斜拉索振动信号的包络线稀疏复原算法

徐静妹，叶庆卫，王晓东，周宇

(宁波大学信息科学与工程学院，浙江宁波315211)

斜拉索振动信号的包络线稀疏复原算法

徐静妹，叶庆卫，王晓东，周宇

(宁波大学信息科学与工程学院，浙江宁波315211)

经验模态分解算法在故障诊断、信号去噪、趋势预测和趋势消除等很多领域具有广泛的应用价值。信号包络线提取是经验模态分解算法的核心关键技术，直接影响分解结果的效果。目前在信号处理中常用的包络分析法有Hilbert变换、广义检波滤波、三次样条插值法和偏微分方程建模等，但是这些方法存在提取包络线精度不高、端点效应等不足，尤其是端点抖动效应导致很大的包络线提取误差。将信号的极值点看成是包络线信号的某一变换域上稀疏采样点，引入了稀疏优化算法对这些极值点进行包络线的稀疏优化复原。首先研究分析包络线的平稳变化特性，以此构建变频的DCT稀疏基;其次求解信号的极值点，以信号的极值点集用于稀疏优化算法的观测值;然后采用正交匹配追踪算法进行包络线的稀疏复原求解;最后对实际斜拉索振动信号进行算法测试和应用，通过与三次样条插值法进行比较分析，结果表明本算法不仅可以提高提取信号包络线的精度，还可以有效的抑制端点效应。

经验模态分解;Hilbert变换;三次样条插值;稀疏复原;端点效应

经验模态分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)是由美籍华裔科学家Huang等提出的一种基于瞬时频率的信号处理方法，它能够克服傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波分析等信号分析方法存在的局限，主要用于处理非稳态、非线性的时变频率信号［1］。EMD作为新提出的信号处理方法在故障诊断、信号去噪和趋势预测和趋势消除等很多领域具有广泛的应用价值。而EMD算法的关键技术是包络线的提取［2］。斜拉索作为斜拉桥和悬臂桥的主要受力构件，振动信号能实时反映出斜拉桥外界环境激励及拉索荷载的变化。拉索具有质量轻，结构柔及阻尼低等特点，在外界激励与支撑端运动作用下易产生大幅振动，对斜拉索的安全性与耐久性构成极大威胁［3－5］。采用经验模态分解算法对斜拉索振动信号进行分析，可以实时对桥梁进行故障检测，为桥梁的安全使用提供保障［6］。

在信号处理中常用的包络提取方法有:Hilbert变换、广义检波滤波和三次样条插值法及其改进算法等。但这些方法都存在不足。Hilbert变换法存在随机噪声，使得提取的包络线精度不高;广义检波法要求必须知道包络成分的频率，而且带有混频效应;三次样条插值法存在最棘手的端点效应问题［7］。

针对三次样条插值法提取信号包络线的端点效应问题，目前已有学者提出了一些改进算法。邓拥军等［8］提出用神经网络技术对数据序列进行延拓的算法。该算法使用的是一种单层、单神经元和线性神经网络。先由学习过程确定网络模型的权重向量和偏移量，再由此模型对原数据进行左右延拓。对于大多数信号数据，神经网络延拓算法都可以很好地抑制端点效应，该算法最大的不足就是速度太慢。赵进平等［9］提出了镜像延拓算法。该算法把原数据序列对称地延拓成一个环形数据，再对环形数据进行平稳化处理，输出各本征模态函数(Intrinsic Mode Function，IMF)分量。镜像延拓算法是一种理想的算法，但是较占存储空间，而且如赵进平所说，镜像延拓一般要求把镜面放在极值点处，当无法确定一个数据序列的端点数据是否是极值点时，最好截去一部分数据以便把镜面放在极值点处。如果处理一个短数据，不适合截去时，处理效果就欠佳。

本文针对三次样条插值存在的端点效应问题，提出了基于稀疏复原提取信号包络的算法。①根据包络线的平稳特性构建变频宽的稀疏基;②求解信号的极值点，以信号的极值点作为稀疏优化算法的观测值，然后采用正交匹配追踪算法进行稀疏复原求解信号的包络线;③通过对实际提取的斜拉索振动信号进行实验仿真，比较分析后，基于稀疏复原方法可以有效的克服Hilbert变换和三次样条插值提取信号包络中存在的问题，即不仅可提高提取信号包络线的精度，而且能有效的抑制端点效应。

