谈谈2013年高考辽宁卷理科数学第21题的解法

2013年高考辽宁卷理科数学第21题是一道难度很大的导数题目，我们可以根据“先充分后必要”的思路给出其自然解法。推而广之，本文采用这种方法还给出了几道类似题目的解法。

题1(2013年高考辽宁卷理科数学第21题)已知函数f(x)=(1+x)e-2x，g(x)=。当x∈[0，1]时:

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

解：(1)可得1-x≤f(x)⇔(1+x)e-x-(1-x)ex≥0，接下来，用导数可证得1-x≤f(x)。

(2)由(1)的结论1-x≤f(x)(0≤x≤1)可知，当g(x)≤1-x(0≤x≤1)即g(x)≤1-x(0＜x≤1)也即x-1≥a(0＜x≤1)恒成立时，题设f(x)≥g(x)恒成立。

u'(x)=2sinx-x(0≤x≤1);

得u'(x)是增函数，u'(x)≥u'(0)=0(0≤x≤1)，u(x)也是增函数，所以u(x)≥u(0)=--2cosx-1=-3(0≤x≤1)。

由此可知，当a＞-3时，∃x0∈[0，1]，使得g(x0)＞。再由(1)的结论f(x)(0≤x≤1)可知，当a＞-3时，∃x0∈[0，1]，使得g(x0)＞f(x0)，即当a＞-3时，不满足题设。

综上所述，可得所求答案是(-∞，-3]。

点评：题1的解法是“先充分后必要”，这种解法甚是巧妙!

下面再用这种解法，解答几道求取值范围的导数问题。

题2(1)当x＞0时，求证:x+1＜ex＜xex+1;

(2)若当x＞0时，ax+1＜ex，求实数a的取值范围。

解：(1)(过程略)用导数可证。

(2)由(1)的结论x+1＜ex(x＞0)可得，当a≤1时ax+1＜ex(x＞0)。

当a＞1时，lna＞0，所以∃x0∈(0，lna)，使得ex0＜elna=a，x0ex0+1＜ax0+1。再由(1)的结论ex＜xex+1(x＞0)可得，ex0＜ax0+1，说明此时不满足题设。

综上所述，可得所求答案是(-∞，1]。

题3(1)当x≥0时，求证:x2≤exx-1≤x2ex;

(2)(2010年高考全国新课标卷理科数学21(2))若当x＞0时，ex-1-x-ax2≥0，求a的取值范围。

解：(1)(过程略)用导数可证。

题4已知函数f(x)=(1-x)e2x，g(x)=x2-ax-2xsinx+1。当x∈[-1，0]时:

(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

解：(1)可得1+x≤f(x)⇔(1+x)e-x-(1-x)ex≤0，接下来，用导数可证得1+x≤f(x)。

(2)由(1)的结论1+x≤f(x)(-1≤x≤0)可知，当g(x)≤1+x(-1≤x≤0)即g(x)≤1+x(-1≤x＜0)也即x-2sinx-1≥a(-1≤x＜0)恒成立时，题设f(x)≥g(x)恒成立。

设u(x)=x-2sinx-1(-1≤x≤0)，可得:

u'(x)=1-2cos(-x)≤1-2cos1＜1-2cos=0(-1≤x≤0)。

得u(x)是减函数，u(x)≥u(0)=-1(-1≤x≤0)。

因而，x-2sinx-1≥a(-1≤x＜0)恒成立即a≤-1。说明当a≤-1时，满足题设。

由此可知，当a＞-1时，∃x0∈[-1，0]，使得g(x0)＞。再由(1)的结论f(x)≤(-1≤x≤0)可知，当a＞-1时，∃x0∈[-1，0]，使得g(x0)＞f(x0)，即当a＞-1时，不满足题设。

综上所述，可得所求答案是(-∞，-1]。

题5(2013年高考辽宁卷文科第21题)(1)证明:当x∈[0，1]时x≤sinx≤x;

(2)若不等式ax+x2++2(x+2)·cosx≤4对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围。

解：(1)(过程略)用导数易证。

所以可得当a≤-2时满足题设。

当x∈(0，1]时，由(1)的结论可得sinx＜x，可得cosx=1-2sin2。所以当a＞-2时，可得:

综上所述，可得所求答案是(-∞，-2]。