五套高中数学课标教材例习题的比较研究——以“函数的应用”为例

☉湖北省黄石市第一中学 杨瑞强

五套高中数学课标教材例习题的比较研究
——以“函数的应用”为例

☉湖北省黄石市第一中学 杨瑞强

按高中新课程标准编写的高中数学教科书有人教A版、人教B版、北师大版、湘教版、苏教版等五套，它们目前已经被全国15个实验区广泛选择使用.在数学教材中，例题和习题是重要的组成部分，它是师生进行有效教与学的重要载体，它的配置数量、类型、综合难度等方面都直接影响着学生的学习质量，因此有必要对高中数学教材中的例习题进行比较分析.本文以《数学1》中的第三章“函数的应用”的例习题为研究对象，对现行五套高中数学教材中例习题的配置数量、类型、综合难度等方面进行比较研究，探悉高中数学新教材中例习题结构体系设置的一些特点，并对教材中例习题的编写和修订给出自己的思考和建议.

一、例习题数量的比较

高中课标对本章的内容划分为两节，规定的课时数约9课时，其中“函数与方程”约3课时，“函数模型”约4课时，“小结与复习”约2课时.

表1：五套课标教材必修1“函数的应用”训练系统的例习题数量统计比较

统计方法说明：按题号统计，其中明确指出小题号的分别按一题算.

经表1统计表明：（1）五套课标教材的例题题量，除湘教版外，其他四种版本的差异并不大.人教A版共8个例题，人教B版共9个例题，北师大版共10个例题，湘教版共4个例题，苏教版共9个例题.可见，多套课标教材的例题题量基本上都保持在平均每课时1道题左右.（2）五套课标教材的习题题量的差异却十分明显.从表1可以算得，平均每课时习题量分别为：人教A版约6.1题，人教B版约7.9题，北师大版约3.2题，湘教版约4.2题，苏教版约5.0题.相对而言，人教B版的习题最多，北师大版的习题最少，最多与最少的题量相差4.7题/课时（前者是后者两倍还多）.当然，人教B版的习题多的原因是课程划分比较细致，它将此内容穿插于两章内容中讲解，分“函数应用（Ⅰ）”（第二章内容）、“函数与方程”和“函数应用（Ⅱ）”（第三章内容）；人教A版单独成为一章内容，习题也较多；而其他三种版本均在一章中的两小节讲解，习题自然较少.

二、习题类型的比较

为进一步说明的方便，我们可将五套课标教材中“函数的应用”的习题划分为九类，分别为选择题、填空题、计算题、简答题、作图题、证明题、应用题、探究题和利用计算机或计算器完成的题，其中简答题包含的范围比较广：判断、叙述、举例、写作等都归入这一类.

表2：五套课标教材必修1“函数的应用”训练系统习题九种类型统计对比

统计方法说明：按题号统计，其中明确指出小题号的分别按一题算.

经表2统计对比表明：五套课标教材的习题各种题型的数量分布均有不同.应用题型含量都相对较大，其次计算题和探究题含量差异相对也较大，选择题、填空题的含量都相对较小，作图题人教A版和湘教版含量相对其他版本稍大，而简答题人教B版和苏教版含量相对其他版本稍大.

综合以上方式统计对比表明，五套课标教材的题型在培养学生的能力方面各有侧重点，以下通过统计数据和具体例子说明习题类型的特点.

1.应用题型占绝对主导地位

一方面，高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促使学生逐渐形成和发展数学应用意识，提高实践能力.另一方面，“函数的应用”重在生活实际中的应用，用函数模型解决实际问题.因此教材在习题编写时，都注重了应用题题型的主导地位，在较强的生活背景中，让学生感受函数的广泛应用.从数量上看，人教A版15题，人教B版19题，北师大版12题，湘教版11题，苏教版13题.从此类题目占总题量的百分比来看，人教A版占27.3%，人教B版占26.8%，北师大版占40.0%，湘教版占28.9%，苏教版占28.9%.所有这些，充分体现了高中数学新课标对学生的要求“能初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题”.

2.重视计算机（器）的计算与探究功能

在本章中，由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，多处函数应用问题也涉及复杂的数据，因此，部分题目明确或间接要求借助计算机（器）来完成，体现信息技术与数学课程内容整合的思想.据统计，教材必修1“函数的应用”中要求用计算机（器）完成的题目数量分别为：人教A版15题，人教B版11题，北师大版4题，湘教版4题，苏教版4题.从此类题目占总题量的百分比来看：人教A版占27.3%，人教B版占15.5%，北师大版占13.3%，湘教版占10.5%，苏教版占8.9%.无论是从绝对数量，还是从题目所占总题量的百分比来看，都是人教A版的多一些.借助计算机（器），更有利于学生探索问题，减少烦琐计算，特别是一些实际问题，为方便笔算，以往都是经过人为的简化，而现在借助信息技术可以较容易解决.

