各种粒子方程及其可能的发展和意义

张 一 方

(云南大学 物理系，云南 昆明 650091)

0 引 言

各种方程的研究在粒子物理中始终是一个重要问题.Jain 等讨论了背景场的运动方程、顶点算符Virasoro 条件下显现的对顶点函数的波方程和弯曲空间中的弦动力学［1］.Hayward 得到从弦理论的低能考虑呈现出的二维模型，及超光速快子(tachyon)等的方程和相应的特解［2］.Niz 等讨论了宇宙演化中的弦和M理论及其方程［3］.笔者基于微观的波动－粒子的二象对称性，把各种波动的物理量代入经典力学方程，得到力学波动论;进而提出量子理论中的一些新算符和非线性方程［4］.在探讨微观相对论的基础上，又提出极小时空的光速应存在统计起伏，而且在高维柱形卷曲空间中光速是可变的和量子化的.由此讨论修改、发展相对论和量子论的可能的某些方法，并提出存在势和相互作用时几种新的量子力学方程［5］.最近笔者探讨了粒子物理中的各种统一.它们包括相互作用统一和规范场，场、粒子及其方程的统一，低高能时的统一，统一和非线性理论的关系等.并提出它们也许可以统一到统计性［6］.基于粒子的动力学模型及其拉氏量和方程，进行了某些更深入的研究和应用.它可以联系于袋模型;方程的解联系于各种势;其简化的振动－转动模型和谐振子模型等导致各种质量公式.由此可以讨论强子的某些质量公式，并提出动力学模型可能的发展方向［7］.

已知的Schrodinger 方程、Dirac 方程和Klein－Gordon(KG)方程等在粒子物理中都是非常重要和非常基本的.它们可以由拉氏密度得到［8］.在此讨论由这些方程彼此结合得到的某些新方程.量子力学的基础是波粒二象性［9］，对其简化的各种振动提出相应的方程.由对称性破缺时的方程及其推广，讨论各种解.进而探讨粒子方程及其解，以及和混沌的关系.

1 已知的粒子方程及彼此结合得到的方程

粒子物理中各种已知的方程都可以由拉氏密度得到.拉氏密度是［10］:

由此得到有势的标量场KG 方程:

对QCD，非Abel 场的拉氏密度是［10］:

由此可以得到有相互作用的旋量场Dirac 方程和矢量场Proca 方程.对一维拓扑孤子方程积分得U=(β/4)［φ2－(m2/β)］2，U=0，φ=是Higgs 理论.G.’tHooft SO(3)规范不变的拉氏密度是［10］:

目前的Dirac 方程，KG 方程等都是自由粒子且质量不变的一阶、二阶方程.它们应是基态粒子(e，p 及π介子)的方程.两种方程结合就是新的方程:

相应的Schrodinger 方程是:

推广为四维就是

这可以结合动力学破缺，得到［9］

或者结合Higgs 破缺，得到［9］

由此又联系于动力学模型，导致GMO 质量公式及其修改的完全符合实验的更精确的质量公式［9，11，12］:

最近笔者由一般的具有振动和转动两种运动状态的突现弦(emergence string)方程就可以得到粒子的GMO质量公式及(6)，并导致对称的强子寿命公式［12］.由QCD 破缺的动力学模型可以得到质量公式，由Weinberg－Salam 理论或其破缺应该得到轻子质量公式.

2 由振动得到的粒子方程

由量子力学基础的波粒二象性［9］，最简单时就联系于振动.强迫非简谐振子是

这个方程有混沌解.无强迫项b=0 时，如果k=0 就是化为常微分的Higgs 方程.如果x″=0 就是化为常微分的Heisenberg 统一方程［13］.x″≠0 和k≠0 则类似化为常微分的非线性Dirac 方程的平方:

的第一项.

有一般场(g=e 时是电磁场)时，广义动量为

相应方程为:

这是KG 场与一般场相互作用的方程.Pauli 由此导出自旋磁矩.

方程(5)(6)(7)(18)类似阻尼波方程.与(18)比较则

此时解为

这是减幅波动.这也许可以联系于质量可变，特别当方程(5)(7)中β 修改为随时间变化的量时.进而还可以结合非线性方程.当阻尼很大时，振动非周期，就无法显示波动性.受迫振动、阻尼振动在一段时间后达到稳定就是谐振动，质量不变相应于衰变后化为基态粒子.

3 对称性破缺的方程及其推广和各种解

由Higgs 破缺，Aμ=0，由标量场方程(11)得扭子解

在动力学模型、振动－转动模型(ORM)［9，7］中描述衰变、碰撞.对这些方程，能级就是质量公式［9，12］.假定解对应S 矩阵，二者分别相应于方程和Feynman 规则，二者结合，解的平方就相应于跃迁几率.跃迁不同，系数不同就分别是衰变宽度和碰撞截面.

