再现朒数和盈数

杨文兴

(邯郸职业技术学院，河北 邯郸056005)

文章有三部分。

圆周率是圆的周长与其直径的比值。祖冲之以内接圆和外切圆正多边形的边长代替圆的周长，并不断加倍正多边形的边数以提高近似替代的精确度，从而对圆周率的估计也更精确。因为《缀术》的遗失具体细节已无法得知。今再计算圆周率，笔者也从内接和外切正多边形开始。

部分1:一个问题:怎样做一个内接正n 边形，怎样做一个外切正n 边形?

等分圆心角，n 个圆心角的边与圆周共有n 个交点。这n 个交点构成圆周的一组等分点，分圆周成n 个小弧段。连接此n 个小弧段的端点，得n 条线段。此n 条线段就构成圆的一个内接正n 边形。如图1 所示，为圆的内接正六边形。

在n 个分点处作切线，与相邻的切线相交。连接这两个交点，得一条线段，共可得n 条这样的线段。此n 条线段就构成圆的一个外切正n 边形。如图1 所示，为圆的外切正六边形。

对于任意一个正多边形，都可以做一个外接圆。使这个正多边形成为这个圆的内接正多边形。正多边形的顶点都在圆周上。所以正多边形的每条边又都是外接圆的弦。因为这些边的长度都相等，所以正多边形的边所对应的圆心角都相等。不同的正多边形的边所对应的圆心角可能不相等。但若两个正多边形的边数相等，则这两个正多边形的边所对应的圆心角相等。外切正n 边形的边所对应的圆心角与内接正n 边形的边所对应的圆心角相等。

部分2:两个不等式，四个公式。计算内接正2 ×n 边形的周长

要计算内接正2 ×n 边形的周长，必须计算内接正2 ×n 边形边长。如果内接正n 边形的边长已知，怎样计算内接正2 ×n 边形边长呢?

1:内接正2 ×n 边形的边长与内接正n 边形的边长的关系

如图2 所示，半径为1 的圆，点O 为圆心，周长为x。AB 为内接正n 边形的一条边，其长度为s0。∠AOB=α。

过圆心作边AB 垂线，交AB 于点C，交圆周于点D。则可知弦半径OD 平分边AB;点D 平分AB 所对应的弧段。所以AD，BD 是内接正2 ×n 边形的边，其长度记为s1。

在直角ΔBOC 中:

在直角ΔBCD 中:

要计算内接正2k×n 边形的周长需计算内接正2k×n 边形的边长sk。要计算sk需计算sk－1，一直下去，需计算s0。

这样对任意的正整数n ＞2，内接正2k×n 边形的周长随着k 的增大越来越逼近于圆的周长。

为了便于计算s0，令n=6。

正六边形的边所对应的圆周角是60°，边与其端点处的半径构成等边三角形。

∴AB=1，即s0=1。

因此可得:

……

根号太多了，为了方便引入一族新记号。令:

用归纳法:

当k=0 时，D0=1，s0=1

设k=l 时结论成立。

当k=l+1 时，

∴k=l+1 时结论成立。

∴该结论成立。

通过验证熟悉一下这个公式。

从而也可得

sk－1=sk×Dk+1，(k ＞0)。

同理sk=sk+1×Dk+2，(k ＞0)。

记内接正2k×6 边形周长为Ls(k)，则Ls(k)=2k×6 ×sk小于圆的周长。即不等式x ＞Ls(k)成立。

2:计算外切正2k×n 边形的周长。

由前面的讨论可知外切正2k×n 边形与内接正2k×n 边形所对应的圆心角相等。

图3 所示，半径为1 的圆，点O 为圆心，周长为x。EF 是外切正2k×n 边形的一条边，设其长度为mk。其所对应的圆心角也是α，∠EOF=α。D 为切点。计算EF 的长度。

可知切点D 必是边EF 的中点。

连接端点E 与圆心O，F 与圆心O。与圆周分别交于A，B。连接A，B 得弦AB。可知这条弦所对应的圆心角也是α。且可知AB 为内接正2k×n 边形的一条边。其长度已经知道为sk，半径OD 与边AB垂直，交于点C。

OD 与AB，EF 垂直，且平分AB，EF。

ΔBOC 和ΔFOD 是直角三角形，且直角ΔBOC 和直角ΔFOD 为相似直角三角形。

来熟悉一下mk。

s0=1，

外切正2k×6 边形的周长记为Lm(k)，Lm(k)=2k×6 ×mk，与圆的周长有不等式x ＜Lm(k)成立。

对任意的k≥0，有以下不等式成立:

Ls(k)＜x ＜Lm(k)。

部分3:计算圆周率，两个近似值函数。

重复一下前面的结果。这个结果将作为新的出发点。

对任意的k≥0，有不等式6 ×2k×sk＜x ＜6 ×2k×mk，成立。

如何通过这个不等式计算圆周率，或估计圆周率是本文的重点。

为了计算Ls(k)和Lm(k)，我们得计算出sk，即及mk即sk，mk准确值是计算不出来的，计算机也不行。只能对sk，mk作近似计算，就是保留小数。然后再以这些近似值为依托对圆周率进行计算或估计。

