问题引领让概念生成更灵动——“用二分法求方程的近似解”课堂实录及反思

☉江苏省锡东高级中学 叶琳

问题引领让概念生成更灵动
——“用二分法求方程的近似解”课堂实录及反思

☉江苏省锡东高级中学 叶琳

概念是对事物的本质认识，是逻辑思维最基本的形式.数学概念是数学教学的核心，学生对概念的理解水平关乎着数学学习的理解，很多学生畏惧数学缘于对数学概念的不理解.实际教学过程中，教师往往侧重于概念的应用性，而忽视概念的整体性和本质教学.建构主义认为，概念教学不在于概念的本身，而是在于概念的建构过程和学生的思维创造.本文以“用二分法求方程的近似解”一节课对概念的生成教学谈谈自己肤浅的认识，以求教于同行.

一、游戏导入，创境激趣

师：大家都看过《幸运52》中猜商品价格的游戏，下面我们一起来玩玩猜数字这个游戏，如果让你来猜这个两位数，你如何猜？

生1：先随便填入一个两位数，如果大了再每次减少10.

生2：这样太慢了，随便填入一个两位数，如果大了，再报一个数；如果低了，就报两个数的和的一半；每次猜的数字应该是前面最近的大的数字和小的数字的和的一半.

师：两个同学的方法哪个更好？

生众：生2的好.

师：对！这个方法在我们数学上有没有理论依据？我们有没有学过和这个方法类似的知识？

生3：好像和我们学过的函数的零点存在性定理有点儿联系，但是不确定.

师：我们知道，游戏中的正确数字就在一次“大了”和一次“小了”的数字之间，就像我们刚刚学过的函数和方程的内容：如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且f（a）f（b）<0，那么一定存在c∈（a，b），使得f（c）=0，也就是说方程f（x）=0的根一定在区间［a，b］上.这个猜数字的思想就是二分法的思想，这个方法可以给我们提供一个解方程的思路：每次把方程的根（游戏中的正确数字）所在的区间缩小一半，最后确定方程的近似解.

今天我们就用这种方法来求方程的近似解.

二、合作学习，探索新知

师：请同学们思考一下你会求哪些类型的方程的解.生（齐声）：一次方程、二次方程.

生4：随便举个方程x2+3x-1=0，它的根是

师：结合前面学习的知识，一元二次方程的根可以和一元二次函数的图像结合在一起，方程的根就是函数的图像与x轴的交点.（用几何画板作出y=x2+3x-1的图像，标注交点，用几何图形的形象、直观加深学生的印象）

师：对于三次方程，我们会求它的根吗？把刚才的方程改改，解方程x3+3x-1=0.请同学们思考能不能求出其精确值，可以同桌讨论.

（学生活动几分钟后，表示不能解决问题）

师：我们的前辈们在求解方程的解的问题上，很早就进行了研究和探索，一元二次方程的根是由方程系数直接把根表示出来，这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出，一元三次方程的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”，但是公式很复杂，老师也记不住，不是我们常用的公式.要求三次方程的解是比较困难的，那么我们能否求出它的近似解呢？请同学们利用计算器来求方程x3+3x-1的一个近似解（精确到0.1），同桌之间可以两人一组，讨论研究.

（学生活动5分钟，老师巡视）

师：请一个学生说说思路.

生5：我的想法是令f（x）=x3+3x-1，算出f（1）=3，说明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，说明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，说明根比0.8还小，继续做下去，我还没有算出来.

师：大家觉得她的方法可行吗？

（学生思考了片刻，有的回答可以，就是过程繁了点儿）

师：该同学的想法很好，一直做下去一定能解出正确答案，这个思想就是我们数学中的逐步逼近的思想，同学们在思考问题的过程中要大胆创新，勇于发表自己的看法，我们为该同学的解法鼓掌.

（学生鼓掌）

师：下面给大家一点儿时间，我们按照这个思路来解出答案，请同桌之间合作，一个负责记录，另一个用计算器计算.

（5分钟后）

师：同学们有答案了吗？

生众：0.3.

师：很好！！同学们真厉害，自己也能解出三次方程的根了，下面我们就来小结一下，刚才这位同学这种解法的原理是什么？思想方法是什么？我们还请她起来说好吗？

生5：我是利用等价转化的思想，想把方程的根问题转化为函数的零点问题，通过计算器逐步缩小根，再利用零点存在性定理确定根.

师：回答的很好，思维很缜密，以后好好努力，肯定能有大的收获！下面我们一起来小结这种方法的原理和知识点.

师：如何求方程的近似解？

①方程f（x）=0有实根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点.

②零点存在定理：如果函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.

师：同学们在刚才处理这个问题的过程中，有没有发现什么问题？或者说有没有什么疑惑？

（学生沉默片刻）

师：刚才她为什么要先算f（1）？为什么开始不是取f（2）或者f（3）？

生6：开始时取f（2）、f（3）或者随便取哪一个值都是一样的，在后面的计算过程中还是要缩小范围的.

