堆石料缩尺方法的分形特性及缩尺效应研究

赵婷婷，周 伟，常晓林，马 刚，马 幸

（1.武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072；2.武汉大学 水工岩石力学教育部重点实验室，湖北 武汉 430072）

1 引言

堆石坝对地形地质条件适应性较强、设计理论成熟、具有经济效益好、施工方法简单且抗震性能好的特点。随着我国水利资源开发深度和广度的提高，在坝型选择方面，堆石坝经常被优先考虑。堆石料作为坝体填筑的主要材料，其工程特性参数的准确性也引起了广泛的关注。在实际工程中，坝体填筑材料的粒径一般为600～800 mm，也有一些实际工程采用大粒径填筑材料，粒径可以达到800～1 200 mm[1]。为了研究堆石料的性质，国内外学者进行了大量的现场和室内试验。受现有试验条件限制，室内试验常用的三轴仪直径只有300 mm，而土工试验规范规定试验土料颗粒粒径应小于1/5～1/6的试样直径[2]，也就是说室内试验的控制粒径为60 mm，与现场的实际粒径相差甚远。这种情况下，使得对实际堆石料级配进行缩尺成为一种必然。

国内外很多学者对缩尺效应的影响因素进行了研究，研究角度包括缩尺方法[3－4]、缩尺比例[5]、试样尺寸大小[6－11]、颗粒自身性质以及颗粒破碎[12]等；研究方法以室内试验方法为主[4－14]。数值模拟方法可以在人力、物力和时间方面弥补室内试验的不足，并且可以实时观测堆石料细观组构的演化过程[15－19]，是以室内试验为主的堆石料研究手段的有力补充。纵观整个研究过程可以发现，采用数值方法对级配缩尺方法的缩尺效应研究较少。

不同缩尺方法制得堆石料试样的颗粒级配分布，具有几何非线性和复杂性，其粒度组成难以用确定性的几何方法进行研究，而分形理论却为自然界中复杂无序而又具有内在规律的系统提供了定量描述的方法[20]。分形理论自1982年形成以来[21]，在岩石断裂、堆石料颗粒破碎、岩石和土粒子表面孔隙率等方面取得了一定的进展[22－24]。在堆石料级配特征方面，朱晟等[25]选取对级配性质较为敏感的Talbot公式的指数n 以及反映颗粒形状与粗糙度的因子作为分形指标，解译粗粒料密实度出现缩尺效应的内在原因，为粗粒料级配构成对密实度影响的量化评价提供依据，克服以往只能利用不均匀系数和曲率系数进行模糊评价的缺点。整体而言，对堆石料级配特征的分形特性研究较少，并且在研究手段方面，多用Tyler提出的质量分形模型[24]。而采用基于颗粒流理论的数值模拟方法可以方便地统计颗粒数量，从而可以采用数量-粒径分形模型进行研究。

综上所述，本文采用颗粒流程序PFC2D，建立以不同粒径范围内颗粒数为测量数的分形模型，对堆石料级配缩尺方法的分形特性和缩尺效应进行了研究。采用6种缩尺方法制备试样，分别研究了颗粒级配分布的分形特性和缩尺方法对试样宏细观力学特性的影响，并讨论了数值试样分形特性与力学特性之间的关系。

2 缩尺方法

根据文献[2]规定，对粗粒料级配进行缩尺，有以下4种处理方法可供选择。

（1）剔除法：将超粒径颗粒剔除。

（2）等量替代法：根据仪器允许的最大粒径和粒径大于5 mm的颗粒，按颗粒等质量替换超粒径颗粒。

（3）相似级配法：根据原级配曲线的粒径，分别按照几何相似等比例地将原样粒径缩小至仪器允许的粒径，缩小后的土样级配应保持不均匀系数不变。

（4）混合法：同时采用（2）、（3）两种方法，即先用适当的比尺缩小，使小于5 mm粒径颗粒的质量不大于总质量的30%，若仍有超粒径颗粒再用等量替代法制样。

以上几种缩尺方法各有优缺点，剔除法使用简单方便，但在超径颗粒含量较多时，很大程度改变了原级配堆石料的工程特性，该方法只宜在超径料含量不大于10%的范围内使用；等量替代法保证了粗颗粒(≥5 mm)和细颗粒(≤5 mm)的含量不变，缺点是使粒径缩小，均匀性增大；相似级配法的优点在于保持颗粒级配的几何形状相似，不均匀系数 Cu不变，但增加了小于5 mm的细颗粒含量，并且相似比尺M 越大，这种现象越明显；混合法综合了等量替代法和相似级配法，资料表明，混合法取得的最大干密度与现场碾压试验相接近。规范中对使用哪一种方法并没有具体的规定，如何选择合理的缩尺方法还需要进一步研究。

