不等关系的早期探索

徐传胜

古人先认识到不等关系，而后才认识到相等有关系.

在长期狩猎与分配猎物的过程中，古人自然产生了“有”和“无”之别，又逐步形成了“多”和“少”之分，后从“有”中理解到“1”和“多”的含义.有些原始部落认识到“1、2”和“多”的区别，把大于3的数看为“一群”或“一堆”.故可猜测古人知道，三只羊比两只羊多.同学们知道，对于任意两个实数a、b，它们存在着三种可能关系：a=b，a>b，a

相等关系仅仅是其中一种（呈现在数轴上是同一个点），故自然界充斥着大量的不等关系，犹如方程与方程组是研究等量关系的重要工具一样，不等式与不等式组是研究不等关系的重要工具.

1.欧几里得与不等关系.

虽然古希腊的毕达哥拉斯学派曾研究了若干自然数的性质，但其对数字之间的比较关系关注还较少.关于不等关系的确切表述和应用最早出现在欧几里得所撰《原本》之中，他采用不等关系给出了一些定义，并论证了若干命题.在第一卷采用不等关系定义了钝角和锐角.

定义11：大于直角的角称钝角，

定义12：小于直角的角称锐角，

而在第五卷，欧几里得定义了度量线段的部分和倍量，

定义1：当一个较小量能量尽一个较大量时，则称较小量为较大量的一部分，

定义2：当一个较大量能被一个较小量量尽时，则称较大量为较小量的倍量，

欧几里得在《原本》中，论证了若干不等关系，从第一卷中几个不等关系，同学们可略见一斑，

命题3：已知两条不等线段，试从较长线段上截取一条线段等于较短线段.

以较长线段某个端点为圆心，以较短线段为半径作网，利用所有圆半径相等可轻松在较长线段上截取较短线段.此命题是线段比较长短的基础.也许同学们感觉此命题无须证明，然而几何学的严密性恰恰要求证明，如欧几里得所言，直觉是不可靠的.我们需要能够证明一切，公理化理论正源于此，

命题16：在任意三角形中，若延长某边得到一外角，则外角大于任一不相邻内角，

命题17：在任意三角形中，任意两角之和小于两直角之和.

命题18：在任意三角形中，大边对大角.

命题19：在任意三角形中，大角对大边.

命题18和命题19是姊妹命题，前者应用命题16证得，后者利用反证法得到.在此基础上，欧几里得推出三角形中的重要命题20.

命题20：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边.

其证明中还应用了公理5：整体大于部分.类似地，同学们可证：在任意三角形中，任意两边之差小于第三边.

2.阿基米德与不等关系.

比欧几里得稍晚一些的阿基米德（公元前287-前212），更是认识到了不等关系的重要性，在其著作《论球与圆柱》之中推证球体积公式时，利用了不等关系的一些结论.

直到6世纪，欧多修斯在对阿基米德的《论球与圆柱》注释之中才证明了此命题，

需要说明的是，由于当时尚未创立相关数学符号，其推证过程显得较为复杂.不过借助欧多修斯的思路，可以获得重要不等式：

3.不等号的由来.

不等关系的频频出现，自然引起了数学家的关注，他们试图采用简洁的符号来表示.现在使用的“<”“>”是英国数学家哈里奥特（1560-1621）创立并最早建议使用的.

哈里奥特是英国代数学派的奠基人，其遗著《实用分析学》于1631年出版，该书在韦达研究的基础上，主要讨论了代数方程相关理论.哈里奥特写道：

大于记号：a>b表示a量大于b量；

小于记号：a

这对符号简洁优美，突出了相反的特征，很快就得到一些学者的认可和赞许.按照以出版时间为准的国际惯例，不等号应该算是诞生于1631年，然而此时哈里奥特已经逝世10年了，故可以推测不等号至少应是在1621年前创立的.

第一个把等号和不等号联合组成新符号“≥”“《”者，应是法国数学家布格尔（1698-1758）.布格尔之父是水文学家和数学家.1730年布格尔成为勒阿弗尔的水文学教授，布格尔还发明了测日计来测量太阳及其他发光体的光强.布格尔在其著作中首创不严格不等号，但他未充分认识到其重要性，直到被德国数学家哥德巴赫（1690-1764）发现.哥德巴赫于1734年1月写信给欧拉（1707-1783），并告知此事，欧拉立刻给予肯定，称赞这对符号既保持了等号和不等号双重关系，还如此简洁优美.故现在把符号“≥”“≤”的创立时间确定为1734年.至18世纪初哈里奥特所创立的严格不等号也被广泛使用起来.

同学们现在使用的不等号，是清末数学家李善兰（1811-1882）首先引进的.1852-1859年，李善兰与英国传教士伟烈亚力（1815-1887）等合译出版了《几何原本》后九卷及《代数学》《代微积拾级》等，这是西方近代科学著作传人中国的开端，其中李善兰引进了西方大量数学符号，同时还创译了许多科学名词，如“数轴”“函数”“代数”等，已沿用至今，实谓匠心独具.

不等关系在我们日常生活中经常出现，如“大与小”“长与短”“高与矮”“优与劣”“胖与瘦”等.而在数轴上，显然右边的点对应的数永远大于左边的点对应的数，只要同学们留意身边的事情.就会发现很多不等关系.