3.突出研究性与开放性，激发学生的学习兴趣

新课程主张，通过对问题的探究，激发学生学习数学的兴趣，并在此过程中养成主动思考、积极探索的习惯.从探究型题目所占总题量的百分比来看：人教A版占12.7%，人教B版占2.8%，北师大版占6.7%，湘教版占15.8%，苏教版占6.7%.存在型、操作型、开放型等探究性题型在五套课标教材中各有体现.相比而言，人教A版和湘教版对探究型题目更重视一些.部分题目答案不唯一，有助于学生自己发挥.如人教A版第106页练习第1题：“根据所求函数的图像，对这个公司的经济效益做出简要分析”，人教A版第107页习题3.2第5题：“分析这位游客的决定是否太冒险”，苏教版第95页习题2.6第5题：“估计施肥量为40kg时水稻的产量”，第6题“请你预测今年7，8两个月的月利润”等.要求学生自己“分析”、“估计”、“预测”来解决问题，也是新教材的一大亮点.

4.受制于本章内容特点，证明题相对偏少

证明题也称论证题，其基本形态是：给出一定的假设条件或已知条件，要求学生根据数学的公理化体系，运用已知的公理、公设、法则、定理和公式等熟悉的知识与方法，合乎逻辑地推导和断定试题中指定的结论.本章在证明题的设置上，人教A版占0%，人教B版占1.4%，北师大版占3.3%，湘教版占2.6%，苏教版占6.7%.相比其他章节内容，五套课标教材在本章中的证明型习题的设置相对偏少了一些.即便如此，五套课标教材所设置的极少量证明题也主要是集中在“函数的零点”的有关证明上.事实表明，证明题相对偏少与本章内容特点有着极大的关系.

三、训练系统的难度模型

本文下面拟运用鲍建生教授在其博士论文《中英两国初中数学课程综合难度的比较研究》中建立的数学题综合难度模型，对五套课标教材《数学1》中“函数的应用”的习题（包括练习题、例题和复习参考题）进行难度分析.

表3：训练系统难度因素和等级水平的量化指标

量化指标说明：以上每个指标从上往下分别权重赋值为1，2，3，4.

下面表4、表5是五个难度因素的量化指标统计.

表4：五套课标教材必修1“函数的应用”训练系统的例题难度量化指标

由统计结果表明，人教A版、人教B版、北师大版、湘教版、苏教版五套教材的例题难度量化指标为：（1）知识量的加权平均分别为2.38、2.11、2.00、2.00、2.11，人教A版的含量较其他版本稍大，北师大版和湘教版含量较其他版本稍小；（2）要求量的加权平均分别为2.88、2.67、2.80、2.25、2.56，人教A版的含量较其他版本稍大，湘教版的含量较其他版本稍小；（3）背景量的加权平均分别为2.50、2.67、2.50、1.50、1.89，人教B版的含量较其他版本稍大，湘教版的含量较其他版本稍小；（4）运算量加权平均分别为2.50、2.44、2.40、2.25、2.11，人教A版的含量较其他版本稍大，苏教版的含量较其他版本稍小；（5）推理量加权平均分别为2.75、2.44、2.80、2.50、2.67，北师大版的含量较其他版本稍大，人教B版的含量较其他版本稍小.

表5：五套课标教材必修1“函数的应用”训练系统的习题难度量化指标

由统计结果表明，人教A版、人教B版、北师大版、湘教版、苏教版五套教材的习题难度量化指标为：（1）知识量的加权平均分别为2.35、2.11、2.03、1.97、2.02，人教A版的含量较其他版本稍大；（2）要求量的加权平均分别为2.36、2.25、2.30、2.37、2.31，各版本的含量基本持平；（3）背景量的加权平均分别为2.04、1.89、1.90、1.82、2.07，苏教版的含量较其他版本稍大，湘教版的含量较其他版本稍小；（4）运算量加权平均分别为2.16、220、2.17、2.16、2.13，各版本的含量基本持平；（5）推理量加权平均分别为2.20、2.10、2.20、2.18、2.18，人教B版的含量较其他版本稍小，其他各版本的含量基本持平.

表6：五套课标教材必修1“函数的应用”训练系统的综合难度比较

说明：确定每个训练系统的综合难度，主要从例题难度和习题难度两个方面进行考虑，例题和习题的知识量、要求量、背景量、推理量和运算量五个难度因素的权重，通过层次分析法依次确定为0.25，0.20，0.10，0.20，0.25.

四、研究分析结果

主要根据上述统计数据按照五个难度因素分别进行比较，再利用综合难度模型进行整体的分析，得出比较结论，并从相同点和不同点两个角度给出相应的定性结论.