为了研究不同缩尺方法对试验结果的影响，本文选用古水面板堆石坝的现场堆石料级配曲线作为原始级配曲线，堆石料最大粒径为800 mm。采用6种方法对原级配料进行缩尺，缩制成6条最大粒径为600 mm的数值试验级配曲线。缩尺方法为等量替代法（DD）、相似级配法(SS)和不同相似比尺M值的混合法（HH，M=3，5，7，10），其中M=3为室内试验采用的级配缩尺方法，根据这条级配曲线生成数值试样来标定数值模拟需要的细观参数。原始级配曲线与缩尺后的级配曲线如图1所示。

图1 级配曲线Fig.1 Grading curves

对图1所示的级配曲线进行分析，得到各条曲线的级配特征如表1所示。从表1可以看出，随着级配缩尺方法从等量替代法到混合法再到相似级配法的转变，粗颗粒含量不断减少，不均匀系数 Cu从5.52增加到20.39，曲率系数 Cc从1.24增加到2.08。工程中规定级配良好的粗粒土多数粒径分布曲线要呈光滑下凹的型式，坡度较缓，土粒大小连续，曲线主段粒径之间有一定变化规律，能同时满足Cu≥ 5及 Cc=1～3的条件[26]。由表1结果可知，不同缩尺方法得到的各级配堆石料试样均能满足这一条件，可用于进一步的数值模拟。

表1 数值试样级配曲线分析表Table 1 Analysis table of grading curve for numerical samples

3 缩尺方法的分形效应

堆石料的级配分布从本质上看是一个几何问题，但不同缩尺方法缩制得到试样的粒度组成具有一定的几何非线性和复杂性，难以用确定性的几何方法进行研究，而分形几何为研究不规则几何问题提供了一种思路。

分形的基本定义如下：

式中：r为图形的测度，即客体的特征尺度；N为对应r 所得的测量数，即特征尺度r 的客体数目；D为该图形的分维数。具体到堆石料级配分布的分形模型，可以认为，堆石料颗粒级配分布是不同缩尺方法缩制形成试样的一种量度，其粒度组成可以看作一种没有特征长度的结构图形。本文建立了一种不同于Turcotte[27]提出的分形模型，将粒径在某一区间范围内颗粒数目占全体颗粒数目的比例yi(xi)作为测量数，对应式（1）中的N，将该区间的上限粒径xi作为测度，对应式（1）中的r，研究颗粒级配分布的分形特性。

定义反映颗粒级配分布的函数为

式中：Ni为粒径位于区间[ xi-1，xi]的颗粒数目；Nsum为试样总颗粒数。如果颗粒级配分布具有分形结构，由式（1）可得到如下关系

数值试验可以方便地统计不同粒径区间的颗粒数目，不同缩尺方法缩制得到数值试样的颗粒数目分布如表2所示，数值试样的生成方法见4.2节。

表2 试样颗粒数目分布统计Table 2 Distribution statistics of the number of particles

由式（3）可知，如果lg(xi)和lg(yi)具有良好的线性关系，则说明颗粒级配分布具有分形结构，拟合直线的斜率则为分维数D 的相反数。图2为lg(xi)和lg(yi)的线性拟合关系，表3为线性拟合结果的斜率及线性相关系数。

由图2和表3的拟合结果可以看出，除了等量替代法缩制试样对应的线性相关程度较差（线性相关系数为0.87）以外，其余缩尺方法对应的拟合结果线性程度均较好，说明分维数D 能基本概括不同缩尺方法得到颗粒级配分布的变化趋势特性，而等量替代法对颗粒级配各粒组的比例产生较大的扰动。分维数的计算结果同样列于表3。认为等量替代法的相似比尺M=1，相似级配法的相似比尺M=1，由分维数D 的变化规律可知，随着M 的增大，分维数从1.463增加到1.783。

4 数值试样制备

4.1 数值试样的密实程度

由于粗粒含量、颗粒大小、不均匀系数等原因都会影响堆石料的密度，所以堆石料的密实程度不能用某一密度或某一孔隙率来表示，而是采用相对密度Dr。

图2 lg(xi)和lg(yi)的线性拟合Fig.2 Linear fitting between lg(xi)and lg(yi)