1 信号包络线求解基本原理

1.1 希尔伯特变换包络检波原理

将一段时间长度的高频信号的峰值点连线，就可以得到上方(正的)一条线和下方(负的)一条线，这两

它的实质是使信号产生90°的相移［11］，其中(t)为实信号x(t)的希尔伯特变换信号。

求解信号包络线的原理就是让测试信号产生一个90°的相移，从而与原信号构成一个解析信号。求出它的幅值信号，此信号就构成包络。实信号x(t)经希尔伯特变换得到信号(t)，二者构成一解析函数式z(t)，可表示为

由此得到振动信号的幅值信号为条线为包络线。包络线就是反映高频信号幅度变化的曲线。对于等幅高频信号，这两条包络线就是平行线。当用一个低频信号对一个高频信号进行幅度调制(即调幅)时，低频信号就成了高频信号的包络线。这样的信号称为调幅信号。从调幅信号中将低频信号解调的过程，称为络检波，即包络的求解过程［10］。

一个实信号x(t)的希尔伯特变换定义为

上述过程完成了对信号的解包络分析。采用基于希尔伯特变换提取信号包络谱的方法可以有效地提取调制频率及具有一定的抗噪性。但是当信号信噪比变小时，Hilbert变换法的包络误差会随之增大。导致所提取的信号包络不光滑，影响了包络提取的精度。在实际中，包络解调前必须选取一个冲击激起的受环境干扰小的高频振动，并以其为中心频率进行窄带滤波，然后再对滤波后的信号进行包络分析。因此采用希尔伯特变换法提取信号包络线只具有理论研究意义，对于实际信号并不实用。

1.2 三次样条插值法求解信号包络线的基本原理

在实际中，我们常用的信号包络线的提取方法是三次样条插值法。三次样条插值法是根据信号的有限采样点即插值节点以及信号的边界条件求解信号的具体求解过程参照文献［12］。利用三次样条插值方法求解包络线即分别以信号的极大值点和极小值点作为信号的上包络线的插值节点和下包络线的插值节点，通过求解相应的插值函数拟合出信号的上、下包络线。

用三次样条插值拟合的信号包络不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，能够很好的提高信号包络提取的精度。EMD通过多次的筛选过程来逐个分解IMF。在每一次的筛选过程中，要根据信号的上、下包络来计算信号的局部平均值;上、下包络是由信号的局部极大值和极小值通过样条插值算法给出。由于信号两端不可能同时处于极大值和极小值，因此上、下包络在数据序列的两端不可避免地会出现发散现象。以左端点为例，如果该点为极大值点，那么上包络线可以把它作为左端终点，不会发生大幅度的摆动;对于下包络线由于左端点不是极小值点，则无法确定它的左端终点，产生大幅度的摆动，给筛选过程引入误差，并且这种发散的结果会随着筛选过程的不断进行逐渐向内“污染”整个数据序列而使得所得结果严重失真，这也就是所谓的端点效应问题。图1为利用样条函数对一个序列计算上下包络的实例，可以看出，利用三次样条插值法所得到的上、下包络线都出现了失真。

图1 利用三次样条插值法提取的一组信号包络线Fig.1 The signal envelope extracting based on cubic spline interpolationmethod

2 基于稀疏复原的信号包络线提取原理

2.1 采用变频宽DCT基进行稀疏复原的包络线提取的原理

对原始信号x(t)求解其极大值点得到极大值点序列xa(t)，xa(t)=［xa1，xa2，xa3，…，xai，…，xaK］，其中xai为x(t)的第i个极大值点，1≤i≤K，K为极大值点的个数。对原始信号x(t)求解其极小值点得到极小值点序列xb(t)，xb(t)=［xb1，xb2，xb3，…，xbi，…，xbL］，其中xbi为x(t)的第i个极小值点，1≤i≤L，L为极小值点的个数。

基于稀疏复原的方法求解信号包络线的基本思想是把信号x(t)的上(或者下)包络线看成是一条某一变换域下的稀疏信号，把信号的极大值点集xa(t)(或者极小值点序列xb(t))看成是经过稀疏采样后的点集。然后根据稀疏复原的方法拟合出极大(或者小)值点的曲线xs(t)。但是在稀疏复原的过程中由于稀疏基、观测矩阵的不同会求出不同的曲线。因此可以根据包络线平稳变化的特性选择合适的稀疏基，从而可以自适应提取出最佳的信号包络线xm(t)。

