编拟习题时应注意问题的存在性
2015-05-05北京市丰台二中甘志国
☉北京市丰台二中 甘志国
编拟习题时应注意问题的存在性
☉北京市丰台二中 甘志国
例1若正三棱锥P-ABC的侧面积、体积分别为12、4,求点A到面PBC的距离.
常规解法:可求得该正三棱锥的侧面PBC的面积是4,由等体积法可求得点A到面PBC的距离为3.
笔者的分析:此解答正确吗?请看下面一个定理.
定理1设正n(n∈N*,n≥3)棱锥的侧面积、体积分别是S、V,侧面与底面所成的角是
从而可得结论(1)成立.
(2)同结论(1)的证明法可得.
由定理1可知例1是道错题:当正三棱锥的侧面积是12时,体积的取值范围是当正三棱锥的体积是4时,侧面积的取值范围是
我们在编拟习题时,应注意问题的存在性.
例2一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则am+1=____.
常规解法:设等比数列{an}的公比是q,得a1a3a5…a2m+1=
笔者的分析:早在2006年5月21日,网络上就出现了这道题,并给出了其解法(即以上常规解法);笔者也曾把这道题选入专著《教材教法》(甘志国著,哈尔滨工业大学出版社,2014)第454页(答案在第482页).
近日笔者才发现例2也是道错题.
由题设知am+1m+1=100,am+1m=120,所以100m=120m+1(m∈N*).而显然有100m<120m+1(m∈N*),所以满足题意的数列{an}不存在,即原题是道错题.
即使把例2中的“100”与“120”互换,满足题意的数列{an}仍不存在.因为120m=100m+1(m∈N*)也不会成立,该等式左边有约数3,而右边没有;该等式右边有约数52m+2,而左边没有.
说明编拟例2这样的习题时,一定要慎重:要注意满足题设的数列是否存在.
定理2(1)若一个各项都是复数的等差数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之和为b,偶数项之和为c,则存在这样的等差数列{an}的充要条件是b=c=0(且此时有a1=-md,d是等差数列{an}的公差,下同)或且此时有a1=b-c-md);当这样的等差数列{an}存在时,am+1=b-c.
(2)若一个各项都是复数的等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为b,偶数项之积为c(bc≠0),则这样的等比数列{an}存在的充要条件是当这样的等比数列{an}存在时,
进而可得欲证成立.
改编题1(1)若一个等差数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项、偶数项之和均为0,则am+1=_______;
(2)若一个等差数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之和为15,偶数项之和为10,则am+1=_______;
(3)满足“一个等差数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之和为16,偶数项之和为10”的数列{an}是否存在?
答案:(1)0.数列{an}是存在的,比如2,1,0,-1,-2.
(2)5.数列{an}是存在的,比如1,3,5,7,9.
改编题2(1)若一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项、偶数项之积均为1,则am+1=_______;
(2)若一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为729,偶数项之积为81,则am+1=_______;
(3)若一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为-1,偶数项之积为1,则am+1=_______;
(4)若一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为1,偶数项之积为-i,则am+1=_______;
(5)满足“一个等比数列{an}共有2m+1(m∈N*)项,奇数项之积为1,偶数项之积为2”的数列{an}是否存在?
答案:(1)1.数列{an}是存在的,比如1,-1,1,-1,1.
(2)9.数列{an}是存在的,比如1,3,9,27,81.
(3)-1.数列{an}是存在的,比如-1,1,-1,1,-1或1,i,-1,-i,1.
(4)i.数列{an}是存在的,比如i,i,i,i,i,i,i或-1,-i,1,i,-1,-i,1.
例3(2008年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)第13题)已知a为正数,定义运算“⊗”如下:对于任意的m,n∈N*,若m⊗n=a,则(m+1)⊗n=2a,m⊗(n+1)=a+1.当1⊗1=1时,则1⊗10=_______,5⊗10=_______.
常规解法:由题设得1⊗(n+1)-1⊗n=1,即{1⊗n}是首项、公差均为1的等差数列,得1⊗n=n,所以1⊗10=10.
由已知可得(m+1)⊗10=2[m⊗10],即{m⊗10}是首项为10、公比为2的等比数列,得m⊗10=10·2m-1,所以5⊗10=160.
笔者的分析:因为m⊗(n+1)-m⊗n=1,即{m⊗n}是首项为m⊗1、公差为1的等差数列,得m⊗n=(m⊗1)+n-1.①
在①中令m=1,得1⊗n=n.②
还可得(m+1)⊗n=2[m⊗n],由此可得m⊗n=(1⊗n)· 2m-1.③
在③中令n=1,得m⊗1=2m-1.④
由①④及②③,分别得m⊗n=2m-1+n-1,⑤
m⊗n=n·2m-1.⑥
⑤⑥显然是两种不同的答案:由⑤得5⊗10=25,由⑥得5⊗10=160.
