在辩证统一中把握不等关系

孔凡哲 曾金炳

不等式是初中数学的重要内容之一，它是一元一次方程、二元一次方程组等内容的进一步发展.

不等式与方程、函数作为刻画现实世界的数学模型，三者构成初中数学课程教学的最重要内容.

一、不等是大千世界中普遍存在的关系

对于某一变化过程中的两个量a、b而言，随着运动变化，a与b之间的关系有时相等，有时不等，这种数量关系就成了数学的研究对象之一.

1.不等是普遍的关系，而相等却是暂时的、瞬间的关系.

对于运动变化过程中的两个量a、b而言，其彼此相等往往是暂时的，而不等却是普遍存在的.

例1 甲、乙两位老师相约乘坐城际高铁到省城参加教研活动.乙住处距省城64km，甲住处位于乙住处与省城之间，两个住处相距12km.两人乘坐高铁（匀速行驶）同时同向出发，其距乙出发点距离与时间关系如图1所示.那么，两人8min后能同时到达省城吗？其各自所乘坐高铁的速度分别为多少？

2.寻找差异是衡量不等关系的重要工具，求差法、求比法是判断不等关系的重要方法.

对于不等关系a>b，通常采取求差法进行分析研究，当a、b均为正数时，也可以采取求比法进行分析研究.

二、准确把握不等式所蕴涵的基本思想

学习不等式，除了理解、掌握不等式的基本概念和基本性质，还要注意体会把握不等式的重要思想方法.

1.模型思想.

与相等关系相比，不等关系是现实世界中更为普遍的关系，不等式是刻画不等关系的重要模型.这种模型经常与方程、函数联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型.在解决实际问题时，往往需要合理选择这三种重要的数学模型.

例2某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产1件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg；生产1件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg.如果设生产A种产品x件，则按要求分别需要甲、乙两种原料各多少？

按要求安排生产A、B两种产品，可以有哪几种方案？请你帮助设计.

解析：在这里，最重要的信息就是“计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件”，这里包含着两个关键的数量关系：生产A、B两种产品所使用的甲种原料的数量不超过360 kg，生产A、B两种产品所使用的乙种原料的数量不超过290 kg.

如果设生产4种产品x件，那么，生产B种产品（50-x）件，于是，按要求需要甲种原料[9x+4（50-x）]kg，乙种原料[3x+10（50-x）]kg.从而，上面的两个关系可以等价地表示为：生产A、B两种产品所使用的甲种原料的千克数9x+4（50-x）不超过360.生产A、B两种产品所使用的乙种原料的千克数3x+10（50-x）不超过290.

由上述过程知，建模包含了这样的过程：

首先，用自然语言描述现实问题；其次，发现现实问题中的量，用自然语言描述多个量之间的不等关系；再次，用只含一个未知数的式子描述这些量之间的不等关系；最后，用不等式（组）表示不等关系.

2.辩证思想.

相等关系与不等关系是一对矛盾关系，但是，在引入松弛量的前提下，“a>b”与“存在一个正数c，满足a=b+c”却是等价的，这就是一种辩证思想.这意味着，即使是相互矛盾的一对关系，在一定条件下也可以相互转化，

值得一提的是，恰当地运用这种思想，可以轻松解决相当多的问题，教材中本章的大部分问题，几乎都可以利用这种思想加以解决.不等式的所有性质几乎都可以采取引入松弛量的方法加以证明.

3.数形结合思想.

数轴是描述不等式（组）的解集的最佳方式之一.其主要的依据在于，每一个实数都能用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都对应着一个实数.右边的点对应的数总比左边的点对应的数大.

从而，所有大于a的数对应的点，都排在数轴上数a对应的点A的右侧.

按照这种思想，解不等式（组）就变得自然、简单.

事实上，我们在解不等式（组）时，运用数轴表示不等式（组）的解集，就是数形结合思想的具体体现.

可见，在解决与不等式（组）有关的问题时，我们要注意数形结合，尤其要注意联系数轴或者方程、等式等内容，注意不等式与等式之间的转换.同时，要深刻体会不等关系的广泛存在性，注意使用恰当的不等式来刻画这种不等关系.

还记得解方程的核心方法是“化归”吗？解不等式其实也是如此，事实上，无论是一元一次不等式的解题过程，还是一元一次不等式组的解题过程，都是凭借不等式的相关性质，化繁为简、合并消元，最终化归为x>a等的形式.