由于信号的包络线结构比较复杂，很难根据信号特征来构建自适应的稀疏字典，故采用通用的稀疏基来进行稀疏复原。常用的稀疏基有DFT基、DCT基和小波基等，本文是根据信号包络线的平稳特性自适应构建变频宽的离散余弦变换基(Discrete Cosine Transform，DCT)Ψ，定义变化因子m，构建变频宽的DCT基表达式为:

式(4)中:N为所构建DCT基的维数，即原始信号x(t)的采样点数，m为变换因子，主要用于改变DCT基的频宽来构建变频宽的DCT基。利用不同的DCT基进行稀疏复原获得多条不同的曲线，从恢复的曲线中找出一条变化最平稳的信号作为最佳包络线，故本文提出的方法可以根据信号的特征自适应地提取出信号的最佳包络线。此处信号包络线的平稳特征是指在包含所有峰值点基础上的平稳变化。如果信号本身存在突变，那么突变峰值点也会包含在里面。

恢复信号的变化程度是通过恢复的信号的一阶微分体现的。定义一个微分矩阵D，dij表示D的元素(i =1，2，3，…，(n－1)，j=1，2，3，…，n)，其中dij=1，di(j+1)=－1，矩阵D中的其他元素均为零。将已经恢复的信号与微分矩阵相乘即可获得信号的一阶微分信号D(t)，最终提取的最佳包络线即是从恢复的多个曲线中找出满足D(t )最小的曲线，D(t)表示信号D(t)的2范数，本文定义D(t )为已恢复信号的平稳度函数。综上所述，可得到基于稀疏复原求解信号包络线的数学模型为:

式中:H为感知矩阵，s为待求的稀疏解，yr为观测值，即信号的极大值点序列xa(t)或者信号的极小值序列xb(t)，Ψ为稀疏基，本文使用的稀疏基是根据信号包络线的平稳特性自适应构建的变频宽的DCT基，xs(t)即是恢复出的原始信号，即信号包络线，根据不同频宽的DCT获得不同的信号包络线，从中选择最佳包络线xm(t)。

但是上述表达式是个非凸问题，很难求解，故需要简化模型，分步求解。即先利用稀疏复原方法求解以下模型:

式(6)使用稀疏优化算法很容易求解，将求得的结果代入式(7)中即可提取出信号包络线。然后通过改变变化因子m，从中恢复的曲线中找出一条使得最小的稀疏信号。

2.2 基于稀疏复原提取信号上包络线的具体实现

首先求解信号x(t)的极大值点，获得极大值点序列xa(t)，初始化变化因子m的值，令m=1，根据式(4)来构建变频宽的DCT基Ψ，以信号的极大值点序列xa(t)作为观测序列，以Ψ作为稀疏基，采用OMP算法进行稀疏复原，得到恢复曲线xs(t)，即信号的包络线，根据式(5)求解xs(t)的一阶微分Dm(t)，‖Dm(t)‖表示当变频宽DCT基的变化因子的值为m时恢复出曲线的平稳度函数，根据m=m+1来更新变化因子m的值，比较不同变换因子所对应‖Dm(t)‖的大小，从中找出使得‖Dm(t)‖最小的恢复信号xs(t)，即为所要求解的最佳上包络线xm(t)。综上所述。基于稀疏复原的信号上包络线求解算法的流程图见图2，由于提取信号下包络线的原理相同，在此不多做说明。

图2 基于稀疏复原的信号上包络线求解算法的流程图Fig.2 The flow chart on signal envelope algorithm based on sparse restoration

基于稀疏复原的信号包络线求解算法的主要步骤是利用OMP算法对信号的极值点进行稀疏复原［13］，OMP算法的具体过程见图3。

图3 正交匹配追踪算法的流程图Fig.3 The flow chart on Orthogonal Matching Pursuit algorithm

3 仿真实验以及结果分析

3.1 采用稀疏复原方法提取信号包络线仿真结果

通常斜拉索振动信号的两个主模态频率为0.8 Hz和3 Hz，故采用的仿真信号的主模态频率f1=0.8 Hz，次模态频率f2=3 Hz，所加的微弱干扰信号频率f3= 10 Hz。

