复合材料机匣的弹性稳定性及振动特性研究

温登哲，陈予恕，侯磊，李忠刚

(1.哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001;2.哈尔滨工业大学机械工程学院，哈尔滨150001)

复合材料机匣的弹性稳定性及振动特性研究

温登哲1，陈予恕1，侯磊1，李忠刚2

(1.哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001;2.哈尔滨工业大学机械工程学院，哈尔滨150001)

采用Flügge壳体理论，分析了径向内压对复合材料机匣的弹性稳定性(屈曲特性)的影响，并讨论了几何参数及材料特性对屈曲特性的影响。研究分析表明，在强度允许的范围内，径向内压的提高有助于提高机匣的抗屈曲能力。进一步应用振型叠加方法，研究了复合材料机匣在径向内压作用下受到径向简谐激励作用时稳态动力响应问题，在特定径向简谐激励的作用下，径向位移响应的最大值在激励面和非激励面对应的频率点不同，激励面内出现在第三阶频率点处，而在非激励面内则出现在基频处。

复合材料机匣;圆柱壳;弹性稳定性;振型叠加法

航空发动机机匣整体结构近薄壁圆柱壳，受轴向力、内压及径向冲击等多种载荷共同作用，容易发生屈曲，机匣的屈曲将破坏发动机进气道，并使发动机产生剧烈振动甚至碰摩，严重时会使整个飞机发生抖动以及结构屈曲破坏［1］。先进复合材料由于其重量轻、刚度大、可设计性好、抗疲劳性能强等许多优异特性［2］，在航空发动机机匣上获得了广泛的应用，复合材料的应用，不仅减轻了发动机的重量，提高了推重比，而且提高了机匣的抗屈曲能力和运动稳定性。

从最近的研究成果来看，国内外对壳体结构的弹性稳定性研究主要集中在圆柱壳及加筋圆柱壳的屈曲方面［3－6］。仲政等［7］综述了复合材料与结构的若干力学问题的最新研究进展，包括复合材料梁、板、壳结构的解析解和数值解，文中还提出了梯度有限元法、非传统Hamilton原理、细观元法等常用的数值方法。

Jones［8］研究了正交反对称层合圆柱壳前屈曲变形对轴压和侧压屈曲临界载荷的影响，但研究工作局限于两端简支的边界条件，结论不具有普遍性。唐文勇等［9］采用半解析法研究了径向阶跃载荷作用下复合材料圆柱壳的非线性动力屈曲问题，用有限差分法对方程进行了求解，通过B－R准则判定壳体是否发生屈曲，并确定了屈曲临界载荷。齐红宇等［10－11］利用线性板壳理论，对航空发动机树脂基复合材料外涵道机匣进行了有限元建模，分析了机匣在轴向和径向载荷单独作用和耦合作用下的屈曲特性，研究发现，在轴向载荷和径向载荷单独作用和耦合作用下，复合材料机匣的屈曲部位均发生在机匣的内外表面。李健等［12］采用Runge－Kutta法和多尺度法对轴向运动的复合材料薄壁圆柱壳的非线性振动特性进行了理论研究，得到了系统由于固有频率接近导致的内共振现象。翟叶高等［13］提出了一种半解析区域分解法来分析任意边界条件的复合材料层合壳的振动，并将计算结果与其他文献进行了对比，结果表明，该方法具有高效率、高精度和收敛性好等优点。陈强等［14］以纤维增强复合材料层合壳结构为研究对象，分析了边界条件、铺层数目和壳体几何参数对壳体结构振动特性的影响。李戎等［15］以Flügge壳体理论为基础，利用波动法推导了复合材料圆柱壳耦合系统的振动方程，并与各向同性壳材料圆柱壳的固有频率进行了对比;材料参数，壳体厚度，长径比及边界条件等因素对复合材料圆柱壳的固有频率影响巨大。

以上文献从理论和数值方面对复合材料机匣及圆柱壳结构的弹性稳定性和振动特性进行了研究，但对于轴向力和径向力耦合作用下的壳体屈曲和振动问题研究的还比较少，而在实际工况中，机匣是受到轴向力与径向力耦合作用的影响，因此研究机匣在轴向力和径向力耦合作用下的弹性稳定性及振动特性对实际工程设计有重要的意义。本文以受轴向力作用的复合材料机匣为研究对象，根据其几何特征将其简化为薄壁圆柱壳结构，考虑径向力(径向内压和径向简谐激励)对机匣的弹性稳定性及振动特性的影响，结果表明，径向力及材料参数对机匣的弹性稳定性和振动特性影响巨大。

