似是而非 错在哪里——谈2个相似不等式的推广及证明

●何 灯 李云杰 (福清第三中学 福建福清 350315)

似是而非 错在哪里
——谈2个相似不等式的推广及证明

●何 灯 李云杰 (福清第三中学 福建福清 350315)

问题［1］已知a，b，c为满足a+b+c=1的正数，求证:

(《中学数学》第231号问题)

宋庆老师在其微博中归纳了式(1)的多种证明，并给出了其姊妹不等式:已知a，b，c为满足a+b+ c=1的正数，求证:

文献［2］利用换元法给出上述姊妹不等式的新证，并利用此证法将式(1)和式(2)推广为:

命题1 已知a，b，c为满足a+b+c=1的正数，n∈R且n＞1，k∈R且k≥0，求证:

笔者发现式(3)对任意k≥0不恒成立，如令a=b→0+，c→1，k→0+，若原式成立，则必有得，这与条件矛盾，显然文献［2］中的换元证法存在问题.为了说明问题所在，现将文献［2］中针对式(1)的证明摘抄如下:

证明［2］设，其中a＞0，i=1，2，3，则i

上述推理过程似乎很自然，究竟错在哪里?在证明不等式时，常用到分析法和综合法，而分析法又称执果索因法，顾名思义，即从证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知、定理、定义、公理等).考查文献［2］的证明，在使用了幂平均不等式之后，实际上是将问题转化为证明(此为待证不等式)，而上述证明过程中已认定此不等式成立，从而证明了犯了循环论证的错误.

下面笔者给出式(3)和式(4)的修正、推广及证明.命题2 已知a，b，c为满足a+b+c=1的正数，n∈R且n＞0，k∈R，则当时，式(3)成立;当 k≥0时，式(4)成立.

当k≥0时，由均值不等式得

即式(4)成立.

［1］ 宋庆.数学奥林匹克问题高231［J］.中学数学，2008(8):47.

［2］ 王炜.两个相似不等式的统一证明及推广［J］.中学数学研究，2015(1):20-23.