基于Gibbs抽样的贝叶斯黄金期货市场长记忆特征研究

朱慧明，蒋丽萍，游万海

（湖南大学工商管理学院，长沙410082）

0 引言

金融时间序列的长记忆性研究一直是非线性领域的重要问题，作为统计建模的热点，长记忆性的研究对于金融市场具有重要的理论价值和现实意义。对金融时间序列长记忆性进行建模可以为准确的预测金融资产价格提供理论基础。本文将利用贝叶斯方法估计黄金期货市场的长记忆参数，构建贝叶斯长记忆随机波动模型，设计向前滤波向后抽样的联合Gibbs抽样的MCMC数值计算方法；利用中国（SHFE）黄金期货和日本（TOCOM）黄金期货进行实证分析，研究黄金期货市场的长记忆特征，探讨黄金期货市场是否具有有效性，为黄金期货投资决策提供依据。

1 模型结构分析

Taylor在解释金融收益序列波动模型的自回归行为时提出了基本SV模型，其模型形式如下：

金融时间序列波动不仅具有时变性和聚集性的特征，同时还具有长记忆性。为刻画波动的长记忆特征，将模型中波动方程的自回归过程推广为分整ARMA过程，此时模型波动方程如下：

为保证波动过程的弱平稳性，φ(L)和θ(L)必须保证所有特征根都在单位圆内，并且没有公因子，此时式(1)和(3)共同组成LMSV模型的一般形式。

另一方面，波动的长记忆过程（3）可以写成扰动项的无限阶移动平均形式：

2 贝叶斯推断分析

2.1 LMSV模型的状态空间转换

由于SV模型的波动变量之间具有较强的序列相关性，因此Markov链收敛速度较慢，估计效率较低。利用kalman滤波框架下的向前滤波和向后抽样技术，能够对潜在波动向量进行联合抽取，从而大大的提高估计效率。下面在给出具体抽样算法前，首先证明对于无限维状态空间模型(6)，其确切似然函数只依赖于前n个状态变量，n代表向量 A=(a1，a2，…，an)的时间维度。

在对Kalman滤波进行计算时，需要进行n次迭代才能得到确切似然函数，此过程计算量仍然很大，而利用差分截尾方法可以较好的近似表示移动平均状态空间模型，能在很大程度上缩减计算量，因此采用差分截尾方法进行近似计算。首先对波动序列(at)进行一阶差分得到序列(Δat)，此时波动差分序列的状态空间表达式为：

2.2 MCMC联合抽样算法设计

利用Kalman滤波算法估计状态变量要求线性状态空间模型的扰动项服从高斯分布，而将LMSV模型转化为有限阶状态空间近似形式后，该模型为非高斯的，因此不能进行联合抽样。为此，利用基于混合正态近似的联合抽样方法来逼近εt的分布，即：

此时模型转化为高斯线性状态空间模型形式，其状态变量的满条件联合后验分布可以直接利用向前滤波向后抽样的MCMC方法进行抽样估计。下面对其他参数进行贝叶斯推断分析，并给出联合抽样MCMC方法的实现步骤。

在对模型进行贝叶斯推断分析之前，首先要设定参数的先验分布。令Λ=(st，d，Ψ，Θ)代表模型的其他所有参数，其中Ψ和Θ分别为多项式φ(L)和θ(L)的系数，根据Kim el at的观点，α表示潜在变量的水平参数，设定α服从正态分布；由于τ2表示白噪声过程的方差，因此，采用逆伽玛分布作为τ2的共轭先验分布；d为长记忆参数，其服从标准正态分布，则参数的满条件后验分布为：

根据以上满条件后验分布，结合向前抽样向后滤波算法，利用Gibbs抽样方法对贝叶斯LMSV模型进行仿真分析。此时Gibbs抽样按如下步骤进行：

3 实证分析

为了对模型进行实证分析，选取上海期货交易所(SHFE)推出的黄金期货和东京商品交易所(TOCOM)推出的黄金期货这两个指标，根据数据的可得性和可比性，选取时间跨度在2008年1月9日至2013年6月28日的日收盘价作为样本。因为期货合约具有不连续性，为得到一个连续的黄金期货收盘价序列，同时避免临近交割月份期货价格剧烈波动所带来的影响，选取距离当年月份之后两个月交割的期货合约为样本对象。由于上海期货交易所于2008年1月9日首次推出2008年6月交割的黄金期货合约，故在构造连续黄金期货收盘价序列时，2008年1月至4月均以2008年6月份的期货合约为样本对象。为了保持数据的一致性，日本黄金期货数据采取同中国黄金期货数据一样的处理办法。舍去节假日等因素导致的数据缺失，共得到中国1324个样本数据，日本1338个样本数据。文中数据均来自国泰安数据库。对收益序列做如下处理：Rt=100(ln(pt)-ln(pt-1))，t=2，…，T ，Rt表示收益率；pt表示时刻t的收盘价，用以消除金融市场价格序列的不平稳性。

在向前滤波向后抽样的联合Gibbs抽样中，模型各参数的先验分布设定为：α～N(0，0.1)，τ2～IGa(2.5，0.025)，d～N(0，1)。设置迭代次数为50000次，舍去初始30000次不平稳数据，同时为了减少链条自相关性，在剩余链条，每5个随机数只保留一个，实际用于分析的数据为4000个。利用马尔科夫链产生的样本数据，可以分析LMSV模型各参数的样本轨迹、后验分布以及贝叶斯估计结果。图1～6分别给出了各参数的轨迹图、Geweke收敛诊断图以及后验分布密度图。