1 机匣的动力学方程

本文根据航空发动机机匣薄壁、整体呈柱状的几何特征，将机匣简化为薄壁圆柱壳结构(见图1)，圆柱壳长度为L，内半径为R，厚度为h。坐标系oxyz，u，v，w分别为各坐标轴方向的位移;Q为均布径向内压，L0处截面作用径向简谐激励p(t)f1(x0)，图2为L0处机匣截面径向简谐激励p(t)f1(x0)的示意图。

图1 复合材料机匣示意图Fig.1 Model of a composite case

假定复合材料的弹性主方向与机匣中面坐标oxyz方向一致，轴向弹性模量和泊松比分别为Ex，vx，周向的弹性模量和泊松比分别为Ex，vx且满足关系。vxEθ=vθEx(1)

图2 L0处径向简谐激励示意图Fig.2 Diagram of radial harmonic excitation on L0

机匣受轴向力和径向力共同作用，其中径向力包括径向压力Q和径向简谐激励p(t)f1(x0)，根据Flügge壳体理论建立复合材料机匣的振动方程［16］

式中:P为轴向力，Q为径向内压，p(t)f1(x0)为径向简谐激励，ρ为材料密度u，v，w分别为轴向、周向和径向的位移。对于复合材料机匣，假定材料是匀质的，薄膜内力Nx，Nθ，Nxθ，Nθx，弯曲内力Mx，Mθ，Mxθ，Mθx与位移的关系表达式为:

其中:

式中:Dx，Dθ，Dxθ为拉伸刚度，Kx，Kθ，Kxθ为弯曲刚度。

为了讨论机匣几何参数及材料参数对轴向失稳压力Pcr的影响，本文讨论了5种典型的材料［17］。

表1 5种典型材料的参数Tab.1 Parameters of five typicalmaterials

2 机匣的弹性稳定性分析

2.1 轴向失稳压力的计算

本节分析机匣在径向内压作用下的轴向失稳压力问题，令径向简谐激励为零:

将式(3)，式(4)，式(5)，式(6)代入式(2)中，式(2)可写为矩阵的形式

式中Lij(i，j=1，2，3)是微分算子，表达式为:

设位移函数表达式为:

式中λ=mπ/L，m表示轴向半波数，n表示周向波数。

将式(9)代入式(7)，得:

其中P，Q分别为轴向压力和径向内力，矩阵M，A，B的表达式为:

研究系统在轴向力作用下径向内压Q对轴向失稳压力Pcr的影响，式(10)为机匣在轴向力P和径向内压Q共同作用下振动的特征方程，令式(10)的右端为{0，0，0}T，系数行列式等于零为机匣失稳的临界条件表达为:

2.2 机匣弹性稳定性分析

根据上述理论推导，本节对复合材料机匣的弹性稳定性问题进行数值计算。定义轴向临界失稳压力Pcr:

图3为两种不同长度圆柱壳的轴向失稳压力和失稳波形的关系，图3(a)和图3(c)对应的失稳波形分别为m=1，n=4和m=1，n=2;对比图3(a)和图3(c)可知，长径比对轴向失稳压力有较大影响，且长圆壳的失稳压力较短壳的失稳压力小。图3(b)和图3(d)为存在径向内压时两不同长度圆柱壳的轴向失稳压力与失稳波形的关系，分别对比图3(a)和图3(b)、图3(c)和图3(d)可知，径向内压的存在，不仅增大了失稳压力，而且对失稳压力对应的失稳波形也有所影响。

图4为径向内压和材料参数对轴向失稳压力和周向波数的影响，图4(a)可知，材料3～材料5，近似认为Ex不变化，周向弹性模量Eθ的逐渐增大，Eθ的增大有效的提高了机匣的轴向失稳压力;材料3～材料1，近似认为Eθ不变化，轴向弹性模量Ex逐渐增大，但轴向失稳压力却逐渐减小，这是由于做无量纲的时候将Ex作为分母导致的，引入以Eθ为基准的轴向失稳压力［18］:

材料3～材料1，近似认为Eθ不变，因此以Eθ为基准的无量纲是合理的，图5为以Eθ为基准的无量纲轴向失稳压力和周向波数的关系图，通过图5(a)我们发现随着Ex的增大，机匣的轴向失稳压力P'cr也随之增大。

图3 长径比和径向压力对临界失稳压力的影响Fig.3 Effects of length－diameter ratio and radial pressure on critical buckling pressures

图6(a)和图6(b)为厚径比和径向内压对失稳压力和周向波数的影响，厚径比(h/R)的增大和径向内压的存在能显著提高失稳压力。

图4 材料参数和径向压力对临界失稳压力的影响Fig.4 Effects ofmaterial parameters and radial pressure on critical buckling pressures