表3 线性拟合结果及分维数计算Table 3 Linear fitting results and fractal dimension calculation

首先需要确定不同缩尺方法缩制得到数值试样所对应的最大孔隙率 nmax和最小孔隙率 nmin。参照相对密度试验获取最小干密度时采用的松填法（固定体积法），可认为，试样颗粒在自重作用下落达到自然稳定状态时的孔隙率即为 nmax。采用PFC2D程序模拟这一过程，可以获得不同缩尺方法对应的nmax及换算得到的 emax列于表4。参照文献[28]提出的方法，通过两次改变颗粒的摩擦系数，使颗粒模型在围压为500 kPa下达到平衡，得到试样的 nmin。不同缩尺方法对应的 nmin及 emin同样列于表4中。图3为密实程度指标与缩制试样时所采用相似比尺M 之间的对应关系。可以看出，随着M 的增大，各密实程度指标均有一定程度的减小。

表4 不同缩尺方法对应的密实程度Table 4 Dense degrees corresponding to different scale methods

图3 密实程度指标与缩尺方法的关系Fig.3 Relationship between dense degree index and scale method

古水面板堆石坝现场堆石料的相对压实密度为0.85，所以取数值试样的相对密度为0.85。Dr与孔隙率n 之间有如下关系：

由式（5）可以计算得到，采用不同缩尺方法生成数值试样时所需的孔隙率如表5所示。可以看出，随着M 值的增大，试样的孔隙率逐渐减小。

表5 数值试样的孔隙率Table 5 Porosities of numerical samples

4.2 数值试样的细观参数

为了得到双轴试验模型所需的细观参数，对古水堆石料三轴剪切试验进行了数值模拟。首先建立模型，生成四面墙体（300 mm×600 mm），顶墙和底墙模拟加载板，左、右墙模拟试样侧限围压。采用与室内试验相同的缩尺方法（M=3的混合法）得到级配曲线生成颗粒试样，为了防止生成颗粒数量过大，影响计算效率，对级配曲线进行截断处理，将粒径小于5 mm的颗粒用粒径为5 mm的颗粒进行等体积替换。随后进行颗粒平衡达到初始平衡状态。颗粒流模型的细观与宏观参数没有确定的对应关系[29－30]，只能通过不断调整细观参数，直至数值试验的结果与堆石料的宏观性质大体一致。本文选取如表6所示的细观参数，能较好地模拟室内试验结果。数值模拟与室内试验结果对比见图4。

表6 数值试验细观参数取值Table 6 Mecro-parameters of numerical experiment

图4 数值模拟与室内试验对比图Fig.4 Comparison between numerical experiment results and indoor test data

5 数值试验结果分析

5.1 强度特性

根据模拟得到的细观参数可基本反映堆石料的宏观力学性质，采用这些细观参数和不同缩尺方法得到的级配曲线建立不同的双轴试验模型，每一条级配曲线采用3种不同的围压0.5、1.0、1.5 MPa进行3组双轴压缩试验。围压为0.5 MPa时得到的应力-应变曲线及体变曲线如图5所示。

图5 不同缩尺方法对应的应力-应变曲线和体变曲线Fig.5 Relationship curves of stress vs.volume strain and axial strain based on different scale methods

由图5可以看出，不同缩尺方法对应的应力-应变曲线趋势大致相似，但随着M 值的增大，试样的峰值强度不断增大，曲线初始阶段的斜率也不断增大，围压为1.0、1.5 MPa时的应力-应变曲线也反映出了相似的规律。进一步分析数值试验结果，绘制出采用等量替代法缩制试样在不同围压下破坏时的摩尔圆，如图6所示，采用其他方法缩制试样进行双轴试验，也可以得到相似的试验结果。分别采用摩尔-库仑强度理论和邓肯非线性强度理论[1]分析这一试验结果。

图6 等量替代法对应的莫尔圆及强度包线Fig.6 Mohr circles at failure and strength envelops of samples based on equivalent replacement method

（1）摩尔-库仑强度理论

式中：τ为抗剪强度；c为黏聚力；σ为法向应力；φ为内摩擦角。堆石料为无黏性土，不存在严格意义上的黏聚力，但在密实情况下，颗粒间相互咬合，具有一定的表观黏聚力，所以可以按照式（6）整理出颗粒试样的强度指标黏聚力c 和内摩擦角φ，如表7所示。

