基于微分方程的高校实验楼温控系统模型分析
2015-05-30武庆彬张旭升
武庆彬 张旭升
【摘要】众所周知，HVAC系统在大型楼宇建筑内智能调节室内温度方面有着重要应用.由于实验室和办公室内环境相差较大，整个系统温度调节能力有所下降.我们通过建立微分方程的方法，逐步改变环境增加变量完善温控模型，从数学角度分析HVAC系统存在的缺陷并给出解释和解决方案.
【关键词】HVAC系统;高校实验楼;温控模型;微分方程
【中文分类号】O29
大学教学楼和实验楼里面的温度调节与空调不同.尤其是在实验楼里，各房间温度调节能力各不相同.我们打算采取与以往不同的方式，基于微分方程建立温度模型对实验楼里的温度调节系统进行研究，通过建立不同的数学模型，以数学的视角来分析温控系统调节整个实验楼各个房间温度的不同阶段，并分析其中的优缺点，从数学角度给出解决方法.
以第一实验楼为例，实验室教学楼由四个学院办公室和一个计算机机房组成，所有房间的温度由单独一个恒温器（HVAC系统）控制，它被安装在其中的一个办公室内.假定影响室内温度的主要因素有：室外温度、HVAC的输出量、HVAC的输出的空气的温度、室内面积、室内人数和正在工作的计算机台数.
为建立的模型易于理解，首先对应用最为广泛的HVAC系统的工作原理进行浅显易懂的简介：当室温等于或高于Ts+w华氏度时，HVAC系统开始工作，直到室内温度达到Ts-w华氏度.同样当室温达到或低于Ts-w时，HVAC系统停止工作，直到室内温度达到Ts+w华氏度.冬季刚好相反，室温会一直保持在Ts-w华氏度到Ts+wTs+w华氏度之间，为保持室内常温，HVAC系统不会进行连续转换.
一、基础模型
考虑第一个影响因素即室外温度时，我们建立最简单的温度模型：牛顿冷热原理.原理为，物体温度的变化率与物体温度和其周围物体的温度之差成比例.即室内温度的变化率与室内温度和室外温度的温度之差成比例.微分方程为：
dTdt=k（Ta-T）.
其中Ta表示室外温度，T表示室内温度，k为房间周围的隔热层，是房间的固有属性.求解得：
T（t）=Ta+T0-Tae-kt.
其中 T0表示室内的初始温度.
二、引入HVAC系统
当把 HVAC系统的因素考虑进去时，新的微分方程为
dTdt=k（Ta-T）+rV（THVAC-T）.
其中THVAC 表示的是系统产生的冷空气的温度，r是冷空气吹出的速率，V是实验室的体积.求解微分方程，当dTdt=0时平衡温度为 T平衡=VkTa+rThaveVk+r.
给点任意初始温度，空调系统都会使得室内温度接近T平衡.
三、模型整合
将两个模型进行结合，构成单个微分方程描述安装了HVAC系统的单个房间的室内温度.通过利用取值为0和1的分段函数使得微分方程描述的温度在这两个值之间转换，即 dTdt=k（Ta-T）+step（T）rV（THVAC-T）.
其中step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w.
0，otherwise.
如果室温上升，达到Ts+w华氏度时，分段函数转换成某个值（step（t）=1），但是如果室温下降，达到Ts-w华氏度时，分段函数也会转换（step（t）=0）.
四、模型推广
当房间数由一个变为两个时，模型变得复杂.首先忽略人和计算机对于温度的影响，则办公室和实验室的温度由下面的方程组表示：
dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（x），
dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（x）.
其中，F是办公室内的温度，L是实验室内的温度，k1 和 k3 分别为办公室和实验室的隔热层，是房间的固有属性.K2是HVAC系统从室外向办公室内充入的空气的体积和办公室的体积之商，即rFVF.K4是HVAC系统从室外向实验室内充入的空气的体积和实验室的体积之商，即rLVL.如果恒温器在办公室则x等于F，如果恒温器在实验室则x等于L.
五、空调开关
上述模型中还留有空调的开关问题，即step（x）.因为空调的开关仅仅依赖于放置有恒温器的房间的温度，却控制着所有房间的温度.以本文为例，恒温器放在了办公室内.在夏季，办公室和实验室的温度都很高，由于办公室的面积没有实验室大，工作人员和工作电脑没有实验室多.所以，实验室的温度高于办公室内的温度.即L>F.当办公室内的温度大于Ts+w华氏度时（这时显然F也大于Ts+w华氏度），HVAC系统开始工作，办公室和实验室内的风管都开始向室内充入温度相同（为THVAC）的冷气，两个房间温度都开始下降，办公室内温度下降得快.当办公室内的温度达到甚至低于Ts-w华氏度时，实验室内的温度还很高.但是由于开关是根据办公室内的温度进行判断，即
所以尽管实验室内的温度还很高，HVAC系统还是停止工作.根据模型一牛顿冷热原理，办公室和实验室内的温度都开始上升，直到办公室内的温度达到或高于Ts+w华氏度（此时实验室内温度已经远远高于Ts+w华氏度），HVAC系统再次开始工作，如此反复循环.这就导致了实际上HVAC系统设定的舒适温度（Ts-w华氏度到Ts+w华氏度）只有办公室内温度才满足，而实验室内的温度始终都很高.
