以根为本开枝散叶——浅谈复习教学中的试题研究

☉江苏省无锡市青山高级中学潘苏琴

以根为本开枝散叶
——浅谈复习教学中的试题研究

☉江苏省无锡市青山高级中学潘苏琴

数学复习教学的核心是指导学生如何解题．从每年高考试卷来看，要解决的热点和难点问题基本没有变化，因此需要高三复习教学做得更有针对性．如何体现这一针对性？笔者以为，复习教学需要完成三方面的教学设计：其一是基本知识和基本技能的储备：没有扎实的基础如何解决高难度的问题？有些教师常常让学生训练难题、怪题，却从不对基础的知识进行讲解、分析和巩固，这种教学方式是在“沙滩上建高楼（张奠宙语）”，非常危险；其二是注重知识之间的整合运用，有了单一知识点的熟练，可以加强知识综合使用的能力；其三是思想方法在解题中的运用，可以这么说，没有思想方法的引领有些问题解决起来非常困难，当你将知识和思想高度结合在一起时，对于知识的使用更具备了一定的方向性和导向性，问题的解决也来得更为便捷一些．

一、以根为本

数学知识的根在于数学的基础知识和基本技能，根植于基础之上的解题是有发展的、能发展的，高三复习教学注重对核心知识进行以根为本的发散是有必要的．

（2）设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

（3）设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

（2）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，，所以2≤z≤29．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的几何意义是可行域上的点到点（－3，2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（－3，2）的距离中，dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝8，所以16≤z≤64．

说明：（1）本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法；（2）解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义；（3）本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．以上三种不同的目标函数问题是线性规划问题的基本处理，即线性规划问题的“根”．

变式：（2012年江苏卷第14题）已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________．

分析：以题根为本，对本题进行稍加分析即可获得思路．本题是多元问题，其中涉及三个元a，b，c，最终问题只需研究a，b两元之间的关系．考虑到需要降元处理，因此本题条件的两组不等关系中，两边同除以c，即将条件转化为，利用整体换元将代入，则有最后问题转换为利用线性规划进行解决．

说明：从江苏卷考查的线性规划来看，本题属于稍难题，难在哪里呢？主要是涉及两个方面：其一是转化化归思想的渗透，如何将三元问题转化为能进一步实施的二元问题，这里转化化归思想起到了主导作用，在想到了转换的方式之后，问题转变为利用整体思想换元和数形结合思想来处理；其二，问题的“根”隐藏在例1中的第（1）题中，将问题转换为斜率来处理是基本知识和基本技能．

二、开枝散叶

在掌握基本知识和基本技能的基础上，需要教师将数学知识传授得更深刻、更广泛，此时笔者认为需要教师对“根”进行开枝散叶．

例2已知a·b=0，向量c满足（c－a）·（c－b）=0，|a－b|= 5，|a－c|=3，则a·c的最大值为_________．

分析：向量问题往往是学生比较惧怕的，笔者以为向量小题多是以“小、巧、灵”著称，其主要考查的是平面向量基本定理、向量数量积等．这几年的向量问题并没有过于复杂的运算，因此思维的考查和培养成为解决向量问题的关键，而且教学中要开枝散叶——多解尝试，给予学生更多的解决思路．

读题：根据题中条件，笔者给学生思考本题，学生中比较多的想法是将问题代数化，即：

尝试：这种想法是很自然也是很必要的一种尝试，在一般情况下也是很凑效的，但作为稍难的客观题而言，上述的代数化处理还未能找到最妙的突破口，我们仔细分析一下我们的解题，在此结论中，虽然出现了我们所要求的a·c，但由于同时还涉及|a|，|b|，|c|，b与c的夹角这些未知数，因此无法求得a·c，而且代数化明显计算量较大，因此选择从向量的“根”出发，即图形化和思维角度入手．

精读：引导学生对于本题进行再思考、再精读，“a·b=0”、“（c－a）·（c－b）=0”向我们提供了一个重要的信息：垂直，利用这种垂直关系可以找到本题的图形特征——圆，因此根据题意构造图3．

寻根：我们再结合问题进行寻根——问题之根：a· c=|a|·|c|cosθ=（x1，y1）（x2，y2）.

定法：根据求向量数量积的两种不同形式，自然能想到求解此题的两种方法：几何法、解析法（方法之根）；只要我们准确找到了题根，破题在即，跃然纸上，利用多解性的方式将问题给予呈现也成为了开枝散叶、提高思路的一种方式．

开枝1：关注到有条件a·b=0和（ca）·（c－b）=0，也就是存在两个垂直关系，因此引导学生想到此题中应该蕴含着典型的几何图形，由此可借助于这两个垂直关系去构造图形．如图4，令向量，则由a·b=0和（c－a）·（c－b）=0，可得∠AOB=∠ACB=90°，因此可得四边形OACB为圆的内接四边形，AB=|a－b|=5为圆的直径，CA=|a－c|=3，BC= |b－c|=4．记a与c的夹角为θ，在圆中，由θ=∠AOC=∠ABC，可知cosθ=cos由条件|a－c|=3平方可得a2+c2－ 2a·c=9．则|a·|c||≥2|a|·|c|，可得．所以a·c=|a|·|c|cos

开枝2：又注意到题中出现了a－c及a·c，因此结合a+c便可得到此三者之间的一恒等关系：［（a+c）2－（a－c）2］［（a+c）2－9］．对于a+c，可在△OAC中，取AC的中点为M（如图5），则a+c=因此，要求a·c的最大值，只需求的最大值即可．在圆中，由于AC=3，所以当OM经过圆心时取得最大值．可得，|（a+c）|=9．所max以，代入可得a·c的最大值为

开枝3：由于向量具有坐标表示及运算，根据题干条件有两个垂直关系，因此，可自然想到通过建立直角坐标系，利用坐标进行求解．对于题中所给出的两组垂直，由于OA、OB的长度未知，而CB=4，CA=3，因此可以选择以C为坐标原点，以CB、CA为x轴和y轴，建立直角坐标系更为合理，如图6．因为，这样更容易得到A，B点的坐标．根据长度可得C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB为圆的直径，所以可知圆心坐标为），则通过三角代换可设点O）．因此，得），所以10cosα，因此，可得a·c∈［－2，18］．

总之，复习教学中的试题如何研究是高三复习教学的关键．就上述问题而言，笔者认为问题不在于多而在于精，高考题恰是基本知识之上的一种能力体现，其中有扎实的基本功和数学思想的指导将大大提高问题解决的可能性，如例1；对于问题进行多角度开枝散叶式的思考，有助于思维的全面性，如例2．因此，教学中加强试题教学的研究是高三复习教学的关键．F