表7 强度指标Table 7 Strength indicators

结合表1、5、7进行分析可以发现，在不同的围压下，随着级配缩尺方法从等量替代法到混合法再到相似级配法的转变，细颗粒含量所占比例逐渐增加，各项强度指标均有一定程度提高。这种现象产生的原因在于不同的级配缩尺方法使得粗细颗粒的充填关系发生变化，随着M 的增大，级配不均匀系数 Cu越大，颗粒间的咬合作用越显著。直接使用等量替代法缩尺，粒径小于5 mm的颗粒含量很少，细颗粒不能很好地填充粗颗粒之间的孔隙，试样孔隙率较大，粗细颗粒无法很好地咬合在一起。使用混合法时，随着相似比的增大，细颗粒含量不断增多，粗细颗粒之间的充填关系得到改善，试样孔隙率不断减小，抗剪强度也不断提高，c、φ 都逐渐增大。使用相似级配法缩制得到的试样c、φ 值最大。需要说明的是，实际工程中堆石料细粒含量增加会导致堆石料强度降低，这是因为土工试验规程[2]规定粒径小于0.1 mm的土颗粒为细粒，该粒组多为黏粒，这种细粒越多，对颗粒集合体的润滑作用越明显，导致土体的强度降低。而本文中的细颗粒是指粒径小于5 mm的颗粒，这种粒径相对较小颗粒的性质和作用与黏粒截然不同，在堆石体中可以起到改善颗粒填充关系的作用，所以试样的强度指标有了一定程度的提高。

（2）邓肯非线性强度理论

式中：φ0为围压为 Pa时的φ；Δφ为φ-lg(σ3/ Pa)关系曲线上的斜率，反映了强度随着围压的降低；Pa为大气压。该理论认为，堆石料颗粒之间没有黏聚力，过原点作一个应力圆的切线，获得φ，不同的围压σ3对应不同的φ，如图6所示。整理得到两个强度指标φ0和 Δφ，列于表7中。

分析表7中数据可知，随着相似比尺M 值的增大，φ0也有一定程度增大，表明围压为Pa时的内摩擦角不断增大；而反映强度随围压降低程度的指标Δφ 则不断减小。以上强度指标的变化可以说明，在使用等量替代法进行缩尺时，由于颗粒之间的充填关系不好，试样的抗剪强度较低，增大围压会更大程度上影响试样内部结构，使抗剪强度产生更明显的变化。使用混合法和相似级配法缩制的试样，颗粒间充填关系变好，颗粒模型结构更稳定，试样抗剪强度逐渐增大，受围压的影响程度也逐渐减弱。此外，由表7中的数据可以看出，数值模拟得到的强度指标比实际堆石料物理试验得到的强度指标偏大，尤其是φ0明显偏高，造成这一结果的原因可能是，数值模拟中堆石料为刚性颗粒，无法模拟实际堆石料的颗粒破碎行为。如何使离散元的数值模型更真实地模拟实际堆石体的力学行为是在今后的工作中需要深入研究的问题。

5.2 变形特性

由图5中等量替代法、相似级配法及M=5的混合法3种方法在围压为500 kPa时的体变曲线可以看出，在剪切过程中，颗粒模型均先发生剪缩再发生剪胀，但不同缩尺方法获得的试样剪缩及剪胀程度不同。由于粗细颗粒的充填关系不同，由等量替代法得到的模型细颗粒较少，在加压过程中，没有足够的细颗粒填充粗颗粒之间的孔隙，以致剪缩程度较小，剪胀效应明显。而相似级配法生成的模型，细颗粒含量较多，在加压过程中，细颗粒能够更好地填充粗颗粒的孔隙，剪缩现象较明显，混合法制备模型的体变曲线居中。

颗粒试样变形特性可以通过变形模量E 和泊松比ν 来反映。E为偏应力达到峰值强度1/2时的割线模量，ν为该点的径向应变与轴向应变的比值，在二维双轴压缩试验情况下，可以由下式计算得到。

式中：Δεx为径向应变；Δεy为轴向应变；ΔεV为体积应变。围压为500 kPa时，E 和ν 与缩制试样时采用的M 的关系如图7所示。由图7可见，E 随着M 值的增大而逐渐增大，ν 随着M 的增大而减小。E 的变化规律可以说明，由相似级配法缩制的颗粒试样粗细颗粒间充填关系好，形成了更为稳定密实的结构，受到初始阶段的剪切作用发生较小的轴向变形，随着相似比尺M 的减小，这种影响逐渐减弱，所以E 增大。ν 的变化规律可以说明，随着M 的增大，颗粒间咬合作用显著，使得试样的侧向变形能力减弱，所以ν 减小。

图7 变形模量E 和泊松比ν 与缩尺方法的关系Fig.7 Relationship between deformation modulus E and poisson’s ratio ν with scale method