这反映在温度-时间图上，就可以看到实验室内的温度始终比办公室内的温度要高.而在冬季，这刚好相反.所以，这显然不合理，是系统的一个缺陷.
六、加 权
现在我们来解决问题，首先我们在实验室和办公室都安装温度传感器.我们对F和L进行加权，即T=w1F+w2L（w1+w2=1）.我们将用T控制HVAC系统的开关.确定合适的权重w1和w2后，最终返回给HVAC系统的开关的将不再是单纯的恒温器所在房间的温度（在本文中即办公室内的温度），而是办公室和实验室的温度的加权，即T=w1F+w2L（w1+w2=1）.
使得HVAC系统的开关stepT将由实验室和办公室的温度共同控制，进而使实验室和办公室的温度都舒适.最终建立的微分方程组为
dFdt=k1（Ta-F）+k2（THVAC-F）step（T），
dLdt=k3（Ta-L）+k4（THVAC-L）step（T）.
其中 step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w，
0，otherwise.
而其中T=w1F+w2L（w1+w2=1）.
在原先的模型中.在夏季，当室内温度X等于或高于Ts+w华氏度时，HVAC系统开始工作，通过通风管向所有房间内冲入冷气，直到X达到Ts-w华氏度.同样的，当温度达到或是低于Ts-w时，HVAC系统停止工作.在冬季，正好相反.
所以在新建立的模型中，开关中的温度T=w1F+w2L
即step（t）=1，ifT>Ts+sgndTdt·w
0，otherwise 将取代原先的STEP（X）.
七、确定权值
现在的问题是如何确定权重w1，w2从而确定T=w1F+w2L.T将是通过温度传感器反馈给HVAC系统的温度数值.由于HVAC系统的职能就是保证室内温度（即反馈给它的温度）最终保持在{Ts-w，Ts+w}范围内.所以Ts-w≤T≤Ts+w.
下面来求：F，L
由dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L）·step（x），
dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）·step（x）.
当hvac系统工作时step（x）=1，则
dLdt=k3（Ta-L）+k4（Thvac-L），
dFdt=k1（Ta-F）+k2（Thvac-F）.
对上述两个常微分方程进行求解，解得：
F=e-（k1+k2）t+1/（k1+k2）（k1Ta+k2Thvac），
L=e-（k3+k4）t+1（k3+k4）（k3Ta+k4Thvac）.
所以T=w1F+w2L=w1F+（1-w1）L =w1e-at-e-bt+1k1+k2（k1Ta+k2Thvac）-1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）+ e-bt+1k3+k4（k3Ta+k4Thvac）.
由Ts-w≤T≤Ts+w，知
Ts+w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤w1≤
Ts-w-e-bt-k3Ta+k4Thvack3+k4e-at-e-bt+k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4.
令左式= f（t）， 右式=g（t），则f（t）max≤w1≤g（t）min.
然后通过求解 确定f（t）max和g（t）min，
Ts+ω-k3Ta+k4Thvack3+k4-1k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4≤ω1≤Ts-ω-k3Ta+k4Thvack3+k4k1Ta+k2Thvack1+k2-k3Ta+k4Thvack3+k4
由w2=1-w1可以求得w2.
上述求解过程是建立在T=ω1F+ω2L中F与L是当step（x）=1时求得的.若当step（x）=0时，即HVAC系统不工作，那就没有必要求解w1，w2.因为w1，w2反映在现实的HVAC系统中具体表现就应该是HVAC系统往办公室和实验室内充入的冷气的量.只有当HVAC系统工作时，求出的w1，w2才有意义.
对于具体实验室，上式中的每个字母都有具体的含义.需要对应具体的环境得到具体的数据，得到具体的w1，w2.
八、模型总结
我们建立的数学微分方程模型发现了HVAC系统中存在的不足，为HVAC系统的完善提供了理论参考，但是鉴于缺少足够的实验数据来证实我们建立的模型的合理性，所以建立的实验模型还不够完善.模型限制条件不够多，环境较为理想化，没有足够模拟现实条件中的环境.因此，进一步完善和加强我们的模型条件，使其具有一般性，能够对大多数HVAC空调系统有借鉴和参考意义.
【参考文献】
[1]解学书.最优控制理论与应用[M].北京：清华大学出版，1986.
[2]邵惠鹤.工业过程高级控制[M].上海交通大学出版社，1997.
