我不是凭感觉的，我是用其他方法算的，答案也是45°，我觉得应该是同一个平面吧!

师:同一条直线与2个平面所成的角相等，它们一定是同一个平面吗?

图2

生:不一定吧!貌似可以对称的!

师:讲得很对!画个图大家就明白了(黑板上展示图形，如图2所示).

生:嗯!在中间那个对称平面上的直线和2个平面所成的角应该是相等的.

师:因此不能用这个方法来判断啊!那么，还能用什么方法来判断呢?

生:空间向量，只要求出它们的法向量，看是不是共线!

师:有道理!如果共线，加之这2个平面有2个公共点C，E，那么它们一定是同一个平面，反之，如果法向量不共线，那么它们就是不同的平面.

生:老师，我是以点C为坐标原点、以CA，CB分别为x轴和y轴、过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴建立直角坐标系 C-xyz，求出了平面CDE的一个法向量n=(1，2，－2)，而平面EAC的一个法向量是m=(0，1，0)，显然它们不共线.

师:嗯!有道理啊!看来这2个平面应该不是同一个平面，那么还有没有其他的佐证，可以进一步坚定我们的信念?我们能不能构造一个二面角来判断?

生:对啊!老师，我知道!可以构造二面角A-EC-D，通过求它的平面角，如果是180°或0°，那说明是同一个平面，否则就不是.

师:你的想法很对!那下面大家来求一下二面角A-EC-D的平面角吧!

学生们开始忙碌起来，有的作角，有的计算，有的沉思，教室里分外热闹.5分钟以后……

师:我们发现，其实这个二面角的平面角直接作很困难.

生(齐声):是的!

师:当直接作二面角的平面角有困难时，我们还有哪些办法?

生(齐声):体积法!向量法!

师:好!我们先用向量法来求，请你们来说说!

生1:设此二面角的平面角为θ，2个半平面的法向量分别为n=(1，2，－2)，m=(0，1，0)，可得

师:接下来，我们再用体积法试试，谁来分享一下?

生2:过点D作DO⊥平面EAC于点O，再过点O作OF⊥EC于点F，联结DF，在Rt△DOF中，∠DFO=α即为二面角A-EC-D的平面角的补角.接下来想办法求出DO和DF，我已经通过△CDE的3条边长，发现它是非特殊三角形，因此先利用余弦定理求出∠DCE的余弦，再求出它的正弦，然后利用等面积法求得边CE上的高，再利用DO即点D到平面EAC的距离.又DB∥EA，那么点D到平面EAC的距离就是点B到平面EAC的距离，即d=BC=2a，因此如图3所示.

图3

师:想到了用平行线转移，很好!你的这个转移使我产生了一个想法，既然DB∥EA，点D到平面EAC的距离d=BC= 2a≠0，这一点是不是足以说明点D不在平面EAC上呢?

生2:对啊，恍然大悟!

此时，有些学生捶胸顿足，大声感叹:原来如此啊!

师(总结):非常好!刚才我们通过各种办法，证明了它们不是同一个平面!以后对类似的问题可不能凭感觉、想当然啦!要看仔细了再来算哦!可惜刚才那位同学，正确的答案错误的方法，简直不可思议!实属巧合啊!

师:对了，有些走远了，我们要做的第2)小题是求CM与平面CDE所成的角，可不能用平面EAC来代替平面CDE了!言归正传，可以直接作线面角吗?

生1:行，肯定是行的，但不好作，有困难.

师:那不直接作的话，可以间接作吗?

生2:那就是体积法了，只需要求出点M到平面CDE的距离就可以了.

师:我们应该利用哪2个三棱锥的体积?

生3:VM-CDE=VC-DEM即可.

师:嗯，不错!就是这2个三棱锥.这是间接作，也就是作而不算，那么不作可以吗?

所以这个角是45°.

师:很好!现在我给大家一个挑战——过点M直接作平面CDE的垂线.

(学生开始苦思冥想.)

师(提示):想想我们可以得到垂线的定理.

生5:面面垂直的性质定理.

师:很好，利用这个定理的关键是要找到含点M的一个平面，而这个平面又与平面CDE垂直.

生6:找到了，过点C作CF⊥DE，联结MF，再过点M作MH⊥CF，可以证明MH⊥平面CDE.

学生经过思考，觉得不错，MH确实是平面CDE的垂线，大家对他的做法赞叹不已.

师:确实如此，不过我们都很想知道你是怎么想到这样去作的?

生6:我先是注意到了CM⊥平面ABDE，从而CM⊥DE，那么再过点C作一条垂直于DE的直线的话，DE就会垂直于包含M的一个平面了，于是就有了上面这种作法了.

师:非常棒!原来如此，其实这种作法也挺自然.接下来我们要算的角就是∠FCM，而在Rt△FCM中，只需要算FM即可，大家可以算算看.

师:好了，今天这节课我们在求解一个线面角时，偶然遇到了判断2个平面是否共面的问题，我们最终通过多种方法加以判断，同时复习了线面角和二面角平面角的求解策略.我发现，同学们肯动脑、勤计算，表现不错!

课后反思 本节课中的这道题很容易从直觉上认为平面EAC和平面CDE是同一个平面，而且巧合的是2者答案一致.然而这确实不是同一个平面，在以往的教学过程中，笔者要么直接说它们不是同一个平面，要么因为不能确定而直接避开，根本没有对这2个平面的位置关系作深入细致的分析.事实上，这样深入细致的分析，即复习了相关知识点，又可以训练学生对数学所学知识——二面角和空间向量的应用技巧，培养学生严谨科学的数学应用意识，真正实现“明体达用”的思想理念.

笔者原本在备课时还准备了一道题，但是课堂上由于学生提出了“为什么这2个平面不是同一个平面”的问题，顺藤摸瓜，顺势对这个问题作了进一步研究，因此第2)小题就来不及分析了.事实上最后发现，这样的过程不仅激活了课堂活力，而且提升了学生在数学方面的学习力，反而因“祸”得福了.