打破定势，追求灵动*——由高考数学命题“吐槽”引发的思考

☉广东省兴宁市第一中学 何永坚

打破定势，追求灵动*
——由高考数学命题“吐槽”引发的思考

☉广东省兴宁市第一中学 何永坚

“说好圆锥曲线第一题会让学生做出来的？说好数列有什么错位相减、有裂项？立体几何歪成这样，出卷老师心术不正”“数学突破历史枷锁，成功击败江苏”……上面是学生对于2015年高考浙江数学的“吐槽”，言辞中透露出学生对试卷命题的强烈不满.与之相反，各路专家却纷纷表示：“各省市高考数学试卷文理科题型均无偏题怪题”“低起点、宽入口、多层次、区分好”……为什么学生的感受跟专家的观点如此大相径庭呢？

一、“变化”挑战解题思维

笔者认为，跟往年相比，试卷难度虽然变化不大，但试卷结构与题型跟学生的预期出入较大，从而影响了考生发挥.

1.试卷结构的变化让学生“水土不服”

选择题由原先的10题变为8题.选择题数量的减少，使得难度重心前移，造成学生容易拿分的题目少了两题.填空题虽然依旧7题，但分值由原先的28分增加到现在的36分；难度也相应增加，由原先的1题1空，变为现在的1题多空，尤其在本次高考中，最后1题竟然有3个空，这在历次模拟考试中从未出现过.解答题依旧5题，但出乎意料的是，本次考试中解答题的排列顺序发生了改变.原本以为函数会作为压轴题出现，理应放在最后两题，但在考试中却放在了第3题.这个变化看似“细微”，但对学生来说影响巨大.因为在平时的复习中，函数解答题难度普遍较高，迫使多数学生采取放弃或者部分放弃的态度来消极应对，导致学生在函数解答题上产生了心理暗示：“函数解答题都很难”.本次考试，函数解答题的难度虽然不是很高，但受心理暗示的消极影响，很多学生还是没有拿到分数，从而导致“保3争2”的解答题得分计划提前破产.

2.解题套路的变化让学生“有劲儿使不出”

经过系统的复习，学生已经形成了比较完善的解题思维体系，掌握了比较多的解题套路.但本次考试中，部分题目的解题方法和技巧却超出了学生固有的思维，常规的方法失效，让学生感到有劲使不出.

例1（2015年浙江理7）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）.

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

分析：解决本题最常规的方法是利用换元法求出函数f（x）的解析式，但这些函数的解析式学生会求吗？比如，f（sin2x）=x2+x，如果要求其解析式，就需要用到反三角函数，但反三角函数早已被剔除出教材.

例2（2015年浙江理8）如图1，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则（）.

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≤α

分析：直接解这道题目，要先用几何法作出相应角，然后进行定量计算，最后比较大小，计算量不是一般的大.

例3（2015年浙江理15）已知e1、e2是空间单位向量，，若空间向量b满足，且对于任意x、y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0、y0∈R），则x0=_________，y0=_________，|b|=_________.

分析：由|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0、y0∈R），可知：|b-（xe1+ye2）|min=1，在x=x0、y=y0时取到.

可得|b-（xe1+ye2）|2=|b|2+x2+y2+xy-4x-5y，要求|b-（xe1+ye2）|min，需要求得x2+y2+xy-4x-5y的最小值，而求x2+ y2+xy-4x-5y的最小值难倒了很多学生.

例4（2015年浙江理18）已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间［-1，1］上的最大值.

（Ⅰ）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（Ⅱ）当a、b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值.

分析：本题是以二次函数为载体，集函数的单调性与最值、分段函数、不等式的性质及含参绝对值于一体的综合性问题.从题目给出的条件看是含参的二次函数的最值问题，从所求结论看是含绝对值的参数最值问题，而这两类问题向来是学生的软肋.

二、“思维定势”导致思维僵化

或许上面所说的“变化”对于某些专家、教师而言根本不算什么困难，只需保持良好的心态，在解题思路上稍作改进或者变换问题即可迎刃而解，但对于饱受解题“思维定势”影响的学生来说，这些“变化”就成了不可逾越的障碍.思维定势是指影响和决定同类后继心理活动的趋势或形成心理活动的准备状态.即按一种固定的思路去考虑问题，表现出思维的方向.思维定势是把“双刃剑”，具有“正负”两方面的效应.经过漫长的高考复习与解题训练，一方面学生掌握了大量的解题方法与套路，当学生遇到类似的问题时，马上能够想到对应的解题方法，思维定势起到的是促进作用，此时产生的是正效应；另一方面，当要解决的问题与熟知的解题方法不配套时，思维定势就会干扰和阻碍解题思路的发现和重建，此时就产生了负效应.在高三复习中，为了追求学生在解题能力上的“速成”，教师往往把各种题目、解题方法先进行归纳整理、分门别类，然后通过大量练习使学生得以掌握和巩固.如此，思维定势所产生的“负效应”也就更加严重，最直接的后果就是思维僵化，使得学生在解题中，只会生搬硬套，而不会灵活运用，更不会创新优化.

