关于F-反正规的极大子群与s-完备

高 辉， 高胜哲， 尹 丽

(大连海洋大学 理学院 辽宁 大连 116023)



关于F-反正规的极大子群与s-完备

高 辉， 高胜哲， 尹 丽

(大连海洋大学 理学院 辽宁 大连 116023)

设F是包含所有超可解群类的饱和群系,利用F-反正规的极大子群的s-完备性来刻画群的结构,得到了群G∈F的一些充要条件.

群系;F-反正规的极大子群; 正规指数;s-完备

0 引言

设F是一个群类, 称F是一个群系, 若满足(1)G∈F且H◁G, 则G/H∈F; (2)G/H∈F且G/K∈F, 则G/(H∩K)∈F. 称群系F是饱和的, 如果G/Φ(G)∈F,可推出G∈F.

设F是包含所有超可解群类的饱和群系,GF是使G/N∈F的所有正规子群N的交.文[1-3]分别通过GF的极小子群和GF的Sylow子群的极大子群来刻画G∈F.文[4]提出了F-正规的概念.文[5]利用了F-反正规的完备性刻画了群的结构.设F是包含U的饱和群系,有限群G∈F当且仅当对于每个F-反正规且有合数指数的极大子群M, 存在一个关于M的极大完备C,使得G=MC且C/K(C)的阶无平方因子.文[6]利用了极大θ-完备获得超可解群的一个刻画.有限群G超可解当且仅当对于有合数指数的极大子群M,M有一个极大θ-完备C, 使CG/K(C)循环.

但是, 注意到以往的研究分别是通过对完备和θ-完备赋予“极大”这一条件来刻画群的结构. 为了得到更好的结论, 对赋予的“极大”这一条件去掉, 文[7]中给出了极大子群的s-完备这一概念.本文借助F-反正规的极大子群的s-完备的条件, 得到了G∈F的一些充要条件.

本文中所用符号皆为标准的, 涉及的群指有限群,S和U分别表示所有可解群类和所有超可解群类.

1 定义及引理

定义1[4]设M是G的极大子群, 若G/MG∈F, 称M在G中F-正规.否则,称M在G中F-反正规.

显然地,G∈F当且仅当G的所有的极大子群在G中F-正规.

定义2[8]设M是G的极大子群.G的一个子群C称为M在G中的一个完备, 如果CM,而C的每个G-不变真子群都在M中. 用K(C)表示C的所有G-不变真子群之积, 则K(C)

定义3[7]给定群G的极大子群M, 设C是关于M的完备,称C是关于M的s-完备, 如果C=G或者存在G的子群B,使得(i)C是B的极大子群;(ii)B不是关于M的完备.

定义4[9]给了群G及极大子群M, 令N/K是G的一个主因子,满足G=MN,并且N有尽可能小的阶,N/K的阶叫作M在G中的正规指数，记作η(G∶M).

定义5定义下列集合.

引理1[5]每个极大子群M在G中F-反正规,当且仅当G=GFM.

引理2[7]令G是一个群,N◁G使得G/N有唯一极小正规子群U/N, 设M是群G的极大子群,满足N≤M但UM. 令F是一个子群闭的同态像, 假设C是M的s-完备, 且有C/K(C)∈F, 但U/N∉F. 记则是M的s-完备，且满足：且).是的极大子群.

引理3Φ1(G)可解.

证明假设命题不真, 设G为极小阶反例. 若F1(G)=∅, 则∀M<·G,均有η(G∶M)无平方因子, 从而G超可解, 于是Φ1(G)=G超可解, 矛盾. 故F1(G)≠∅且设Φ1(G)≠1, 则G非单. 令N是G的极小正规子群, 由G的极小性知,Φ1(G/N)可解, 又Φ1(G)N/N≤Φ1(G/N), 故Φ1(G)N/N可解.

若N∩Φ1(G)=1, 则Φ1(G)可解, 矛盾. 于是N∩Φ1(G)≠1, 即N≤Φ1(G), 从而Φ1(G)/N可解, 且N是G的唯一极小正规子群.

引理4[9]群G超可解，当且仅当对于G的每个有合数指数的极大子群M,η(G∶M)无平方因子.

引理5[10]设F是包含U的饱和群系, 假设群G有素数阶正规子群N,使得G/N∈F, 则G∈F.

引理6设F是包含U的饱和群系,群G∈F,当且仅当G的每个F-反正规的极大子群M,有η(G∶M)无平方因子.

证明必要性证明.若G∈F, 则G的每个极大子群是F-正规, 所以必要性显然成立.

