巧用三面角求二面角

☉湖北省孝感高级中学 姚继元

巧用三面角求二面角

☉湖北省孝感高级中学 姚继元

二面角是立体几何的重要内容，是历年各省份高考的重点，然而我们发现学生在学习的过程中掌握的情况并不理想.几何法虽然很直观但是二面角的平面角很难作，而用向量法运算量较大且在判断法向量的方向时容易出错.现在有一种较为简洁、易操作的方法.

定理：如图1，空间中有从O点出发的三条射线OA、OB、OC（OA、OB、OC不共面），∠AOC=α，∠BOC= β，∠AOB=γ，二面角A-OC-B为θ（注：由三个面构成的多面角称为三面角，图1中的三面角可记作∠O-ABC），则

图1

证明：在面AOC内作AD⊥OC交OC于D，在面BOC内，作DE⊥OC交OB于E.

则∠ADE即为二面角A-OC-B的平面角，即∠ACB= θ.设OD=a.

上述定理在实际解题中有广泛的应用，下面我们通过几个例子来看一看.

一、定理的正用

例1（2013年高考全国大纲版理科第19题）如图2，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形.

（1）证明：PB⊥CD；

（2）求二面角A-PD-C的大小.

分析：本题中的二面角为钝角二面角，使用三垂线定理作平面角主要适合二面角为锐角的情况，而本题建立坐标系也不太容易，此时使用定理来解决问题就得心应手.

图2

解：（1）略.

（2）设AB=1.由（1）知CD⊥PD.

二、定理的逆用

例2（2013年高考浙江卷理科第20题）如图3，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

（1）证明：PQ∥平面BCD；

（2）若二面角C-BM-D的大小为60°，求∠BDC的大小.

分析：本题为已知二面角求其他角，逆用定理即可.

解：（1）略.

图3

三、综合运用

例3（2014年高考辽宁卷理科第19题）如图4，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点.

（1）求证：EF⊥BC；

（2）求二面角E-BF-C的正弦值.

解：（1）略.

（2）由△ABC和△BCD所在平面互相垂直，得二面角A-BC-D为90°的二面角.

∠ACB=∠DCB=30°.

利用公式，有cos∠ACD-cos∠ACB·cos∠DCB=0（定理的逆用），则cos∠ACD=

图4

从上面的几个例题我们不难发现：定理在处理二面角问题时思路比较简单，既避免了作二面角的平面角，又可以很快地算出具体结果.当然，我们对上述定理加以挖掘，也可以处理线面角和点面距等问题.

1.人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学必修2.北京：人民教育出版社，2007.

2.叶国祥.三面角的余弦定理及其应用［J］.中学数学，1993（6）.