图5 以Eθ为无量纲基准下径向压力对临界失稳压力的影响Fig.5 Effects ofradial pressure on critical buckling pressures with Eθas the benchmark of dimensionless

图6 厚径比和径向压力对临界失稳压力的影响Fig.6 Effects of thickness－radius ratio and radial pressure on critical buckling pressures

3 径向简谐激励下机匣的振动特性分析

将圆柱壳的振型表示为轴向梁函数和周向三角函数组合的一般解形式［19］:

式中:Umn，Vmn，Wmn为广义振型函数，qmn(t)为广义坐标，n为周向波数。

将式(3)，式(4)，式(5)，式(19)代入式(2)，得:

从式(29)可知，在简谐激励作用下，机匣三个方向的位移响应是各种振型叠加的结果，其中αmn，βmn分别表示轴向和周向与径向的振幅比，对于不同的振型m，n，存在不同的振幅比。

以三种不同材料(见表1)为例，研究径向简谐激励对机匣稳态动力响应的影响，设径向简谐激励作用在机匣L/2处，激励为p eiωt，机匣的几何参数为:L/R= 10，h/R=0.01。

图7(a)和图7(b)为激励面内的位移响应曲线，图7(a)中给出了第6，第7个峰值处的放大图，其峰值分别用A，B表示，振型m=1，n=4和m=3，n=7也分别标注在图中，可以看出固有频率对应的响应值并不是系统实际响应的峰值，与峰值略有偏差，共振峰值与固有频率有微小偏差的现象，是由于模态耦合的原因导致的。Leissa［20］在讨论圆柱壳受到正弦波激励的稳态响应问题时指出了这个现象。

图7 激励面内径向位移响应曲线Fig.7 Diagram of radial displacement in excitation forced plane

从对比图7(a)和图7(b)，图8(a)和图8(b)可知，径向内压的存在，导致机匣的共振频率升高，当外激励频率高于无内压作用的机匣的固有频率时才会引起壳体共振;通过图7(a)和图8(a)可知，在径向简谐激励p(t)f1(x0)作用下，机匣在非激励面内，径向位移响应的最大值发生在基频率处，而激励面内响应的最大值发生在第3阶固有频率处，径向内压的存在，使激励面内和非激励面内的径向位移响应的幅值有所减小。

图8 非激励面内径向位移响应曲线Fig.8 Diagram of radial displacement in non－excitation forced plane

4 结论

采用Flügge壳体理论，分析了径向内压作用下复合材料机匣的弹性稳定性，讨论了结构尺寸以及材料特性对屈曲特性的影响。并应用振型叠加方法，分析了复合材料机匣在径向内压作用下受到径向简谐激励作用时稳态动力响应问题。结论如下:

(1)在强度允许的范围内，径向内压的提高有助于提高机匣的抗屈曲能力。

(2)径向内压的存在，提高了机匣的共振频率，即当激励频率高于无内压作用的机匣的固有频率时才能引起共振;在径向简谐激励作用下，由于模态耦合的原因，共振曲线峰值和固有频率点存在微小偏差。在径向简谐激励p(t)f1(x0)作用下，机匣径向位移的最大值在激励面内和非激励面内对应的频率点不同，激励面内，最大响应发生在第3阶频率点，而在非激励面内，却在基频处出现最大值。

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Elastic stability and vibration characteristics of a composite case

WEN Deng－zhe1，CHEN Yu－shu1，HOU Lei1，LIZhong－gang2
(1.School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China;
2.School of Mechatronic Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

Influences of radial internal pressure on elastic stability(buckling characteristics)of a composite case were analyzed based on the Flügge shell theory，in addition，influences of its geometric parameters andmaterial properties on its buckling characteristicswere also discussed.Results showed that increasing the internal pressure can improve the anti－buckling ability of the casewithin the limits of its strength.Furthermore，the dynamic responses of the composite case under a radical harmonic force were studied by applying the mode superposition method.It was shown that under the radial harmonic excitation，the frequencies of the maximum radial displacements in the excitation force plane and in the non－excitation forced plane are different;more specifically，themaximum radial displacement in the excitation force plane appears at the 3rd modal frequency of the case，but that in the non－excitation force plane appears at the fundamental modal frequency of the case.

composite case;cylindrical shell;elastic stability;mode superposition method

O323

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.23.001

国家自然科学基金资助项目(10632040/11302058)

2014－05－07修改稿收到日期:2014－11－19

温登哲男，博士生，1986年生

陈予恕男，教授，博士生导师，中国工程院院士，1931年生