设计合理“亮”思维追求高效“启”智慧——记“线面平行”（第一课）教学的思维历程及教学取向

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

设计合理“亮”思维追求高效“启”智慧
——记“线面平行”（第一课）教学的思维历程及教学取向

☉甘肃省天水市第一中学 宫前长

高中数学课程标准实验教科书《数学2》（人教A版）第二章第二节“直线、平面平行的判定及其性质”，只要认真读懂教材内容所蕴含的空间位置关系“平行”的核心概念，就会体现“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程，强化学生线面平行的基本性质及判定方法的数学探索活动，让学生准确掌握、领悟线面平行的基本数学模式及其蕴含的数学思想，在研读教材中形成高效教学.

一、提出问题

“直线与平面平行的判定及其性质”是“直线、平面平行的判定及其性质”第1课时，线面平行作为一种特殊的位置关系，是反映自然规律的一种基本的数学模型.新课标要求以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力为主要目标，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式.因此，如何进行准确定位、把握“直线与平面平行的判定及其性质”第一课的教学就显得特别重要.

二、研读教材，理清编排

1.理清教材思路

对教材《数学2》（人教A版）第二章第二节认真研读之后，教学设计明确重视“线面平行”的证明方法：通过直线间的平行来推证直线与平面平行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题），再将证明线面平行的问题化归成数学模式（对教材的深挖掘）.

教材根据“认识空间图形，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”，有意安排一个“观察”栏目，目的就是给学生直观感知，后面又给出“思考”“探究”等栏目，以问题引导学生的思维活动，同时教材也给出了直线与平面平行的具体方法：要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可以断定已知直线与这个平面平行.在教学时，不能忽视这一些微妙变化的编排，应该给予重视，让学生对直线与平面平行判定问题有一个深刻的认识和理解，才能更好地体悟到教材的编排思路.

教材通过引导学生观察门扇的对边互相平行，进一步得出门扇无论转动到什么位置，它能活动的竖直的一边始终平行于固定边所在的墙面，以及通过引导学生观察书的边缘与书面的位置关系，再提出两个探究性问题的编排和呈现方式，对线面平行的本质有了清晰的认识和把握，体会证明线面平行的思维策略，为后续立体几何的研究做好铺垫.

2.确定教学重点

认真研究了新课标，揣摩新课程教材在内容上分层次设计进行编排的特点，解决立体几何问题的重要思想方法是化归思想，即将直线与平面平行问题化归为直线与直线平行问题，再由直线与直线平行问题来判定直线与平面平行.充分体现了平行的基本特征是无公共点，抓住了这一点，空间平行问题就会迎刃而解.

集体备课时，教师对这部分内容的处理意见不统一，一部分教师按照大纲教材强调系统性，将直线与平面平行判定及其性质作为1个课时；一部分教师按照新教材编排，将直线与平面、平面与平面平行判定作为1个课时来处理.这两种处理教材的方式都是合情合理的，不分孰轻孰重，都能体现教材编排的“螺旋式上升”的思想，也符合学生在认知上“循序渐进”的规律.因此，教学重点可以确定是直线与平面平行的判定，具体是线面平行的证明，让学生领悟线面平行证明的思路和策略是这一节课的关键.

3.关注理解“无限”

平行的基本特征是“无限”，如何在课堂中，让学生关注并理解“有限”来承载、传达、表示“无限”是教学的难点.线面平行的定义明确给出线面平行的判定方法，但实际操作不方便，采用什么样的方式才能说明直线与平面之间没有公共点.大家知道，直线、平面上有无数个点，要说明直线上的点与平面上的点之间没有重合的点，确实不容易.即直线与平面平行，就是说直线上的点都不在这个平面上，其中最难解决的是“无限”问题，根据哲学观点，无限与有限对应，可以从有限入手来寻找解决直线与平面平行的思维策略.这种处理“无限”问题的策略在中学数学教材中多次出现，只是没有单独提出来而已.

