关于数学“一题多解”教学的辩证思考

☉安徽省宿州市教育科学研究所 王锋☉安徽省灵璧第一中学 郑良

关于数学“一题多解”教学的辩证思考

☉安徽省宿州市教育科学研究所 王锋
☉安徽省灵璧第一中学 郑良

一、案例背景

2014年高考尘埃落定，2015年高考复习拉开序幕.一轮复习用书第一章首节“集合的概念与运算”，第一课时已经学习了“集合的基本概念”与“集合间的基本关系”两大考点，本节课将学习“集合的基本运算”.授课班级学生的基础较好，授课教师有一定的教学经验.

二、案例呈现

师：刚才我们用列举法、数形结合法、属性分析法等方法解决了交集、并集、补集（教师还补充关于差集的新定义题）等集合的基本运算.交集、并集、补集不仅仅是知识、运算（法则），更是一种思想方法.

例题（2014年重庆卷文科第13题）已知直线x-y+ a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为_________.

师：点A，B可看成集合｛（x，y）|x-y+a=0｝与｛（x，y）|x2+ y2+2x-4y-4=0｝的交集的元素，题目条件有什么？结论需要什么？如何过渡？

生1：x-y+a=0表示平行直线系，x2+y2+2x-4y-4=0表示以C（-1，2）为圆心，以3为半径（确定）的圆，通过条件AC⊥BC确定实数a的值.

师：很好！请同学们认真思考，从不同角度给出解答.（约3分钟，教师展示学生的解答，并让学生还原“思维现场”）

师：三种解法殊途同归，解法1与解法2的想法更自然，思维层次稍低，解法3充分利用圆的对称性，转化更加彻底，思维更有深度，可见解答的繁简与条件出现的面目息息相关.请同学们思考，以上解法中是否需要对实数a的值进行检验，为什么？（过程略）

师：有没有其他方法？（学生沉思，教师见学生没什么反应）前面已经提到解决交集问题的两种思路（先分别求出A，B，再求A∩B的“并列式”；在集合A的条件下验证集合B，确定A∩B的“递进式”），能否从不同视角切入呢？比如更换条件的出场顺序，以上解法均先相交后垂直，可尝试先垂直后相交，设出直线AC、BC的方程，请同学们思考、交流.

生4：（解法4）当直线AC、BC中一条直线（不妨设AC）的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，考虑直线AB的斜率为1，有两种情况：①A（-1，-1），B（2，2），直线AB的方程为x-y=0，对照x-y+a=0，可知a=0；②A（-1，5），B（-4，2），直线AB的方程为x-y+6=0，对照x-y+a=0，可知a=6.

根据kAB=1，解得k=0，与题设矛盾.

总上所述，实数a的值为0或6.

师：本题的载体为直线和圆，还能怎样刻画直线垂直？（学生面面相觑，不明所以）以上用数来刻画垂直，能否用形来表示垂直呢？圆的方程的形式有哪些？

生5：（解法5）由圆的参数方程可设A（-1+3cosθ，2+即B（-1-解得cosθ=0.

当sinθ=1时，此时A（-1，5），B（-4，2），直线AB的方程为x-y+6=0；

当sinθ=-1时，此时A（-1，-1），B（2，2），直线AB的方程为x-y=0.

总上所述，实数a的值为0或6.

教师：能否先利用直线AC、BC交直线AB后，利用点A、B在圆C上呢？请同学们课下思考交流.

至此，一题多解结束了，教师没有过多地总结停留，直奔下一个问题的一题多解.

听课老师在课下与授课教师进行交流，对其教学进行点评.认为教师的基本功比较扎实、教学准备充分，不足之处在于内容过深，脱离了高考目标.笔者更关注其“一题多解”的教学方式，因为“一题多解”和“多题一解”是教师攻克（尤其是复习课）教学重难点常采用的一种教学模式.下面想结合以上案例谈谈对“一题多解”的一些教学思考.

三、教学思考

“一题多解”就是从不同的角度，运用不同的思维方法去解决同一个问题.“一题多解”是数学教学中最为绚丽的风景，是备受推崇并积极推进的教学模式.其教学价值何在？是否完美无缺？如何操作实施？很多教师可能没有认真思考与辩证分析，多是盲目“跟风”.

（一）“一题多解”的教学价值

1.“一题多解”能拓展知识宽度，强化知识关联，构建知识网络

知识是思想方法的载体，是解题的必备基础.通过“一题多解”，扩充课堂容量，巩固相关知识，加深知识认知，全方位、深层次、多角度对知识进行梳理，使之形成网络，构建知识体系.如解法4中，教师可追问“直线AC、BC的斜率均存在时不合题意，你能一下子看出来吗？”来增强学生思维的深刻性，认识到特殊与一般的关系：直线AB的斜率为1，△CAB是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则直线AC、BC的斜率只能为0与1（或1与0），即符合题设的图形只有两种.

2.“一题多解”能激发学习兴趣，活跃课堂气氛，促进有效协作

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，缺少解题线路的制约，学生畅所欲言、各抒己见，视角新颖独特，方法灵活巧妙，每个学生都能从中找到适合自己的方式方法等，能调动学生学习的积极性，激发学习数学的兴趣，促进课堂互动，增强小组合作交流.

3.“一题多解”能辨别结果正误，凸显繁简择优，实行多元评价

很多数学问题具有开放性致使结果容易出错，如计数问题，可通过直接法、排除法等方法进行多解归一提高结论的正确率.通过对解法的比较和反思，进而透过现象看本质，感悟并逐步掌握各类问题的通性通法与优秀解法.对学生的解法全方位、立体式地审视与分析，找出学生的优势和不足，给予多元评价.不同性质的评价所产生的心理效应大相径庭.美国心理学家廉姆·卡耐基曾说：“人性最深切的需求，就是渴望别人的欣赏.”通过多元评价和针对性指导，促使学生扬长避短.

