寻常之中透着不寻常——对高中导数恒成立问题的思考

☉安徽省全椒中学 胡宗兴

寻常之中透着不寻常
——对高中导数恒成立问题的思考

☉安徽省全椒中学 胡宗兴

对于不等式恒成立问题，经常会涉及求参数范围，常常需要对变量分离并将其转化为以下两个思路进行求解.

思路1：若m≥f（x）在x∈D上恒成立，则m≥f（x）max.

思路2：若m≤f（x）在x∈D上恒成立，则m≤f（x）min.

可见利用导数求参数范围是不等式恒成立问题的一种重要的应用，［1］但是在解题中经常被解题人忽视，笔者由课堂上一个学生的提问，引起笔者对近几年导数恒成立问题重新思考.

例1（2013年新课标I卷21题）已知函数f（x）=x2+ ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

解析：（I）略.

（Ⅱ）由（Ι）知a=4，b=2，c=2，d=2，所以f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）.设F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），则F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）.由题设可得F（0）≥0，即k≥1.

①若1≤k＜e2，则-2＜x1≤0.所以当x∈（-2，x1）时，F′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0.即F（x）在（-2，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，故F（x）在x=x1时取得最小值，即

所以当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

②若k=e2，F′（x）=2e2（x+2）（ex-e2）.所以当x≥-2时，F′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上单调递增.又F（-2）=0，故当x≥-2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

③若k＞e2，则F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）＜0.所以当x≥-2时，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.综上，k的取值范围是［1，e2］.

说明：此解法是标准答案给出的解法，属于构造法，学生也易想，但是对于“由题设可得F（0）≥0，即k≥1”这个问题，学生都认为考虑不到，以致问题无法进行，于是在课堂上，笔者提出这是怎么想出来的呢？紧接着就有一位同学提出想法：“可否分离参数”，笔者当时也没有在意，随口说了句“可以试试”，心想“答案给出是用构造法取特殊值肯定有它独到的地方，但是既然学生提出来，又不可回避，怎么办？”于是笔者决定在课堂上和学生一起从恒成立角度去解决，解答过程如下.

另解：（Ⅱ）由（Ι）知a=4，b=2，c=2，d=2，所以f（x）=x2+ 4x+2，g（x）=2ex（x+1）.所以f（x）≤kg（x）⇒2kex（x+1）≥x2+ 4x+2（x≥-2）.

当-1＜x＜0时，h′（x）＞0，y=h（x）在（-1，0）上单调递增；当x＞0时，h′（x）＜0，y=h（x）在（0，+∞）上单调递减.

所以h（x）≤h（0）=1，即k≥1.

②当x=-1时，0≥-1，k∈R.

所以当-2≤x≤-1时，h′（x）＞0，y=h（x）在（-2，-1）上单调递增，所以解得k≤e2.

综上：1≤k≤e2.

在笔者和学生一起推理完时，教室里顿时响起了掌声，都认为此解法符合学生的认知，且易于接受，于是笔者将其整理出来以供参考，无独有偶，笔者在教学时又遇到一道类似的模拟题.

（Ι）如果存在x1，x2∈［0，2］，使得g（x1）-g（x2）≥M，求满足该不等式的最大整数M.

解析：（Ι）存在x1，x2∈［0，2］，使得g（x1）-g（x2）≥M⇒x1，x2∈［0，2］，［g（x1）-g（x2）］max≥M.

因为g′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0，y=g（x）在（0，1）上单调递减；当1＜x＜2时，g′（x）＞0，y=g（x）在（0，1）上单调递增.

所以g（x）max=max｛g（0），g（2）｝=g（2）=1，g（x）min=g（1）=-2.所以［g（x1）-g（x2）］max=g（x）max-g（x）min=3，即M=3.

所以当a≥2时，原不等式成立，故a≥2.

所以a≥h（1）=2.

总结：以上两题都是笔者在教学中，对区间内取特殊值问题通过转化为恒成立问题来加以解决，其实在每年的高考中，都会有这样的例子，例如在2014年的高考试卷中又见此类型问题，详见如下.

例3（2014年陕西卷21题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中，f′（x）是f（x）的导函数.

（Ι）令g1（x）=g（x），gn+2（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（Ι）略.

另解：（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）在［0，+∞）上恒成立，所恒成立.当x=0时，满足上式，所以a∈R.当x＞0时，恒成立.令h（x）=

笔者认为在高三正常的课堂教学中，教师不仅要关注教师的“给”，更需关注学生的“得”，要给机会让学生大胆的讲，老师充当引导者、合作者、探究者的角色，也许学生一个不经意的提问便会引起一个深刻的问题.同样在解决问题的过程中，学生不仅要关注技巧，更应掌握通法、通解，这是提高课堂教学有效性的必备要素.