三、整体把握，剖析目标

笔者查阅教师教学用书，书中表明用3个课时完成“直线、平面平行的判定及其性质”的教学.基于前面对教材的剖析，再加上教学分配时间用3个课时，如何把握这节课的教学？再通过“直观感知，操作确认”的活动寻求解决相关问题的办法.

1.知识的认知、能力上的要求剖析

从知识的认知情境看，设置了问题的情境，注重从生活实践（门扇的转动）、学习（书的翻动）、数学研究（直线与平面平行、数学符号表述证明过程）、再到数学教育（平行的理解），从直观感知到抽象理解再到数学教育的方式引导学生学习直线与平面平行的知识.

从知识的量化看，线面平行的学习在《数学2》（人教A版）中作为重点，但线面平行的判定定理和性质定理是依靠直观感知、操作确认归纳出来的，强化了合情推理，弱化了（归纳线面平行的判定定理过程）逻辑推理，把对逻辑推理的论证放在第3课时完成，体现了教材编写的“螺旋上升”的编排方式，这样做既减轻了学生学习立体几何空间感弱的困难，又能够更好地让学生轻松地、平稳地提升空间想象能力，有利于学生加深对线面平行的判定定理和性质定理的理解.

从能力的立意与提升看，教材凸显了观察、操作、分析、探索、转化、归纳能力，体现了特殊到一般及化归思想.线面平行的判定定理的学习开阔了学生的视野（从平面问题走向空间问题）、拓展思维（三维问题转化为二维问题处理）、提升能力（化归策略的形成）.

认真学习《数学必修2》（人教A版）与《数学选修2-1》（人教A版），并进行整体分析、把握，结合集体备课的智慧及研究的对策，更好地能在课堂中凸显出线面平行策略，进一步化归成一种数学模式来解决相关问题，理解、体会这种数学模式的作用，理科学生可以采用向量知识来证明线面平行等问题，不论是纯几何法，还是向量法，都是基于“平行”的基本特征（没有公共点）来设置解决策略的，凸显了教材编写与人们的认知规律达到“和谐”、“统一”的理念，如此才能真正做到“用教材教”.

2.教学预设线路的确定

通过运用线面平行的判定定理和性质定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，让学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用来解决一些具体问题；通过学生独立自主的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现、勇于探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，学习上增强战胜困难的勇气.其教学预设线路如下：

创设情境：观察感知（生活实例）——给出三个情境（生活、学习、数学），感受“线面平行”中的“位置”状态，理解“直线与平面平行”中“没有公共点的无限性”；并要概括出特征：线面平行的“无限性”化归为“有限性”，体现方式方法.

数学建构：归纳定理——经历“分析、探究”的活动，引导学生独立自主地分析、思考如何将线面平行的“无限”问题通过“有限”方式来说明和解决，揭示其数学本质特征，归纳出线面平行的判定定理和性质定理.

定理运用：巩固定理——简单运用（由课本例题+补充例题）——寻找证明线面平行的方法；通过例习题处理，化归线面平行证明的数学模式（重点）：纯几何三步走——中位线法、平行四边形法和面面平行法（留后面复习总结）.

回顾反思：深化定理——学生总结，学到什么知识？掌握了什么方法？拓展了哪些方面的视野？（作业）

四、教学片断回放

师：上述三个例题都是涉及线面平行的证明，其证明过程中最关键的是什么？哪一位同学说说？

生甲：（学生积极举手）老师，例题要求证明线面平行，可以采用线面平行的判定定理来解决，最关键的是：在平面内“找到一条直线与已知直线平行”即可.

师：（继续追问）总结的好！能够具体说一说证明线面平行的思路与方法吗？

生甲：行，例1（教材第55页例1）中，由于有中点E、F出现，容易联想到三角形的中位线性质，再根据线面平行的判定定理可证“空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面”.例2也是利用了三角形的中位线性质，只不过中位线不在平面外，而是在平面内，刚好与例1中三角形的中位线在平面外，而不在平面内相反.例3的解题策略与前两道例题不同，我没有总结好.