4.“一题多解”能延伸思维广度，提高思维速度，提升思维深度

数学是思维的体操，思维是认识活动和智力领域的核心.通过“一题多解”，调动头脑中沉睡的知识，改善学生固化的思维习惯，能培养学生思维的广阔性、灵活性、深刻性.

5.“一题多解”能升华思想方法，提高应变能力，促进创新能力

每个问题的解决都有思想方法的潜流.通过一题多解，使问题中蕴含的思想方法显性化，学生对其明晰起来，能够根据具体问题情境，将不同的思想方法具体化为不同的解题思路，以具体的解题步骤展示出来.以思想方法统领，能对解题中的（思维、变形等）障碍进行突破，甚至给出创造性的解题方案.

（二）“一题多解”的教学误区

“一题多解”中度的把握尤为关键，否则就会出现过犹不及.如知识的堆积导致学生张冠李戴，方法的泛滥导致学生无所适从，课堂的活跃异化为个人表演，常规的解法演变为特殊技巧，解答的到位脱离学生实际，解法的充斥压缩探索交流空间，解题的失败导致学生彷徨倦怠.

（三）“一题多解”的实施

1.“一题多解”要选择典型问题

问题是知识和方法的载体，解题也绝不仅是得到问题答案.并不是所有的问题都适合开展“一题多解”教学，在上课前一定要深思熟虑，尽可能选择体现核心知识、方法及其本质内容的问题.通过这些内涵丰富，学生切入容易而做对（好）难的问题，利用“一题多解”复习巩固知识，获得解题方法技能，领悟内容本质.案例载体为直线和圆的位置关系，学生入手容易，解法均体现了“几何问题代数化”，这是解析几何的基本思想方法.从教学目标看，本节课更关注例题的表现形式（外壳）及涉及的数学思想，本题作为“集合思想在解析几何中的运用”还是可行的，放在“解析几何初步”更为合适.

2.“一题多解”要体现知识的联系性和系统性

数学知识相互交错，具有很强的系统性，如函数、方程、不等式之间的关系.圆是特殊的圆锥曲线，具有超强的对称性，弦长问题可用特性来解决，教师在教学中要引领学生关注共性和特性.如何刻画AC⊥ BC？从不同视角切入就能得到不同的解法.

3.“一题多解”要蕴含思想方法

数学思想方法，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是数学学习的一种指导思想和普遍适合的方法，是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，是发展智力的关键所在，是培养创新人才的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一.很多问题不是做不到，而是想不到，化归与转化是最重要的思想方法，解法3起到四两拨千斤的效果.

4.“一题多解”要注重通性通法和解法的获取

条条大道通罗马.不管有多少种方法，解题时只需要一种合理高效的方法.教学不应是解法的列举和灌输，而应通过审题确定切入点和解题方案，展示解题方法的调整过程.教学时要注重对通性通法的渗透与讲解，如解法1、解法2、解法3.要清楚解法的使用（数学）对象及学生理解的难度，毕竟巧妙的方法往往不具有普遍性；对于显而易见的方法和“新奇”的技巧，可针对不同学生群体单独辅导，如解法5.在对解法多角度对比与优化中发展学生的元认知能力，完善学生的知识结构.

5.“一题多解”要相机而动

学生是学习的主体，学什么，学多少，怎么学？取决于学情.我们要研透学生，不能“失位”或“越位”.不少经典问题的多解可审时度势分而治之，将它们分解到不同的学习阶段，作为基本解法强化，到复习时再组成网络，并快速融入学生的知识体系，实现从量变到质变，因此应在新授课阶段训练单一的解法，在后继学习阶段逐步渗透技巧，在复习或试卷讲评时以专题形式融入综合性解法.作为一轮（集合运算）复习课，解法5的难度较大，脱离了学生的实际认知.“不愤不启，不悱不发”（孔子《论语·述而》），在学生思维受阻或兴奋时开展适合学生的“一题多解”，合理把握思维的发散（放）与聚合（收），优化学生的思维品质.

6.“一题多解”要深化探究和总结提升

教学表明：学生积极探求多种思路解决一道题远比老师灌输性地介绍一道题的多种解法更具积极意义.通过调动学生的思维，使学生之间相互启发，带来共同发展提高的“连锁反应”.如案例中“有没有其他方法？”范围过大、指向不明，属于无效提问；“可尝试先垂直后相交”等过于聚焦，抑制学生思维的发散，为粉饰的“高级”灌输行为.解法往往是具体的、琐碎的，如果尝试反思：是否还有更为简捷的方法，或者原本的方法中是否存在着某种迂回可以进一步简化？各种解法之间的区别和联系如何？通过总结提炼，找出差异，深化认识，提升能力.解法5中的θ具有任意性，直线AC、BC构成以C为支点的运动的（半）十字架，将学生思维从感性推向逻辑.

“一题多解”的目的是循序渐进地寻求最简捷有效的解题方法，不是教学的最终目标，也不能作为教学的普遍原则.课堂的主角是学生，培养学生的思维能力是教学的主要目标，因此对各种解法进行比较、反思，发现其规律，找到其本质，优化学生的思维品质才是教与学的根本目的.

1.王千.如何认识一题多解的教育功能［J］.数学通报，2004（9）.

2.钱佩玲.数学思想方法与中学数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.

3.陶晶.“收”“放”自如的数学教学［J］.中学数学（上），2014（7）.