对一道2015年上海市数学高考解析几何题的探究

●谭孙涛 (四川音乐学院附属中等艺术学校 四川成都 610021)

对一道2015年上海市数学高考解析几何题的探究

●谭孙涛 (四川音乐学院附属中等艺术学校 四川成都 610021)

2015年上海市数学高考理科第21题如下:

题目 已知椭圆x2+2y2=1，过原点的2条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D.记得到的▱ABCD面积为S.

1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，用A，C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明:S=2|x1y2－x2y1|;

2)设l1，l2的斜率之积为，求S的值.

笔者将重点分析第2)小题.

思考1 解决直线与椭圆的交点问题，常规方法为设直线方程，求出交点的坐标.

解法1 设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x.显然点A，C不在y轴上，设x1＞0，x2＞0.由同理可得从而

思考2 在解法1中，将S的表达式平方后再变形更简单.

思考3 以点A，C的坐标x1，x2，y1，y2为参数，先利用斜率之积得到x1，x2，y1，y2的关系，再结合设而不求的思想解决.

解法3 由l1，l2的斜率之积，得x x=－2y y.由点A，C在椭圆上，得1212

思考4 考虑椭圆的参数方程，从三角函数的变形入手.

化简得cos(α－β)=0，此时|sin(β－α)|=1，从而

思考5 通过坐标变换，将直线与椭圆的交点问题，转化为直线与圆的交点问题，更容易解决.

由l1，l2的斜率之积，得，即直线l1'，l2'的斜率kl1'kl2'=－1.从而直

线l1'⊥l2'，此时▱A'B'C'D'是圆x'2+y'2=1的内接正方形，S'=2.又因为所以

总结 要想顺利解决解析几何问题，选择合理方法，避免冗长、复杂的计算是关键.笔者认为，在以上5种解法中:前3种方法更常规，但对代数变形的要求较高;后2种方法“生僻”一些，但计算量小，过程简洁，特别是解法4，很值得向学生推荐.

探究 完成本题后可以发现，对椭圆x2+2y2=1，当直线l1，l2的斜率之积为时，▱ABCD的面积S是定值.那么椭圆方程中a，b的值、直线l1，l2的斜率之积、面积S这3者之间有何关系?对任意椭圆=1(其中a＞0，b＞0)，是否存在实数λ，使得当l1，l2的斜率之积为λ时，S是定值呢?

通过对题目所蕴含的深层次关系进行分析，笔者得到了以下结论:

结论1 过原点的2条直线l1和l2分别与椭圆=1(其中a＞0，b＞0)交于点A，B和C，D，记▱ABCD的面积为S.当l1，l2的斜率之积为时，S为定值2ab.

证明 设A(a cosα，b sinα)，B(a cosβ，b sinβ).直线l1，l2的斜率之积为

化简得cos(α－β)=0，此时|sin(α－β)|=1，从而

结论2 过原点的2条直线l1和l2分别与椭圆1(其中a＞0，b＞0)交于点A，B和C，D，l，l12

的斜率存在且kl1kl2=λ，记▱ABCD的面积为S.

2)当λ≥0时，0＜S＜2ab.

证明 设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x，点A(x1，y1)，C(x2，y2)(其中 x1＞0，x2＞0).由得，从而同理可得.于是

2)当λ≥0时，设k1＞0，k2＞0，则(k2－k1)2＞0，从而，即0＜S＜2ab.

由式(2)可知，若直线l1，l2的斜率存在，则当且仅当时，▱ABCD的面积S为定值.