师：大家再看看例3的证明思路，请给出例3证明过程的学生乙来总结解题思路方法.

生乙：前面两例证法涉及中位线法，例3证法用平行四边形法.给出例3后，我按照例1的证法没有找到解题的思路，但按照线面平行的判定定理条件去思考方法，揭示中位线法的“中位线与底边平行”，平行四边形的“对边”也是“平行”的实质，从“平行”的角度去思考，在平面外的直线上找到两个特殊点向平面引两条线段，寻找这两条线段“平行且相等”，容易得到一个平行四边形，问题就解决了.

师：生乙总结了解答例3的思路策略，这也是一种证明线面平行的好策略，希望大家记住思路、理解方法，此法不妨就叫平行四边形法.请大家思考下面一道练习题如何证明.

题目：如图1，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F分别为线段PD和BC的中点.求证：CE∥平面PAF.

图1

师：（3分钟后）哪一位同学能给大家讲讲自己的思考过程？

生丙：按照同学甲的思路（中位线法），寻找中点、确定三角形的中位线，E为线段PD的中点（点P在平面PAF上，D点在平面外），F为线段BC的中点，但不能构成一个三角形，因此，延长DC交AF的延长线于点H，连接PH，则确定一个三角形DPH，其中CE恰好是三角形DPH的中位线.请大家看看我的证明过程（演算过程投影到屏幕上），如下：

证明1：（中位线法）如图2，延长DC交AF的延长线于点H，连接PH.因为E为线段PD的中点，底面ABCD是平行四边形，FC∥AD且F为线段BC的中点，则AD=2FC.由△AHD∽△FCH知，C为线段DH的中点，因此，CE恰好是三角形DPH的中位线，可知CE∥DH.又CE在平面PAF外，PH在平面PAF内，故CE∥平面PAF.

图2

生丁：（大声喊）老师！我有另一种证法（点头示意），我的想法是：看到题设条件后，按照同学甲的思路（中位线法），只有一个条件就是E为线段PD的中点，只能放弃这个方法，采用同学乙的思路（平行四边形法），如何从平面外的线段CE向平面PAF引两条既平行又相等的线段，目标转化为构造一个平行四边形的问题，还是从中点E入手，在平面PAD中，过点E作AD的平行线交PA于M点（取PA中点为M，连接EM），此时EM是△PAD的中位线，AD=2EM、AD∥EM.又底面ABCD是平行四边形，F为线段BC的中点，有AD=BC=2FC、AD∥BC，故FC∥EM，且FC=EM，则四边形MECF是平行四边形，从而有CE∥MF.又CE在平面PAF外，MF在平面PAF内，故CE∥平面PAF.请大家看我的证明过程（将演算过程投影到屏幕上），如下：

证明2：（平行四边形法）如图3，取PA的中点为M，连接CE ME、FM.

图3

因为M、E分别为PA、PD的中点，所以ME∥AD，AD=2ME.

因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，所以FC∥AD，AD=2FC，所以ME∥FC，ME=FC，所以四边形FCEM是平行四边形，所以EC∥MF，又因为CE在平面PAF外，MF在平面PAF内，所以CE∥平面PAF.

师：刚才两位学生的思考过程和证明过程，都很规范，哪位学生结合自己的审题过程，有新的想法或感受告诉大家吗？

生戊：刚看了同学丙、丁的证明过程，结合自己的思考，同学甲、乙的总结就是证明线面平行这一类问题的基本思考步骤，可总结两步：第一步，考虑能否用三角形的中位线作指导，在平面内寻找一条与已知直线平行的直线，如果不行，就进入下一步；第二步，考虑能否用平行四边形作指导，寻找包含已知直线的一部分的平行四边形（已知直线相对的边在平面内），如果不行，就思考其他方法.