师：对！以后我们碰到类似的问题时，初始值怎么取呢？有一般的方法吗？请同学们思考：零点的初始区间如何确定？

生5：画出函数的图像来确定.（该学生在受到师生的表扬和鼓励后，思维很活跃）

师：很好，真的太棒了.老师用几何画板画出图像，大家一起看一下.（几何画板演示函数的图像）从图像上看一目了然，函数的零点在哪个区间？

学生异口同声：在（0，1）内.

师：老师打个很形象的比喻，这个初始区间就像是公安人员破案时要先确定嫌疑人范围，不能漫无目的地去找，图像就能帮助我们很直观地解决问题，但是图像不是万能的，不是所有的函数都能画出图像的，我们能否不画图确定根所在的区间呢？

生5：像我刚才那样去取值代入，用零点存在性定理确定区间.

师：很好，零点存在性定理能够很好地帮我们确定初始区间，这样我们可以通过图像或者试值来确定初始区间.

师：同学们都能积极地思考，下面我们来讨论刚才的方程x3+3x-1=0的近似解的问题，题目要求精确到0.1，生5是从1开始试值再每次减少0.1，可以通过数次运算得到答案，这很好，但是如果我把问题变成：精确到0.01呢？同学们看看刚才生5的逐步减少的方法还能奏效吗？

生7（苦笑）：可以的，就是太烦了，不知道要减少到什么时候才是尽头.

师：我们来想想办法，如何进一步有效缩小根所在的区间？

生8：可以的，就像开始猜数字一样，用“对半猜”的思想，每次缩小一半，可以省力.

师（笑）：不是“对半猜”的思想，是二分法的思想，他说的很好，我们可以利用二分法的思想，以及零点存在性定理，每次将区间缩小一半，这样过程就简化了，老师来演示给大家看.（运用几何画板演示）

第一次，f（0）<0，f（1）>0，f（0.5）>0⇒x∈（0，0.5）；

第二次，f（0）<0，f（0.5）>0，f（0.25）<0⇒x∈（0.25，0.5）；

第三次，f（0.5）>0，f（0.25）<0，f（0.375）>0⇒x∈（0.25，0.375）；

第四次，f（0.25）<0，f（0.375）>0，f（0.3125）<0⇒x∈（0.3125，0.375）；

第五次，f（0.375）>0，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0⇒x∈（0.3125，0.34375）；

第六次，f（0.3125）<0，f（0.34375）>0，f（0.328125）>0⇒x∈（0.3125，0.328125）；

第七次，f（0.3125）<0，f（0.328125）>0，f（0.3203125）< 0⇒x∈（0.3203125，0.328125）；

第八次，f（0.328125）>0，f（0.3203125）<0，f（0.32421875）>0⇒x∈（0.3203125，0.32421875）.

师：请同学们根据以上的数据回答，该方程的解精确到0.1，我们只要缩小区间几次就能够达到？

生9：5次，x∈（0.3125，0.4375），x=0.3.

师：该方程的解精确到0.01，我们只要缩小区间几次就能够达到？

生10：8次，x∈（0.3203125，0.32421875），x=0.32.

师：很好，那么函数零点的精确度如何达到？

生11：方程的解的近似解为两端点的近似值——即左、右两端点的近似值相等.

三、归纳小结，反馈回授

师：下面我们来小结，将我们已有的知识进一步科学化，什么是二分法，如何描述？

对于在区间［a，b］上连续不断，且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点（或对应方程的根）近似解的方法叫做二分法.体现了程序化的思想即算法思想.

师：算法是必修3里的内容，像这样“有步骤、程序化”是算法思想的重要特征，我们会在后面学习.

师：用二分法求零点近似值的步骤是什么？

（师生共同小结）

（1）利用图像法或试值法，寻找确定近似解所在的区间.

（3）计算f（x1）.

①若f（x1）=0，则x0=x1；

②若f（a）f（x1）<0，则令b=x1（此时x0∈（a，x1）），若f（b）f（x1）<0，则令a=x1（此时x0∈（x1，b））.

（4）判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似解；若未达到，则重复步骤（2）～（4）.

师：二分法在实际生活中有着很广泛的应用，你知道吗？

（联系实际，学生热情高涨）

生12：幸运52猜商品价格.

生13：查字典.

师：很好，还有像电路检测啊等，希望同学们能把我们学到的知识应用到实际生活中去，为社会做出自己的贡献.

师：以上是我们本节课所学到的新的知识和方法，请同学们再总结一下，本节课还运用到了哪些数学思想方法？

师生共同小结：等价转化的思想：方程解的问题→函数的零点问题→逼近问题→缩小区间问题→二分法.