图1 SHFE黄金期货各参数轨迹图

图2 TOCOM黄金期货各参数轨迹图

图3 SHFE黄金期货各参数Geweke收敛诊断图

图4 TOCOM黄金期货各参数Geweke收敛诊断图

图1～2中，各参数的样本轨迹图已基本保持稳定，均匀分布在一条水平线附近，表明贝叶斯LMSV模型中各参数的后验分布已达到稳定状态。由图3～4得，主要参数Geweke统计量的绝对值小于1.96，在5%的显著性水平上，表明抽样迭代初期的样本均值和抽样迭代末期的样本均值不存在显著差异，因此可判断抽样得到的Markov链是收敛的，综合动态迭代轨迹图，可知得到的抽样数据是有效的。

图5 SHFE黄金期货各参数后验分布密度图

图6 TOCOM黄金期货各参数后验分布密度图

由图5～6可得，对模型各参数进行核密度估计，其参数后验分布密度图基本上是对称的，表明这些参数的贝叶斯估计值与真实值非常接近，误差很小。其中参数d的后验分布密度图呈现右偏趋势，表明样本中存在一些偏大的异常值，使参数贝叶斯估计值比实际值偏大，参数可能被高估。各参数的边缘后验分布核密度估计的曲线平滑，有明显的单峰对称特征，表明参数贝叶斯估计值的误差非常小。根据联合Gibbs抽样结果，结合后验分布密度图，可以得出参数的贝叶斯估计值。表1～2给出了LMSV模型的参数估计值、标准差、MC误差、2.5%分位数、中位数、97.5%分位数的贝叶斯估计值。

表1 SHFE黄金期货LMSV模型参数的贝叶斯估计

表2 TOCOM黄金期货LMSV模型参数的贝叶斯估计

表1和表2中数值显示各参数标准差和MC误差均较小，且MC误差远小于标准差，可以判断抽样得到的链条是平稳收敛的，即参数估计结果是有效的。SHFE黄金期货的水平参数α的估计值大于TOCOM黄金期货水平参数α的估计值，表明中国黄金期货市场的日收盘价格波动幅度较日本黄金期货市场大，同时由(3)式中白噪声过程方差τ的估计值可以得到，中国黄金期货市场自身的波动性较强，相对于日本黄金期货市场来说，中国市场稳定性较差。在LMSV模型中，d是用来描述波动过程长记忆性的参数，若 d ＞0.5，则过程非平稳；若0＜d ＜0.5，则过程平稳且具有长记忆性；若-0.5＜d＜0，则过程平稳且有短记忆性。d越大，时间序列长记忆特征越明显，因此我们可以通过估计LMSV模型得到长记忆参数d的估计值，以考察一个序列的波动是否具有长记忆性，以及其记忆的长短。从表1和表2中得到SHFE黄金期货的d值为0.4720，TOCOM黄金期货的d值为0.4845，表明中国黄金期货市场跟日本黄金期货市场均存在很强的长记忆性，且日本市场的长记忆性更强，这表明中日两国黄金期货市场过去信息对未来事件的影响都很大。究其原因，黄金期货作为黄金的衍生品，其价格必然受黄金价格的影响，而黄金价格又受到政治事件、石油价格、美元走势等因素的影响，这些影响因素均受到国家宏观政策的调控，故黄金期货市场体现出非有效性。另一方面，日本黄金期货市场早在1984年就正式开放交易，如今已成为亚洲最成熟的黄金期货交易市场，日本政府无外汇管制，黄金市场交易趋向于自由化。而我国黄金期货市场2008年才正式上市，目前仍处于发展时期，国家对黄金期货的调控力度较大，相比于过去信息，政府的政策对黄金期货市场未来的走势影响更大，因此日本黄金期货市场的长记忆性更强，可预测性也相对更强。投资者在中日黄金期货市场上进行风险管理和交易决策时，应当充分考虑历史信息、突发事件、国际形势等因素的影响，以获取利润最大化。

4 结语

本文针对长记忆随机波动模型进行贝叶斯分析，结合模型的状态空间转换和利用Kalman滤波算法，证明了具有长记忆结构的无限维状态空间模型，其确切似然函数只依赖于前n个状态变量，n为时间维度。在此基础上，将向前滤波向后抽样算法引入对波动变量的估计过程，设计出Gibbs联合抽样算法，据此估计模型参数。选择中国和日本的黄金期货收益数据进行实证分析，研究结果表明：中国市场的波动性较强，说明中国市场稳定性较差；中日两国黄金期货市场均存在很强的长记忆性，且日本市场的长记忆性更强。本文构建的长记忆随机波动模型能够较好的刻画金融时间序列的长记忆特征，但是对不同市场之间的长期波动溢出效应，尚不能体现。

[1]Lin X,Fei F.Long Memory Revisit in Chinese Stock Markets:Based on GARCH-class Models and Multiscale Analysis[J].Economic Modelling,2013,31(2).

[2]Coakley J,Dollery J,Kellard N.Long Memory and Structural Breaks in Commodity Futures Markets[J].Journal of Futures Markets,2011,31(11).

[3]Breidt F J,Crato N,De Lima P J F.The Detection and Estimation of Long Memory in Stochastic Volatility[J].Journal of Econometrics,1998,83(1).

[4]朱慧明,许昊,郝立亚.基于贝叶斯网络的上市公司财务困境预测研究[J].统计与决策,2011,20(3).

[5]刘飞,吴卫锋,王开科.我国黄金期货市场定价效率与价格发现功能测算—基于5分钟高频数据的实证研究[J].国际金融研究,2013(4).

[6]Kim S,Shephard N,Chib S.Stochastic Volatility:Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models[J].Review of Economic Studies,1998,65(3).