师：学生戊的总结很精彩！将审题的思维方法与寻找平行线的技术融会贯通，并教给大家如何证明线面平行问题的方法，说明学习时一定要多思考、多总结，才会有较大的收获！

大家积极思考、敢于发言，凸显了学生的学习潜能，热烈的课堂学习氛围，笔者顺势将线面平行问题的思考方法、策略总结：“线面平行思考模式——纯几何三步走”告诉大家.把备课时准备好的线面平行证明思考步骤图投影到屏幕上，因此，线面平行的证明方法：纯几何三步走如图4所示（投影，显示“三步走”的特征、题型难度和图形模式标注）.

图4

今天这节课，同学们学习了线面平行的定义、判定定理和性质定理，掌握了线面平行证明方法：纯几何三步走.以后要多思考、多合作、多交流，一定会有新发现、新收获！

课后，笔者认真总结了这一节课，学生精彩的想法，完美的认识和归纳，得到了证明线面平行的策略方法、思考步骤，并起名为：中位线模型和平行四边形模型，尤其是生乙总结的思考过程，……这一切说明高效课堂给学生带来的“活力”，在课堂上的交流、探究得到的智慧成果，确实令人欣慰！

五、教学后的反思

从读懂教材起，全心身做到教学设计、落实新课标理念，精心打造细节，实施教学，感悟教材中隐藏课标理念的揭示和挖掘，掀起学生思考的活力，学会数学地思考就是学习数学的本质特征，培养思考能力是教学的重要目标，达到高效教学.

1.剖析教材定目标

数学教学贵在自然、本质，学习数学行在简单、深刻.教材剖析的深浅关系到数学课堂学生学习的潜意识能力的激发上，也会影响学生数学能力的发展.理清教材的编排思路及编写意图，结合学生的已有知识及最近发展区，学生在课堂学习时能够轻而易举地迈出大步，提升能力.如教材（必修2）证明线面平行只设置一道例题，再结合多年的教学经验补充两道例题，学生甲、乙的思考和总结，得到了线面平行的证明方法、策略，其过程是顺理成章的，不需要有意雕琢，显得自然、顺畅、简单和轻松.

2.研读课标定方向

数学教学要依“纲”施教，“纲”就是数学课程标准，能给数学教学活动界定目标要求.在线面平行判定定理教学中，理解思路、掌握方法是重要的，为后续学习做好铺垫.如学习平面与平面的平行时就要用线面平行的判定定理等，反复研读课标，深刻领会课标精神，准确把握课标对具体教学内容的要求，明确哪些降低了要求，哪些提升了要求，哪些谈化了要求，用心琢磨，梳理轻重，课堂上准确定向、落实课标才能运用自如.

3.激励学生出成果

激励学生在课堂上多交流、多探究，让学生思维的火花相互撞击，一定会出现更加炫耀的光芒.课堂上学生甲、乙对例题的证明方法、思路经过反思得到总结令人高兴，概括的线面平行一般性证法策略，是多好的归纳，挖掘出了线面平行证明的思考模型（纯几何三步走的前两步），学生经历、体验总结过程时所学到的思维方法、能力的提升远远大于数学知识的学习.

教学有法，但无定法.课堂教学中能够极大地促进学生数学能力的发展就是高效课堂追求的目标，这需要挖掘新课标教材的编排特征，加强对教材钻研，领会课标理念，力争用“教材”教学，学生在课堂上的数学思维就会得到大幅度的提升，形成初步的数学模式，其中所蕴藏智慧的开发是无限的.能够启迪学生智慧的数学课堂一定是和谐的、高效的课堂，“有限”的数学课堂几乎把教师与学生心灵碰撞的数学思维亮点全部写进，却不能穷尽学生对数学的感悟，更不能全部呈现出学生数学智慧的光芒！

1.宫前长.让位学生思考 践行新课理念［J］.中学教研（数学），2012（3）.

2.宫前长.新课程古典概型教学：困惑、解惑与感悟［J］.中学数学（上），2014（5）.