1.相同点

（1）习题难度量化五个指标.

知识量方面：基本上以一个或两个知识点为主.

要求量方面：基本上以理解、运用和要求为主，且五种版本基本持平.

背景量方面：背景比较单一，以公共常识为主，涉及个人生活的背景较少.

运算量方面：以数字运算为主，且涉及利用信息技术辅助计算的题目较多.

推理量方面：基本上以单一推理为主，且五种版本基本持平.

（2）综合难度模型的整体分析.

①五套课标教材中的知识量、要求量、背景量、推理量和运算量五个方面，例题基本大于习题（除个别版本基本持平外）.

②五套课标教材中例题的难度比习题的难度大0.30左右（除湘教版基本持平外）.

③五套课标教材中的例习题的综合难度基本持平（人教A版稍高）.

2.不同点

（1）习题难度量化五个指标.

知识量方面：人教A版明显高于其他版本，湘教版明显低于其他版本.

要求量方面：五种版本在探究性题目数量上差异较大，人教A版7题，北师大版2题.

背景量方面：苏教版和人教A版背景类型较其他版本丰富，且含量相对也较高.

运算量方面：涉及简单符号运算的差异较大，需利用信息技术辅助计算的题目数量也有所不同.

推理量方面：人教A版和北师大版的推理量稍大，且涉及一定数量的简单推理和复杂推理.

（2）综合难度模型的整体分析.

①五套课标教材中例题的难度差异较大，依次为2.61、2.43、2.49、2.18、2.32，五套课标教材中例题的难度从大到小依次是人教A版、北师大版、人教B版、苏教版、湘教版.

②五套课标教材中习题的难度差异甚小，依次为2.25、2.13、2.14、2.13、2.15，五套课标教材中习题的难度从大到小依次是人教A版、苏教版、北师大版、人教B版、湘教版.

③五套课标教材中例题与习题的综合难度差异较大，分别为2.43、2.28、2.32、2.15、2.23，五套课标教材中例题与习题的综合难度从大到小依次是人教A版、北师大版、人教B版、苏教版、湘教版.

五、教材修订建议

主要根据上述研究结论，本人对人教A版高中数学课标教材训练系统的修订提出几点切实可行和具有参考价值的建议.

1.关于例习题配置数量方面

例习题是教材的重要组成部分，在培养学生的数学能力和提高数学素养方面起着举足轻重的作用.关于例习题数量方面，事实上，例习题的多与少，仅是教材中例习题研究的表面现象，而深层次的是例习题适度的研究，这取决于知识内容的多少和要达到的程度，也就是课程标准的内容要求.科学的例习题量的确定，应从理论研究到实践中教师的经验再到学生成绩的反馈进行反复的试验，是需要专家和学者共同的努力.

2.关于例习题的类型设置方面

新教材增加了少量的选择题和填空题（这一点在本章中的体现不明显，它与本章的内容特点有关），同时，新教材打破了在常规数学中仅有传统题型（这里指的是作图题、证明题、计算题和简答题），还增设了探究题和信息技术题，探究题不仅激发了学生的数学学习兴趣，还鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯；信息技术题借助计算机（器），更有利于学生探索问题，减少了烦琐的计算.

3.关于例习题难度方面

通过对例习题的难度对比可知，除去计算量指标之外，其他四项难度指标，人教A版教材都最高，主要体现在知识量大、探究成分多、知识背景丰富等方面，很多教师反映部分例题和习题设置过难.知识量大，对学生的综合能力要求自然就高；探究成分过多，势必造成课时不足，众多教师反映按时完成教学任务存在困难.如教材第97页的例2，解答繁长，计算量大，达不到使学生对不同增长的函数模型的体验；第107页的习题A组第1题、习题B组第1题等难度过大.例习题配置还需优化，建议删去习题中难度过大、探究过程复杂的题目，适当增加中档题，考虑到与高考题的搭配，是否在一册书末增加一个复习与提高专栏供老师和学有余力的学生选用，不以习题形式出现，也不作统一要求.

4.关于信息技术要求方面

虽然信息技术的使用是社会发展的必然之路，但是必须考虑到信息技术受条件制约严重的问题.人教A版教材在编写上大量使用计算机（本章直接或间接需要使用计算机（器）的题目占本章总题量的百分比为27.3%，明显高于其他版本教材），对信息技术的要求非常高，但是受当前我国客观条件的限制，有的学校很难做到使用现代化信息技术解决问题.学生不能使用计算机作函数的图像，达不到要求的教学效果.另外，信息技术在课堂上可以使用，但高考数学能否使用？人教A版没有考虑到地域的差异限制，还有待完善.建议教材在例习题编写时注意地域差异，适量使用计算机，使用量不宜过多，不能过于复杂.

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