数学解题反思—反思题意的理解过程

摘 要：数学解题的思维过程是从理解问题开始的，G.波利亚在他的“怎样解题”表中提出数学思维过程的四个阶段：弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾。其中“弄清问题”就是我们通常所说的“理解题意”，是解题能否取得成功的关键的第一步。本文就题意的理解进行反思。

关键词：数学；理解题意；解题反思

数学解题的思维过程是从理解问题开始的，G.波利亚在他的“怎样解题”表中提出数学思维过程的四个阶段：弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾。其中“弄清问题”就是我们通常所说的“理解题意”，是解题能否取得成功的关键的第一步。“理解题意”的一种表现形式就是从问题的情景中“获取信息”和“加工信息”。“理解题意”的第一步是从题意中“获取信息”，“获取信息”的主要方法是检索信息和搜索信息。“加工信息”就是以发散性加工的方式或收敛性加工的方式解释、组织和转化信息。要用自己的语言对问题重新描述，用自己的理解实现对问题的重构。事实上，学生在解题活动中往往欠缺的首先是这一点。

一、案例解析

例1：設集合A={x|x2+（b+2）x+1=0，b∈R}，求A中所有元素的和。

误解：由韦达定理，得方程x2+（b+2）x+1=0，b∈R的两根之和为：x1+x2=-（b+2），∴A中所有元素之和为-（b+2）

教师引导学生反思：集合表示什么？该一元二次方程有什么特点？含有参数b在实数范围内一元二次方程的根的情况有哪些？没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根，这三种情况可以通过什么来反映？

方程x2+（b+2）x+1=0，b∈R的根的判别式Δ=（b+2）2-4（b+1）=b2≥0。

用集合来表示一元二次方程的实数根时，应全面理解为A={x|x2+（b+2）x+1=0，b∈R}

={

，

}（Δ=b2-4ac>0）（二元集）

{

}（Δ=0）（一元集）

Φ（空集）

回到题目中去，未知量是什么？——求集合中所有元素之和。

“求集合A中所有元素之和”与“求一元二次方程的两根之和”有区别吗？有什么区别？

当一元二次方程有两个相等的实根时，根据集合中元素的互异性，仅表示为一元集，在该题中当b=0时，A={-1}，而不是{-1，-1}。因此b=0时，A中元素的和不等于方程的两个根之和，也就不能用-（b+2）且b=0来表示。

二、理解题意存在偏差的原因分析

学生在解答上述问题时，在理解题意的过程中发生了什么偏差呢？——理解题中的“两根之和”条件时，扩大为“不相等两根”，附加了并不属于题设的个人主观含义。

理解题意是正确解题的前提，正确理解题意就是将题目所提供的信息全部消化吸收并进行分解和编码。如分清题目的“已知”与“未知”，“条件”与“结论”，透彻地理解其中每个概念的含义，揭示它们之间的联系。消除似是而非，顾此失彼的思想状态。引导学生对自己最初理解题目的过程进行反思，也就是在解题活动完成以后，要求学生对“获取信息”和“加工信息”的过程进行思考，长此以往，有助于学生在理解题意上有所长进，从而积累更多的经验。

理解题意的另一种表现形式就是问题表征，“理解的一个重要指标就是看一个人能否用平常的语言把问题陈述出来，并通过对问题的陈述产生关于问题的内部表征。”很多学生对这些也是不易想象到的，对抽象符号理解的最有效方法就是“具体化”，先取一两个，两三个具体的数代进去试验一下看看。

数学知识是解决数学问题的基础，探寻知识点间的联系是解题思维的重要出发点和解题思维活动过程的重要方面，解题过程能有效展示知识之间的联系。反思解题所用知识点，寻找知识间的联系，能使学生加深对数学知识间的关系和联系的理解，逐步向纵向和横向形成知识网络，扩充知识结构，并在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”，形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系，促使解题活动中的知识点产生“连锁反应”效应，优化解题过程。

参考文献：

[1]涂荣豹.试论反思性数学学习[J].数学教育学报，2000（4）.

[2]司马贺，邢具诚，等，译.人类的认知[M].北京：科学出版社，1996.

[3]郑金才.高中数学教学衔接设计[J].中国教育技术装备，2010（14）.

作者简介：王玉花（1976— ），女，内蒙古巴彦淖尔人，硕士研究生，中学一级教师，研究方向：数学教育。