感悟不等关系，建立不等式（组）模型

龚雪霜 仲秀英

不等式（组）是继方程（组）之后的又一个重要数学模型，在学习的过程中，我们要结合具体情境体会不等式的意义，探索不等式的性质，并体会探索过程中所蕴涵的数学思想，学会挖掘具体情境中的不等关系，建立不等式（组）模型解决实际问题.

一、结合具体情境，体会不等多的意义

数量之间既可以相等，也可以不等.在日常生活中我们会发现，相等关系只是一种特殊的数量关系，不等关系才是最普遍的数量关系，比如从自己身边找两名同学，他们的体重一般不会正好完全相同，中午的温度一般比早上的温度高，这些情境中都包含了数量之间的不等关系，在数学中，我们通常用“>”“<”“≠”等符号来表示不等关系，用不等号表示数量关系的式子就称为不等式，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.例如，按照规定，每100g某种食品中的防腐剂不能超过0.5g.它的意思就是在100g这种食品中，防腐剂的质量小于或等于0.5g.若设100g这种食品中防腐剂的质量为fg，则f≤0.5，所有小于或等于0.5的正数都是该不等式的符合实际问题的解，

生活中的不等关系无处不在，我们要学会用数学的眼光去观察、发现，并尝试用不等式这样的数学语言来描述，反之，对于具体的不等式，我们也可以结合具体情境来体会它所表达的意义.

二、探索不等式的性质，感悟不等关系

我们已经知道，在等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，乘（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍成立.那么，不等式是否也有类似的性质呢？我们可以采用数轴法、赋值法、现实情境法等进行探索.在此，我们以数轴法为例来说明.

设有不等式a>b，则a>b在数轴上的几何意义是，表示数a的点在表示数b的点的右侧（如图1，我们只讨论a>b>0的情况，其他情况大家可以类比进行探索）.

在不等式a>b的两边加上（或减去）同一个数，会得到什么样的结果呢？先假设不等式两边加上（或减去）的这个数为c.如果c=0，则数轴上表示a、b的点不动，a±c>6±c；如果c>0，则a+c和b+c就相当于在数轴上将表示a、b的点同时向右平移c个单位长度（如图2），a-C和b-c就相当于在数轴上将表示a、b的点同时向左平移c个单位长度（如图3），从而可以得到a±c>b±c：如果c<0（此时一c是一个正数）.则a+c和b+c分别是a-（-c）和b-（一c）.相当于在数轴上将表示a、b的点同时向左平移一c个单位长度（图略），a-c和b-c分别是a+（一c）和b+（一c），相当于在数轴上将表示a、b的点同时向右平移一c个单位长度（图略），从而可以得到a±c>b±c.于是我们得到不等式的性质1.

性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变，即如果a>b，那么a±c>6±c.

在不等式a>b的两边乘（或除以）同一个数，会得到什么样的结果呢？首先，不等式两边乘（或除以）的这个数不能为0（不能同除以0是因为0不能作除数，为什么不能同乘0

通过以上探究过程我们可以看出，不等式两边加上（或减去）同一个数或式子，乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.这个探索过程蕴涵了类比思想、分类讨论思想和数形结合思想等，同学们要仔细体会这些数学思想，并学会运用它们解决数学问题.

三、建立不等式（组）模型， 解决实际问题

通过以前的学习，我们知道利用方程（组）可以解决实际生活中的相等关系问题，类似地，利用不等式（组）可以解决生活中的不等关系问题.利用不等式（组）解决实际问题，实质上就是从实际情境中抽象出不等关系，建立沟通已知数与未知数的不等式（组），解不等式（组），然后回到实际问题进行检验，得到实际问题的解.具体操作过程见图6.

下面我们借助实例来说明.

例1某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如表1.经过预算，本次购买机器所用资金不能超过34万元.

（1）按该公司的要求共有几种购买方案？

（2）若该公司购买的6台机器的日生产总量不能少于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？

解析：（1）第一步，根据实际问题寻找不等关系.

结合题意，由“不能超过”可知，购买甲、乙两种机器所用资金小于或等于34万元，从而找到不等关系.

第二步，根据不等关系建立不等式（组）.

设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台.用含x的代数式表示出购买两种机器所用的资金，根据前面分析所得的不等关系，列出不等式7x+5（6-x）≤34.

第三步，求解不等式（组）.

经过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，解得x≤2.

第四步，根据问题的实际意义检验不等式（组）的解，从而解决实际问题.

根据题意，x表示购买甲种机器的台数，应为自然数，所以x可以取0、1、2.该公司有如下三种购买方案：①不购买甲种机器，购买乙种机器6台；②购买甲种机器1台、乙种机器5台；③购买甲种机器2台、乙种机器4台.

（2）方案①所用资金为5x6=30（万元），新购买机器日生产总量为60x6=360（个）；

方案②所用资金为7x1+5x5=32（万元），新购买机器日生产总量为100×1+60×5=400（个）；

方案③所用资金为7×2+5×4=34（万元），新购买机器日生产总量为100×2+60×4=440（个）.

通过比较可知，选择方案②既能满足日生产总量不少于380个的要求，又相对节约资金，故应选择方案②.

同学们在学习本章知识的过程中，要注意体会和感悟不等关系，学会在具体情境中提炼不等关系，建立不等式（组）模型解决实际问题.