仿真信号采用的是一维双模态信号x(t)，采样点数为500个，信号取值范围为［0，3］s，

利用稀疏复原方法对信号x(t)的极值点进行曲线拟合时，由实验可知，通过改变DCT基的频频宽度可以自适应地找到一条符合包络线缓慢变化特性的最佳拟合曲线，即可以找到一条变化程度最小的最佳包络线。图4表示基于稀疏复原与基于三次样条插值方法提取出的信号上包络线比较，横轴表示的是时间，纵轴表示信号幅值，图4中m是改变DCT基频宽的变化因子(假设变化前DCT基频宽为B，则变化后DCT基频宽变为B/m)，dd表示的是采用压缩感知思想拟合出曲线的变化程度。由于包络线具有变化缓慢的特性，因此dd越小越好。比较可得当m=7时，dd的值最小。由图4可知，基于疏复原提取的信号包络线不仅能有效的抑制端点效应，而且在信号的中间点拟合出的包络线与三次样条插值提取出的信号包络线几乎完全重合，由此可知本文提出的基于稀疏复原提取出的信号包络线可以有效的抑制端点效应。同理可以提取出信号下包络线(见图5)。

图4 基于稀疏复原与基于三次样条插值方法提取出的信号上包络线比较Fig.4 The comparison chart on extracted the signal upper envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

图5 基于稀疏复原与基于三次样条插值方法提取出的信号包络线比较Fig.5 The comparison chart on extracted the signal envelope based on sparse recovery and based on cubic spline interpolationmethod

3.2 基于稀疏复原提取信号包络的抗噪性能分析

为分析本文提出算法的抗噪性能，本文对一维双模态信号x0(t)加一高斯白噪声n(t)，得到已加噪信号x1(t)。对已加噪信号x1(t)进行仿真。由于通常斜拉索振动信号的两个主模态频率为0.8 Hz和3 Hz，故为了说明本文提出算法实际意义，信号的频率采用主模态频率为f1=0.8 Hz，次模态频率为f2=3 Hz，所加的微弱干扰信号频率f3=10 Hz。采样点数为500个，信号取值范围为［0，3］s

在MATLAB中利用awgn函数为信号x(t)添加高斯白噪声，通过设定变量R的值来改变信号的信噪比。下面以提取加噪信号的上包络线来分析基于稀疏复原提取信号包络的抗噪性能(见图6)，图6(a)表示的是当R=15，即信号的信噪比设置为15 dB时，基于稀疏复原与基于三次样条插值方法提取出的信号上包络线的比较，为了更清晰地体现本文提出算法抑制端点效应的效果，对图6(a)进行局部放大，得到图6(b)，由此图分析可得，当信噪比较大的情况下，基于稀疏复原提取信号包络不仅精确的提取出信号包络线，而且仍可以有效地抑制端点效应。改变R的值，减小信号的信噪比为10 dB，如图7所示，同样图7(b)为图7(a)的局部放大图，由图7(b)可以清晰地观察出，基于稀疏复原的方法仍可以有效的抑制端点效应问题，但是与大信噪比的信号相比，恢复出的信号包络线的精度降低，因此采用稀疏复原的方法提取信号的包络线的抗噪性能有待提高。

图6 信噪比为15 dB时两种方法提取已加噪信号上包络线比较Fig.6 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 15 dB

图7 信噪比为10 dB时两种方法提取已加噪信号上包络线比较Fig.7 Thecomparison chart of twomethods of extraction the upper envelope of the signal added noise when SNR is 10 dB

4 基于稀疏复原的信号包络线提取在EMD算法中的应用

用本文提出的算法对实际采集的振动信号提取包络线。工程数据采自宁波某斜拉索大桥，大桥全长67 m，由102根径长为0.15 m拉索构成拉索支撑系统;采用WS－ZHT2振动设备和双传感器采集振动信号，双传感器安装在拉索和梁端的铰支部位，能有效感应索－梁耦合的拉索振动［14］(见图8)。

图8 传感器安装图Fig.8 The picture of sensor installation

采用本文提出的算法对实际采集的斜拉索振动信号进行包络线的提取，本实验仿真中采样频率fs=100 Hz，采样时间是0～1 s，采样1 024个点。仿真结果见图9，此图表示的是基于稀疏复原方法与三次样条插值方法提取斜拉索振动信号包络线的比较，图中横轴表示的是时间，纵轴表示的是信号的幅值。由图9可知，在信号的非端点处采用本文提出的算法提取出的信号包络线与基于三次样条插值方法提取出的包络线几乎完全重合，在端点处明显看出本文提出的算法能够有效地克服三次样条插值方法过程中存在的端点效应，故本文提取出的算法提取的信号包络线优于三次样条插值方法提取的信号包络线，证明了本文提取出的算法的有效性。由此说明本文提出的算法不仅能够较精确地提取出斜拉索振动信号的包络线，而且可以有效地抑制端点效应。

图9 基于稀疏复原方法与三次样条插值方法提取斜拉索振动信号包络线的比较Fig.9 The comparison chart on extracted the envelope of stay cable vibration signal based on sparse ecovery and based on cubic spline interpolationmethod

