由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

2015-05-05江苏省包场高级中学汤琛琳

中学数学杂志 2015年1期

关键词：引例差法中点

☉江苏省包场高级中学汤琛琳

由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

☉江苏省包场高级中学汤琛琳

直线与圆锥曲线相交所得“中点弦”问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题.解决此类问题，常规思路主要有两种：一是利用代数法结合根与系数的关系求解；二是利用点差法处理.本文以教材中一道双曲线“中点弦”问题为引例，展开探讨.

一、问题引入

引例：（人教A版选修2-1第62页习题B组第4题）已知双曲线过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点.

解析：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），分别代入曲线方程，两式相减得即（x1+x2）（x1-

由A、B以P（1，1）为中点，且A、B不重合，得x1+x2=2，y1+y2=2，x1-x2≠0.可得：所以直线l的方程为：y-1=2（x-1），即y=2x-1.

注意：解决本题时，如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果.由此题可看到中点弦问题中判断中点的位置非常重要.（1）若中点在圆锥曲线内，则所求的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则所求的弦可能不存在，必须对直线的存在性进行验证.

二、通法归纳

解决“中点弦”问题的通法如下所示.

利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.

点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A、B，一般地，首先设出A（x1，y1）、B（x2，y2），代入曲线方程，通过作差，构造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，从而建立中点坐标和斜率的关系.

三、应用探究

高考对“中点弦”问题的考查主要有以下几种类型.

分析沈从文小说中水意象原型内涵的还有刘芷悦、罗伟文等人。刘芷悦认为，沈从文笔下的水意象具有“命运、悲剧、女性”等意蕴，与女神崇拜有密切的关系[11]。罗伟文指出，沈从文笔下的水意象作为原型，与“忧郁、自然、生命”具有密切的联系，“水”之所以能对沈从文的创作产生影响，源于楚文化中的水神崇拜习俗[12]。罗伟文的研究亮点在于，他将《山海经·海外西经》和《梁书·东夷传》记载的女子洗浴后怀孕的故事作为发掘沈从文小说中的水意象与生命内在联系的依据。但是，在以孔子的“逝者如斯夫”作为水意象与“忧郁”的关联依据和以老子的“上善若水”作为水意象与“自然”的关联依据这两个问题上，罗伟文的论述同样略显单薄。

1.求“中点弦”所在的曲线方程