即例3是道错题.
改编题3(1)已知a为正数,定义运算“⊗”如下:对于任意的m,n∈N*,若m⊗n=a,则(m+1)⊗n=a+2,m⊗(n+1)=a+1.当1⊗1=1时,求证:m⊗n=2m+n-2.
(2)已知a为正数,定义运算“⊗”如下:对于任意的m,n∈N*,若m⊗n=a,则(m+1)⊗n=2a,m⊗(n+1)=3a.当1⊗1=1时,求证:m⊗n=2m-1·3n-1.
例4(2011年全国高中数学联赛试卷B第5题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,则tan
例5(东北育才等辽宁五校2011-2012学年度上学期期末高二年级数学试卷(理)第12题)已知f(x)为定义在R上的可导函数,满足f(x)<f′(x),且f(x-1)为偶函数,f(-2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为().
A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(e4,+∞)D.(-∞,e4)
常规解法:由f(x-1)为偶函数,f(-2)=1,可得f(0)=1.在R上为增函数.所以不等式f(x)<ex,即的解集为(-∞,0).故选B.
笔者的分析:本题也是一道错题.因为可证f(x)<0(x∈R).
由g(x)=f(x-1)为偶函数可证得g′(x)=f′(x-1)为奇函数.
又由f(x)<f′(x),得f(x-1)<f′(x-1),f(-x-1)<f′(-x-1).
相加,得2f(x-1)<0,f(x-1)<0,即f(x)<0(x∈R).
即满足题设及四个选项之一的函数f(x)不存在.
例6已知函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在D上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f(x),则
笔者的分析:这是某资料上的一道题,笔者发现它也是一道错题.
条件②即f(3x)=2f(x),由此可得f(3-3x)=2f(1-x).两式相加后,用条件③,得f(3x)+f(3-3x)=2,即f(x)+f(3-x)=2.再由条件③,得f(3-x)-f(1-x)=1,即f(x+2)=f(x)+1.
在原解法中已求得f(1)=1,再由f(x+2)=f(x)+1可求得f(3)=2,f(5)=3,f(7)=4,f(9)=5.
另一方面,由f(1)=1及f(3x)=2f(x)可求得f(3)=2,f(9)=4.
前后矛盾!所以例6是道错题.因为满足题设的函数f(x)不存在.
笔者的分析:这道题目是马茂年主编的《高中数学竞赛实战演练·高一分册》(浙江大学出版社,2007年第2版)第75页第6题(解答在第168页),它也是道错题.错在没有注意问题的存在性.
而sin6α+cos6α=(sin2α)3+(cos2α)3<13+13=2,所以3<2,这不可能!所以原题是道错题.出错的原因是题设中的一个未知数α的两个方程是不相容的,这样的α不存在.
例8设{an}是一个各项都是实数的等比数列,Sn是它的前n项和,若S10=10,S30=70,则S40=().
A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-500
常规解法:设S20=x,S40=y.由{an}是一个等比数列,得S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30为等比数列.
所以(x-10)2=10·(70-x),(70-x)2=(x-10)(y-70).
得(x,y)=(30,150),(-20,-200).
所以答案为C.
笔者的分析:上述解答错误,正确解法如下.
把这两式相除,得1+q10+q20=7,即(q10-2)(q10+3)=0,所以q10=2.再得150.故正确答案为A.
还可验证,满足题设的数列有且仅有两个:an=
原解答的错误原因是:S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30是公比为正数q10的等比数列,当x=30时,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30为10,20,40,80,得公比q10=2>0,所以S40=y= 150;当x=-20时,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30为10,-30,90,-270,公比q10=-3<0,因此S40=y=-200应舍去.所以正确答案为A.
若把题设中的“实数”改成“复数”,则正确答案为C(且满足题设的数列有且仅有10个).
例9已知f(x)是偶函数,且f(1)=993,g(x)=f(x-1)是奇函数,求f(2005)的值.
常规解法:由f(x-1)是奇函数,得f(-x-1)=-f(x-1),即f(x)=-f(-x-2).
又f(x)是偶函数,得f(x)=-f(-x-2)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(x).由此可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(2005)=f(1)=993.
笔者的分析:此题在网络上出现频繁,并给出了其解法(即以上常规解法);笔者也曾把这道题选入专著《教材教法》(甘志国著,哈尔滨工业大学出版社,2014)第452页(答案在第482页).
近日笔者才发现例9也是道错题:
由g(x)=f(x-1)是奇函数,得g(0)=f(-1)=0.再由f(x)是偶函数,得f(1)=0,这与题设“f(1)=993”矛盾!说明满足题设的函数f(x)不存在.修改建议:把题设中的“且f(1)=993”去掉.修改之后的答案为“0”.