将本文提出的提取包络线的方法应用到EMD分解中，并且对实际采集的斜拉索振动信号进行EMD分解，本实验仿真中采样频率fs=100 Hz，采样时间是0～1 s，采样512个点。仿真结果见图10。图10表示分别采用稀疏复原方法提取信号包络线的EMD分解结果的比较，图11表示采用三次样条插值方法提取信号包络线的EMD分解结果。两图中IMF1、IMF2和IMF3分别表示经过EMD分解得到一阶、二阶和三阶本征模态函数。比较分析知，采用本文提出的方法进行斜拉索振动信号包络线提取的EMD分解效果很好，能够较好地抑制端点效应，在高频分量上差异还不是很明显，由于包络线的误差不断积累，在低频分量上表现出了明显的差异。从图11可知，两种方法得到的前两个IMF分量差异不大，但是第三个分量表现出了明显的不同，即采用本文提出的方法进行信号包络线提取的EMD得到的本征模态函数IMF的对称性优于采用三次样条插值法提取包络线的EMD分解所得结果，故说明本文提出的方法可以有效地克服EMD分解过程中的端点效应，从而提高了EMD分解的效果，因此本文提出的基于稀疏复原的信号包络线的提取方法对于桥梁的故障检测具有重要意义。

图10 基于稀疏复原方法提取斜拉索振动信号包络线的EMD分解结果Fig.10 EMD decomposition results based on sparse recovery extract the stay cable vibration signal envelope

图11 基于三次样条插值方法提取斜拉索振动信号包络线的EMD分解结果Fig.11 EMD decomposition results based on cubic spline interpolation extract the stay cable vibration signal envelope

5 结论

本文提出了一种新的提取信号包络线的方法，即基于稀疏复原提取信号包络线，该方法根据信号包络线的平稳特性自适应构建变频宽的DCT基，从而能够根据自适应地提取信号的最佳包络线。与三次样条插值法提取信号包络线比较，由仿真结果可以得出本文提出的方法不仅可以提高信号包络线的精度，而且可以有效的抑制端点效应。基于稀疏复原提取信号包络线的这一特性使其在EMD分解中可以得到广泛的应用。本文通过比较采用稀疏复原方法和三次样条插值方法提取斜拉索振动信号包络线的EMD分解结果，说明了本文提出方法的有效性，从而证明了稀疏复原方法在桥梁故障检测中具有重要的应用价值。

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Envelope sparse recovery algorithm for stay cable vibration signals

XU Jing－mei，YE Qing－wei，WANG Xiao－dong，ZHOU Yu
(Information Science and Engineering College，Ningbo University，Ningbo 315211，China)

Empirical mode decomposition(EMD)has extensive applications in a lot of fields，such as，fault diagnosis，signal de－noising，trend prediction and trend elimination.The key of EMD technique is to extract the signal envelope，it directly affects the effects of decomposition results.Currentenvelope analysismethods in signal processing are Hilbert transformation，generalized detection and filtering，cubic spline interpolation and modeling of partial differential equations，etc.However，the disadvantages of these methods are the lower accuracy for envelope extraction and the end effects，etc，especially，the jitter effect of ends leads to a larger envelope extraction error.Here，the extreme points of a signal were regarded as spare sampling points of its envelope signal in a certain transformation domain，the sparse optimization algorithmswere introduced to do envelope sparse optimal recovery for these extreme points.Firstly，the steady change characteristics of the envelope were studied to construct a DCT sparse base with varying frequency;secondly，the extreme points of the signal were solved and the extreme points of the signal were taken as observation values for sparse optimization algorithms;then，the orthogonalmatching pursuit algorithm was used to do solving envelope sparse recovery.Finally，the actual stay cable vibration signals were employed for algorithm testing and applications.Through a comparative analysiswith the cubic spline interpolation method，the results showed that the proposed algorithm can not only improve the accuracy of extracting signal envelope but also can effectively inhibit the end effect.

empirical mode decomposition(EMD);Hilbert transformation;cubic spline interpolation;sparse recovery;end effect

TP391.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.033

国家自然科学基金(61071198);浙江省自然科学基金(LY13F010015);浙江省重点科技创新团队子项目(421400250);浙江省重中之重学科开放基金(xkx11417);宁波市自然科学基金(2012A610019)

2015－01－23修改稿收到日期:2015－05－25

徐静妹女，硕士，1990年生

叶庆卫男，副教授，1970年生