师：最后用一段话与同学们共勉：M.克莱因说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作.音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能扣人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学却能提供以上的一切.”这也就是数学独特的魅力所在.

四、教学反思

《普通高中数学课程标准》要求能“根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法”，用二分法求方程的近似解这节课很好地利用了探究式教学方式，体现了以学生为主体的教学理念，本节课体现探究的情景性、主动性、建构性和合作性，本节课做了积极尝试，表现出了以下特点.

1.以问题驱动为出发点，激发学生的探究欲望

“标准”中强调：学生在数学学习过程中，要为其提供丰富多彩的生活背景，让学生充分感受，真正体现书本数学向生活数学的转变.概念的生成应该基于感性，发展理性，遵循从具体到抽象的原则.在本节课中，老师让学生玩猜数字游戏，一下子就把学生的注意力吸引住了，学生积极思考并进行探究试验分析，只要利用“对半猜”的思想，每次都将所给的范围一分为二，逐步逼近真实数字，这样可以很快猜到.学生在猜的过程中体会二分法思想，同时教师引导学生一起提了二分法在现实生活中的各种应用.通过这样来创设情境，从学生的感性经验出发，通过典型的具体实例抽象概括出概念的本质属性.这样的设计打破了传统课堂沉闷、枯燥的定义，丰富的情境对学生产生很强的吸引力，同时让学生在游戏中得到了数学思想的启示，必定能使学生对二分法的认识和理解留下深刻印象.

2.以学生学习为立足点，重视概念探究过程

在本节课中，在应用二分法探求三次方程近似解的过程中，学生经历了作图观察、范围估计、运算推断等活动.怎样缩小零点所在区间的范围是本节课的一个重点内容，解决这个问题需要复杂的计算过程，复杂的计算影响了学生对这一重点内容的理解，教师采用了多媒体展示，在学生观察的基础上，让学生思考精确度如何达到，二分法的次数如何确定，抽象归纳用二分法求方程近似解的一般步骤.经过这个探究活动，就会让学生真正懂得二分法在求方程近似解中的应用，不过，教师在设计探究活动时，要注意：活动的趣味性；活动的难度；活动的目的性；活动的开放性和时效性，不能为了活动而活动.

3.以自然生成为生长点，促进概念深层探究

如在本节课中，老师介绍了方程的发展史，复习给出了一元二次方程的求根公式，展示了一元三次方程的求根公式，非常复杂，并说老师也记不住，让一个学生任意给出一个一元三次方程加以思考.在让学生通过自主探究、合作交流之后，有位女生的思路是：通过计算器计算出f（1）=3，说明方程的根比1小，再算f（0.9）=2.429，说明根比0.9小，再算f（0.8）=1.912，说明根比0.8还小，继续做下去，能够计算出近似解，这位学生一说完，笔者就对她的这种独特的算法进行了夸奖，同时还让其他学生为她鼓掌.经过这一评价，学生们的积极性可高了，大多数学生都从中受到启发，立即动手用计数器演算起来，而这位女生在后来也多次举手发表自己的见解，俨然成了本节课的主角.这样看来，只要我们教师在课堂上把握住激励性评价的时机，就会激起更多学生的探究欲望，激发出他们的潜能来.不过，教师在考虑评价的激励作用时，也要注意“激励”要有度，评价要有助于学生认识到数学有趣、有用和亲切的一面，使他们在数学学习的过程中逐步对数学产生积极的情感与态度.

4.以思想方法为落脚点，深入理解概念本质

概念的形成是由具体到抽象的过程，而概念的应用是由抽象到具体，也是巩固概念的有效途径.学生利用所学的概念来解决实际问题，可以加深对概念的掌握.本节课中探索方程x3+3x-1=0的近似解的问题，笔者利用几何画板画出函数的图像，有利于学生直观观察函数零点的大致范围，利用计算器进行了7次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了探究活动的有效性.借助几何画板动态显示这个实数解的范围逐步缩小的过程，非常直观、逼真.整个案例都以几何画板为课件制作的平台，界面活泼，操作简单，充分体现了信息技术与数学课程的有机整合.

数学概念的学习不是一蹴而就的，是一个循环往复、螺旋上升的过程，数学概念的教学应该建立在学生认知的基础之上，在学生的最近发展区设计问题，才能使学生的概念学习水到渠成.在课堂教学中，应给学生实实在在的探究空间，放手让学生去自主探究，培养学生的创新精神和实践能力，留给学生呈现自己想法和观点的机会，让他们担当课堂的主角，这才是课堂的成功.

1.冯善状，李伟.关注一节课的四个“度”——以“三角函数的图像和性质（1）”为例［J］.中学数学教学参考（上），2015（3）.

2.叶文建.对概念生成教学的认识——“曲线与方程”教学引出的思考［J］.中小学数学，2009（1-2）.

3.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A