三、打破定势，追求灵动

综上所知，思维定势的负效应会使学生丧失思维的灵动性，而不当的高三复习模式会进一步强化思维定势的负效应，因此，打破思维定势，消除思维定势的负效应迫在眉睫.在教学中，教师固然要帮助学生总结规律、提炼方法，但更要注重知识的发生、发展过程，在复习中要从头激活已学过的各个知识点，并适当深入一点儿，要以清晰的线索重新构建合理的知识结构，对含糊不清的地方多一些思考和研究性练习与探究，对产生的错误要究根问底，要反思感悟，回到正确的认知上来.在复习解题时，首先应从基本方法上去探索，而不是死用公式，死记结论；再者，还要思考能否用特殊技巧来完成，要养成多一手准备的解题习惯.对于每一种方法，要深入思考它的适用范围，思考它的推广发展，尽可能多地找出它在不同模块问题中的应用题型，即举一反三.只有如此，才能打破思维定势，构建灵动思维，从而真正提高学生的解题能力.

例1破解之策：回归定义，赋值排除

根据函数的定义，对于任意x，都有唯一的f（x）与之对应.因此不妨取特殊值代入，逐一排除. A选项：（fsin2x）=sinx.当sin2x=0时，x=0或，得f（sin2x）=sinx=0或1，这显然不符合函数的定义.同理B选项f（sin2x）=x2+x也不符合定义.

C选项：f（x2+1）=|x+1|.当x2+1=2时，x=±1，得f（x2+1）= |x+1|=0或2，也不合函数的定义.

只能选D.令x2+2x=t，则所以（ft）.也就是说D选项的函数解析式能够求出，并且唯一.

例2破解之策：动手操作，直观判断

本题的背景源于折纸，不妨按照题目的要求动手折一遍，很容易发现正确的答案为B.

例3破解之策：几何助力，方程求解

如果直接求x2+y2+xy-4x-5的最小值，需要采用配方法.

当且仅当y=2，x=1，即y0=2，x0=1时取到最小值-7，从而解得

上述配方技巧要求较高，估计学生很难想到.由于题目中涉及了向量加减法、数量积、模、夹角等运算，不妨从向量运算的几何意义寻找问题的突破口.

如图2所示，根据向量加减法的几何意义，当且仅当b-（xe1+ye2）垂直e1、e2所在的平面时，b-（xe1+ye2）取到最小值1，即|BM|=1，易求得|BA1|2=因为，在△A1OB、△A2OB、△OMB中，分别根据余弦定理与勾股定理可得：

例4破解之策：性质铺路，化繁为简

本题（Ⅰ）相对简单，难就难在（Ⅱ）上.

方法1：绝对值不等式的性质.

根据绝对值三角不等式可知|a|+|b|≥|a±b|，而本题要求|a|+|b|的最大值，因此要考虑不等式取等号的情况.我们知道，当ab≥0时，|a|+|b|=|a+b|，当ab≤0时，|a|+|b|= |a-b|，本题就利用绝对值不等式取到等号的条件将|a|+ |b|转化为|a±b|，再根据已知条件解之.

当a=±2、b=-1时，|a|+|b|=3，且|x2±2x-1|在［-1，1］上的最大值为2，即M（±2，-1）=2.

所以|a|+|b|的最大值为3.

方法2：二次函数的性质.

二次函数在闭区间上的最值具有“端点效应”，而函数|f（x）|=|x2+ax+b|的图像是由函数f（x）=x2+ax+b位于x轴下方的图像沿x轴翻折后与其上方的部分组成.因此对含绝对值的二次函数起决定作用的关键点除了端点和顶点，还有与坐标轴的交点、极值点、分界点等.对于本题，只要抓住关键点（端点、顶点、与y轴的交点），应用分类讨论思想，就能使问题得到较大的简化.

（1）当0≤b≤1时，|a|+|b|≤2+1=3.

所以|a|+|b|的最大值为3.

上述例题的解法尽管是在学生原有解题思路上的升级与优化，但是若没有灵动的数学思维，这些解题思路是很难获得的.A

*课题项目：广东省教育科学规划课题“高中数学生态课堂教学模式的实践与研究”（课题编号：2015YQJK253）.