抓本质巧变换——由函数对称性简解一道高考题

☉山东省枣庄市第三中学 雷春景

抓本质巧变换
——由函数对称性简解一道高考题

☉山东省枣庄市第三中学 雷春景

高考对函数零点问题的考查主要有三个视角.

（1）求函数的零点.也即求方程f（x）=0的实数根，可以利用公式法、因式分解法、配方法等解决，如果方程中含有参数，需要对参数进行分类讨论.

（2）零点所在范围的判定.此类问题常借助“零点存在定理”——如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，且满足f（a）·f（b）<0，那么，函数y= f（x）在区间（a，b）内有零点.即存在x0∈（a，b），使得f（x0）= 0，则x=x0就是方程f（x）=0的根.

用零点存在定理可判断函数零点是否存在，如果需要进一步判断图像连续不断的函数的零点是否惟一，可以借助函数的单调性，需将判定的区间划分为函数的单调区间逐一判定.一般地，图像连续不断的函数f（x）在区间（a，b）上单调，且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在区间（a，b）上有惟一零点.

（3）零点的个数问题.函数F（x）=f（x）-g（x）的零点，即方程f（x）=g（x）的根，也就是函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.当函数y=F（x）的图像不易画时，可将F（x）分解成两个相对简单的函数，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）与g（x）的图像交点的个数来判断F（x）的零点个数.

当复合函数y=f（g（x））不易具体化或简化来分析它的零点个数时，常常通过整体换元转化为方程f（t）=0与t=g（x）的根的个数，再进一步转化为函数y=f（t）的零点个数以及直线y=t与y=g（x）的图像交点的个数.

本题给出零点个数，求参数范围，可将问题转化为两函数的交点个数问题求解.

y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4个零点等价于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f（x）+f（2-x）的图像有4个公共点，由图像可知

对两个函数对称性的考查是高考常考题型之一，其中主要包括：

（1）函数y=f（x）与函数y=-f（x）关于x轴对称；

（2）函数y=f（x）与函数y=f（-x）关于y轴对称；

（3）函数y=f（x）与函数y=f（2a-x）关于直线x=a对称；

（4）函数y=f（x）与函数2b-y=f（2a-x）关于点（a，b）对称；

（5）函数y=f（x）与函数y=f-1（x）关于直线y=x对称.

本题通过观察所给函数特征，知函数g（x）与f（x）关于点对称，故找到新的求解思路.

运用函数关于点对称解此题时需要弄清如下两个问题.

问题1：设函数f1（x）与函数f（x）关于点（0，0）对称，函数f2（x）与函数f（x）关于点（a，0）对称，则函数f1（x）与函数f2（x）图像的关系如下所示.

结论：当a>0时，将函数f1（x）向右平移2a个单位与f2（x）重合；当a<0时，将函数f1（x）向右平移2|a|个单位与f2（x）重合.

问题2：函数f1（x）与函数f（x）关于点（0，0）对称，函数f2（x）与函数f（x）关于点（0，b）对称，则函数f1（x）与函数f2（x）图像的关系如下所示.

结论：当b>0时，将函数f1（x）向上平移2b个单位与f2（x）重合；当b<0时，将函数f1（x）向下平移2|b|个单位与f2（x）重合.

另外，在应用函数的对称性解题时还要弄清两个函数的对称性与一个函数自身的对称性的区别.

变式1：两函数关于y轴对称的应用例1（2014年高考湖南）已知函数（fx）（x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）.

解析：依题意，设存在P（-m，n）在f（x）的图像上，则Q（m，n）在g（x）的图像上，则有m2＋e-m-1＝m2＋ln（m＋a），2解得即，可得

评析：已知两函数存在关于y轴对称的点，故将其中的一个函数沿y轴对称后与另外一个函数的图像有交点，从而将问题简化.

变式2：两函数关于直线的对称性的应用

例2下列区间中，函数f（x）＝|ln（2-x）|在其上为增函数的是（）.

解析：由两函数的对称性易知函数f（x）＝ln（2-x）与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称，再将y=ln（2-x）在x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得函数f（x）＝|ln（2-x）|的图像（如图3所示）.

由图像易知当1≤x＜2时，f（x）＝|ln（2-x）|是增函数；当x≤1时，f（x）＝|ln（2-x）|是减函数.故答案为D.

评析：充分把握所求函数与我们所熟悉的函数y= lnx的关系，即两函数关于直线x=1对称，从而利用图像直观得出函数的单调区间.

变式3：互为反函数的两函数的对称性的应用

例3如图4，函数y=lnx与边长为e（e为自然对数的底数）的正方形所围成的阴影的面积为________.

解析：因为函数y＝lnx的图像与函数y＝ex的图像关于正方形的对角线所在直线y＝x对称，则所求面积为：

评析：互为反函数的两函数图像关于直线y=x对称，求一个函数的反函数时，将x与y互换即可，如对于y=ex，将x与y互换，即x=ey，得y=lnx，即为y=ex的反函数.本题中欲直接求y=lnx的原函数y=xlnx-x较为抽象，利用函数的对称性将问题转化为其反函数y=ex与正方形围成的面积问题，进而简洁求解.

例4（2015年高考全国卷）设函数y＝f（x）的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝-x对称，且f（-2）＋f（-4）＝1，则a＝（）.

A.-1B.1C.2D.4

解析：设A（x，y）是曲线y＝f（x）上的动点，它关于直线y＝-x的对称点是B（-y，-x），可得点B在曲线y＝2x＋a上，所以-x=2-y+a，即y=a-log2（-x），所以f（x）=a-log2（-x）.

再由f（-2）＋f（-4）＝1，可得a＝2.故答案为C.

总之，利用函数的对称性解题时，要准确识别变换的类型，充分把握在对称变换过程中的变与不变，进而快速、准确解题.A