5.3 细观响应

采用基于颗粒流方法的数值试验研究堆石料的力学特性，为从细观角度分析试样的力学行为提供了可能，数值模拟可以实时观测堆石料细观组构的演化过程。堆石料颗粒之间的接触作用可以通过颗粒模型的配位数、平均法向接触力、平均切向接触力等细观响应的演化过程进行研究。配位数的演化曲线如图8所示，平均法向接触力、平均切向接触力的演化曲线如图9所示。

图8 配位数演化曲线Fig.8 Evolution curves of coordination number

图9 平均法向接触力和平均切向接触力演化曲线Fig.9 Evolution curves of average normal contact force and average tangential contact force

配位数指试样中颗粒的平均接触点数，配位数越大，说明颗粒结构越稳定。由图8可以看出，6种缩尺方法对应试样的配位数变化规律相似，在剪切试验的开始阶段，试样产生一定的剪缩，颗粒模型更加密实，配位数略有上升，随后由于试样发生剪胀，配位数开始不断减小。其中采用相似级配法缩制的试样配位数最大，采用等量替代法缩制的试样配位数最小，采用混合法缩制的试样配位数居中，并且M 越大，配位数越大。这就从细观角度解释了各组试样宏观抗剪强度不同的原因，由相似级配法缩制的试样颗粒充填关系好，形成更稳定的结构，表现出了更高的强度。

由图9可以看出，在同一个试样中，平均法向接触力要比平均切向接触力大很多。平均法向接触力和切向接触力具有相同的演化规律，随着双轴压缩试验的进行，各接触力逐渐增大，在轴向应变2%附近，各接触力达到峰值，随后开始减小，变化幅度不大。对比不同缩尺方法缩制试样的接触力可以发现，随着M 值的增大，颗粒间各接触力不断减小。结合图8配位数的演化曲线，可以解释产生这一现象的原因，配位数大，说明颗粒接触数较多，使得平均接触力较小。

6 分维数与力学特性指标的关系

由上述数值试验结果可知，数值试样的力学特性受到缩尺方法的影响，而分维数D 能概括不同缩尺方法得到的颗粒级配分布的变化趋势特性，所以有必要对D与堆石料力学特性指标之间的关系进行进一步研究。数值试样密实程度指标与D 的关系如图10所示，强度及变形特性指标与D 的关系如图11所示。可以发现，除了等量替代法以外，其余各缩尺方法所对应的D与各指标间的关系可以用直线进行拟合，根据这一拟合关系可以认为，等量替代法对原始堆石料的颗粒级配扰动较大。除等量替代法以外各级配缩尺方法D与力学特性指标的拟合结果列于表8，该拟合关系为根据堆石料的级配特性曲线确定堆石料的力学特性指标提供了一种思路。

图10 密实程度指标与分维数关系Fig.10 Relationship between dense degree index and fractal dimension

图11 强度特性及变形特性指标与分维数关系Fig.11 Relationship between index of strength and deformation characteristics with fractal dimension

表8 分维数与力学特性指标拟合结果Table 8 Fitting results of fractal dimension and mechanical properties index

7 结论

（1）通过6种不同缩尺方法得到不同的颗粒级配分布曲线，随着相似比尺M 的增大，粗颗粒含量不断减小，不均匀系数 Cu及曲率系数 Cc逐渐增大。

（2）建立以颗粒数目为测量数的分形模型，可以发现数值试样的颗粒级配分布具有分形特性，随着相似比尺M 由1增加到13，颗粒级配分布的分维数D 由1.463增加到1.783。

（3）颗粒级配分布的变化导致数值试样力学特性产生相应的改变。宏观响应方面，随着M 的增大，密实程度指标 nmax、nmin、emax、emin不断减小；强度特性指标c、φ、φ0逐渐增大， Δφ 逐渐减小；变形特性指标E 逐渐增大，ν 逐渐减小。细观响应方面，随着M 的增大，配位数逐渐增大，颗粒间的平均法向接触力和切向接触力不断减小。

（4）等量替代法对原始堆石料的颗粒级配扰动较大，除等量替代法之外的其余缩尺方法缩制得到数值试样的颗粒级配分布分维数D与力学特性指标nmax、nmin、emax、emin、c、φ、φ0、Δφ、E、ν之间存在较好的线性关系。这一拟合关系为根据堆石料的级配特征曲线确定堆石料的力学特性指标提供了一种思路，在以后的研究中，可以将颗粒级配分布的D 作为力学特性指标的量化参数。

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