以计算Ls(11)，Lm(11)，保留小数点后14 位数，为例。

先求出D1或其近似值。

为此笔者采用一个特殊的计算办法，这个办法的好处在于对结果可以做大小分析比较。具体如下:

对D1即进行近似计算，保留小数点后14 位，将小数点后第15 位及第15 位之后的数全部舍去。把D1的这个近似值记为可知成立。

再求D1另一个近似值。重复得到的过程。在得到之后，在的小数点后第十四位上加1。把D1的这个近似值记为可知成立。

在以后的计算中要经常做这个操作，为简化叙述不妨定义两个函数C，A:

∀x ＞0，

C(x)=［x×1014］÷1014，［］是取整函数。

A(x)=［x×1014+1］÷1014，［］是取整函数。

显然A(x)，C(x)都是x 的近似值，

C(x)≤x ＜A(x)，

且A(x)－C(x)=10－14

再来计算D2的近似值。并不是直接调用那两个近似函数。

这样在计算D1，D2，……D11，D12的过程中我们得到了他们的两组近似值

证明当然可以，但见表1 更方便:

表1 每个Dk 的两个近似值

计算 S11:

再来计算m11。

所以圆周率介于3.14159260127232 与3.14159276408833 之间。

K=11 yx=14 时，C(pi)=3.14159260127232 A(pi)=3.14159276408833

K=11 yx=15 时，C(pi)=3.141592613302271 A(pi)=3.141592722665472

K=11 yx=16 时，C(pi)=3.1415926186401792 A(pi)=3.1415927213150207

K=11 yx=17 时，C(pi)=3.14159261864073213 A(pi)=3.14159272131403755

K=11 yx=18 时，C(pi)=3.141592618640787648 A(pi)=3.141592721314026004

当K=12 时，需计算D12*和D13#。

K=12 yx=14 时，Cpi=3.14159247986688 Api=3.14159274590209

K=12 yx=15 时，Cpi=3.141592623968255 Api=3.141592676327424

K=12 yx=16 时，Cpi=3.1415926453211140 Api=3.1415926709919745

K=12 yx=17 时，Cpi=3.14159264532111359 Api=3.14159267098976258

K=12 yx=18 时，Cpi=3.141592645321211740 Api=3.141592670989541424

由以上结果可以得出祖冲之的结论。即圆周率介于朒数3.1415926 与盈数3.1415927 之间。

笔者在计算时用的是计算机。那么离了计算机还能做吗?笔者用了40 分钟完成了对D1，即的近似计算，得到D1#。用了90 分钟计算了保留小数都是到第15 位，也就是说，对第15 位小数做了如上所述的近似处理。其它的Dk#的计算量也不会比D2#大。所以祖冲之的朒数，盈数可以用纸和笔，通过计算得到。计算时，若保留的小数少于15 位，就得不到祖冲之的结果。

借助计算机，在更多情况下笔者计算了圆周率的上下界所对应的值。但都不能对圆周率的估计多精确一位，即到第8 位。应是方法所限。祖冲之也没能给一个更精确地结果。也许我们的方法有共同之处。

用以上方法需进行28 次近似计算。在每次计算中保留小数多于15 位少于20 位;其中27 次开方运算、一次除法运算，再加2 次勿需近似处理的乘法运算就可得到祖冲之的那两个数和结论，即圆周率介于朒数3.1415926 及盈数3.1415927 之间。

来研究一下上限和下限的差值:

一个视觉很好的式子。除了能预测上下限的差趋于零之外，笔者不知别的用处。

隋书记载“…又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密。算实之最者也”。我也许是在乱解释这段话。在上面式子中出现了，sk，是不是“开差幂”：是不是“开差立”;用代换mk3时是不是把边长mk放到整个圆上考虑的。计算结果表明上下界的差越来越小，所以以此法估计的圆周率也就越来越精密。

在计算中两个近似函数A(x)、C(x)被频繁使用。这两个函数与和我国古代数学中的盈肭两字的含义是一致的。借一道数学应用题来说明。这个应用题来自《算法统宗》第三部分卷十盈肭章。是第一道练习题:

“盈肭第一题:问醵金购物。每人出银五两盈六两，每人出银三两不足四两，问人数，物价各若干?”

有十道这样类似的题。可以看出盈肭问题实际上是“多点、少点的问题”

A(x)比x 多点，C(x)比x 少点。

称3.1415926 为朒数，3.1415927 为盈数是偶然的吗?还是祖冲之在计算过程中经常用到盈肭概念呢?

笔者用祖冲之所具备的数学知识计算出了他的结果，说明祖冲之的结果应该是他计算出来的，而根本不用一点测量。计算的工作量也不大。

以上就是笔者得到朒数和盈数的方法和过程。限于本人水平，恐怕文章中会有错误。若发现，欢迎批评指正。

再谨借此机会向关心帮助此文的各方友人，学者表示感谢。

［1］华罗庚.从祖冲之的圆周率谈起［M］.北京:科学出版社，2002

［2］王海坤，葛丽.祖冲之是怎样计算圆周率的［J］.数学通讯，2013，(4)

［3］曲安京.祖冲之是怎样得到圆周率π=355/113 的［J］.自然辩证法通讯，2002，(3)

［4］王青建.祖冲之的影响与现代数学史教育［J］.数学教育学报，2001，(2)