充分性证明.假设结论不成立且设G为反例. 若GF=G, 假设存在M<·G使得M在G中F-正规, 则GF≤M. 于是G≤M, 矛盾. 所以∀M<·G,M均在G中F-反正规, 由题设知,η(G∶M)无平方因子. 由引理4知,G超可解. 特别地,G∈F, 矛盾.

引理7[11]设F是包含U的饱和群系, 假设G有正规子群E使得G/E∈F, 若E为循环群, 则G∈F.

引理8[7]令F是一个群系, 假设群G∉F, 那么存在一个正规子群N,使得G/N∈b(F), 其中b(F)指的是F的Q-边界.即G/N∉F,但是G/N每个同态像都属于F,并且G/N有唯一的极小正规子群.

2 主要结果

定理1设F是包含U的饱和群系, 记CG为C在G中的正规闭包. 群G∈F当且仅当对于M∈Uη(G), 存在关于M的s-完备C, 使CG/K(C)循环.

证明必要性的证明.若G∈F, 则G的每个极大子群是F-正规, 所以必要性显然成立.

充分性的证明.假设G∉F, 并且G是一个极小阶反例. 选取N◁G具有尽可能大的阶，使得G/N∉F, 那么G/N有唯一极小正规子群U/N，且U/N非循环. 由N的选取得G/U∈F, 即(G/N)/(U/N)=G/U∈F, 于是由GF的定义得(G/N)F≤U/N. 而U/N是G/N的唯一极小正规子群, 故U/N≤(G/N)F.于是U/N=(G/N)F=(GFN)/N.

定理2设F是包含U的饱和群系, 群G∈F当且仅当对于M∈Uη(G), 存在关于M的s-完备C，使得G=MC且C/K(C)的阶无平方因子.

证明必要性显然成立,下面只证充分性.

假设G∉F, 并且G是一个极小阶反例. 选取N◁G具有尽可能大的阶，使得G/N∉F, 那么G/N有唯一极小正规子群U/N. 由N的选取得G/U∈F, 即(G/N)/(U/N)=G/U∈F, 于是由GF的定义得(G/N)F≤U/N. 而U/N是G/N的唯一极小正规子群, 故U/N≤(G/N)F. 于是U/N=(G/N)F=(GFN)/N.

(1) 存在M∈Uη(G), 使得N⊆M但U⊄M.

若Uη(G/N)=∅, 由定义1和引理6得G/N∈F, 矛盾. 所以Uη(G/N)≠∅, 即存在正规指数含有平方因子的极大子群M/N，使得U/NM/N. 从而存在G的极大子群M，使得N⊆M但UM, 即GFM, 所以M∈Uη(G).

(2)U/N是非可解的特征单群.

(3)K(C)=N,C是CU的极大子群且GF⊄C.

由(2)知,U/N非可解, 而C/K(C)可解. 由于所有的可解群组成的群类为子群闭的同态, 而U/N不属于这一群类, 所以由引理2知,可以选择C，使得K(C)=N, 且C是CU的极大子群. 若GF⊆C, 则U=GFN≤C. 由C/N可解知, (GFN)/N可解, 即U/N可解, 矛盾.

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(4)G的每个极大子群H∈U(G)的指数均无平方因子.

(5)C<·G.

NU/N(PN/N)=C/N∩U/N=T/N.

假设C

显然,C∩U≤H∩U. 否则,C∩U

下面证明U/N≅PSL(2,r), 其中r为奇素数且CU

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(责任编辑：王海科)

OnF-Abnormal Maximal Subgroups ands-Completions

GAO Hui, GAO Sheng-zhe, YIN Li

(ScienceInstitute,DalianFisheriesUniversity,Dalian116023,China)

LetFbe a saturated formation which contains all supersolvable groups. The structure of finite groups was characterized bys-completions ofF-abnormal maximal subgroups. Some necessary and sufficient conditions of the groups inFwere obtained.

formation;F-abnormal maximal subgroups; normal index;s-completions

2015-01-12

高辉(1978-)，女，辽宁庄河人，讲师，硕士，主要从事有限群研究,E-mail:gaohui@dlou.edu.cn;通讯作者：高胜哲(1974-)，男，黑龙江大兴安岭人，副教授，硕士，主要从事有限群及金融数学研究，E-mail:gsz@dlou.edu.cn.

高辉，高胜哲，尹丽.关于F-反正规的极大子群与s-完备[J].郑州大学学报：理学版，2015，47(2)：45-48.

O152.1

A

1671-6841(2015)02-0045-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.02.010