关于二面角的非正式会谈

张 俊

因为参加学校活动，代舒、纪和两位同学错过了下午的数学习题课“用几何法求二面角的平面角”，数学老师利用晚自修时间帮他俩补习．

师：二面角是空间角，它的大小可以用它的平面角来度量，因此求二面角的大小也就是求二面角的平面角的大小.一般地，我们约定二面角的大小范围是

思考

什么是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角就叫做二面角的平面角．

例1 （苏教版《必修2》习题）如图1，在正方体中，求二面角的正切值．

求二面角的关键 是找到二面角的平面角.根据定义，需要在棱上找一点，并且过这个点在两个半平面内有两条交线的垂线.比如图1 中，∠BCD 就是二面角的一个平面角.

图1

代舒：在BD 上任取一点，然后过这一点分别在平面CBD 和平面中作垂线.

技能点

同学们不仅要考虑能作出平面角，也要考虑计算的方便．

纪和：理论上不错，不过为了方便计算，最好找一个特殊点，比如BD 的中点O，根据等腰三角形三线合一的性质可知是一个平面角.

连 结 AC 交 BD 于 点 O， 连 结 OC1. 因 为

方法论

这种用定义作平面角的方法叫做“定义法”．

代舒：由于C1C ⊥平面CBD，也可以这样作平面角：过C 作CO ⊥ BD于点O，连结那么就是一个平面角.

闯关1如图1，前提条件不变，求二面角的大小．

方法论

这种做二面角的方法就是“三垂线法”．三垂线法是一种间接作法，关键是作“面的垂线”，一旦面的垂线作出，再作棱的垂线，然后连两垂足就行了．

图2

闯关2将正方体改为长方体，不妨将长变为原来的两倍，其他不变，如图2，求二面角的大小．

说明：这两个二面角不一定是特殊角，只要求出它们的某个三角函数值即可．为了计算方便，我们统一认为正方体的棱长是1，长方体的长、宽、高分别为2，1，1．

代舒：闯关1，我还没看出来；闯关2，用三垂线法作平面角，过C 作CO ⊥ BD于点O，连结那么就是一个平面角.利用等面积法可得计算比较麻烦，我准备先用余弦定理求出，然后求出再用等面积法求C1O ，即，还没有具体算.

师：如果注意到图2 中是等腰三角形，是一条腰上的高，计算会简单一点.图2 中，过平面中的点C1的直线C1C 恰好垂直于另一个平面BCD，这为用三垂线法创造了条件.再回头看看闯关1，有什么想法了吗？

代舒：图1 中DC ⊥平面所以只要作连结DM，那么∠DMC 就是平面角了，因此

纪和：还可以用定义法，利用等腰三角形三线合一来处理.如图1，和分别是等腰直角三角形和等边三角形，所以作于M，连结DM，则∠DMC 就是平面角.

师：对于由共底边的等腰三角形组成的二面角用定义法作平面角很方便.如果不是等腰的，而是关于交线的轴对称图形，也可以类似地作.为了看得更清楚，我们将图1中的四棱锥从正方体中隔离出来，如图3，求二面角的大小.

图3

闯关3如图4，在四棱锥C1− ABC中，已知CC1⊥平面，怎样求二面角呢？

图4

代舒：在图4 中作BN ⊥ AC1于N，在平面ACC1中过N作NE AC⊥1交AC 于点E，则∠BNE 即平面角.由前面知而利用相似三角形知识可以求出NE EB, ，再用一下余弦定理就好了.

方法论

在立体几何中，将一个不规则几何体补成一个规则的几何体是解决问题的常用方法，叫做“补体法”．

纪和：也可以利用三垂线法.注意到平面ACC1⊥ABC，作BE AC⊥ 于E，由线面垂直的性质定理，则BE ⊥平面ACC1，再作BN AC⊥1于N，连结NE，则∠BNE 即平面角.用这个方法很容易发现E 是AC 的中点，且△BEN 是直角三角形，因此则∠ =BNE 60°.

技能点

用余弦定理求角是通法，而发现△BEN 是直角三角形则更有利于计算．

技能点

闯关4前面几道闯关题中，二面角的棱都是可见的，如果不可见怎么处理呢？比如图3 中，怎样求二面角的大小呢？

纪和：先找出交线.找交线一般是利用公理2 再找一个异于C1的交点.因为AD 与平面平行，根据线面平行的性质定理，交线应该是过C1且与AD 平行的直线.由于AD与BC 平行，所以交线也与BC 平行.因此只要在平面内过点C1作一条与BC 平行的直线即可.求二面角大小的三个步骤：

一作，找或作出二面角的平面角；二证，证明其符合定义；三求，指出某角是所求二面角的平面角并计算，一般解直角三角形或利用余弦定理求解．

三个步骤中，作出平面角最关键，常用的方法是定义法和三垂线法，统称为“几何法”，几何法的计算量较小.还有一种空间向量法，不需要作出平面角，也能计算二面角大小.同学们要灵活运用哦！