方程及解中引入跃迁可以结合统计方程的意义，其中有几率跃迁和衰变的动力学基础，或二者再结合.对后者，衰变是自由粒子方程［9］，碰撞是相互作用方程，末态由x=∑mf/∑Mi决定，又x=cosθ=pz/p，即球体是初态球，z 方向是末态.p－pz=纯动量就是x－y 平面，这与Dalitz 图有关.

简单的φ－ψ 耦合场方程为:

它们化为常微分方程组是

二者结合得高阶方程:

如果作为偏微分方程组化为高阶方程则是:

这是一类新的三阶非线性常微分及偏微分方程.与笔者的统计方程形式［14］有类似处.M=0 是中微子等，方程化为

m=0 是Goldstone 粒子，方程化为

其解是φ=Ce2ax+(M/a)和φ=ax+b.

对动力学破缺，

作为玻色子场，规范场、矢量场是改变其他场的pμ;而标量场是改变其他场的质量，其相互作用都可化为等价于附加质量.如φ－ψ 相互作用

φ－Aμ相互作用

这类似Higgs 标量场导致其他矢量介子、轻子获得质量.此外，各种场的自相互作用都可化为附加质量.SU(2)、SU(3)的规范理论、方程也如此.作为费米子旋量场总是成对出现珔ψψ，并导致其他场(φ，Aμ)的流J.

这类似重整化.自由粒子的裸m0与相互作用粒子的质量不相同.而m0不论各量如何改变都不变，这也是一种群.类似Lorentz 群中的ds2不变及重整化群.

4 各种其他的粒子方程

Weyl 的中微子方程是二分量方程［8］

它可以描述宇称不守恒.这推广到m≠0 的方程，根据空时对称性，应可以类似构成时间反演不成立的方程，否则时空此时不对称.m=0 及m≠0 的方程，可能也是二分量方程，仅矩阵σ 不同.由此再反之推广到狭义、广义相对论等.最后方程统一为Weyl 方程，表明此时宇称P 不守恒，或对称的时间反演(宙称)不成立.进一步，把GL(m，C)，SU(N)，SO(N)等各种群都推广到时间反演不成立的群、半群等.时间反演不成立的结果可以有若干种，但最后所取的形式应结合宙称不成立的粒子是有演化方向(如衰变)的粒子，特别是K0L.

Langevin 方程

与Boltzmann 微积分方程

其最后一项是非线性项，形式相似.而Boltzmann 方程描述了趋向平衡的过程.达到平衡时.如果结合量子力学Heisenberg－Liouville 方程

则平衡时方程化为

对应量子力学和Maxwell－Boltzmann(MB)分布、Γ 分布.非平衡时，非线性的Dirac 方程，解为

对应Fermi－Dirac 统计［9］.方程对应有非线性项的Langevin 方程和Heisenberg－Liouville 方程的推广.非线性KG 方程对应于Bose－Einstein(BE)统计.量子统计也是平衡态.解f=A/(eαt+n)，则方程为

n≠0 对应量子统计(n=±1)，非线性项.此时非线性方程与非线性的量子力学方程相关，仅仅f=|ψ|2=分布.如果df/dt=［f，H］+Q=－α'f，则α'=α(1－nf/A).

由有相互作用项j 的场方程

可得费米子iγμpμ+μ=j/ψ，玻色子=－m2+J/φ(Jμ/Aμ)，所以费米子重整化质量平方为μ2+(j/ψ)2－2μj/ψ，玻色子m2－J/φ 与相互作用有关.如φ－ψ 场［8］，

非线性方程对应于相互作用和有势场.而QCD，动力学模型就联系于很多非线性方程.如:1)Higgs 破缺标量场，并发展为KdV 推广方程;还直接导致立方KG、Dirac 方程等.2)QCD，无破缺时导致立方Schrodinger方程.3)Hirota 方程是立方Schrodinger 和KdV 方程的结合.4)Boussinesq 方程类似Sine－Gorden 方程，有相互作用.而例子1).3).4).又都对应导数耦合.

QCD，ψ－Aμ方程包括立方Schrodinger 方程，其可化为

对应KdV 推广方程及Higgs 方程［16］.

5 粒子方程的解和混沌

由线性及非线性Dirac 方程等可以得到离散解.目前量子力学中是能级离散.对Yang－Mills 规范场、广义相对论方程、GL(6，C)及各种统一方程都应该如此.

非线性方程的随机解，不断分岔可以用于高能多重产生、级联簇射、统计性等粒子物理领域［23，9］.方程解普适，对应于多重产生等的普适、简并，即对各种粒子都成立，并且高能时统计性统一［11］.这可能还与重整化、发散的普适性有关.此时参数λ 相当于阈值.一定的λ 才有不动点x*(对应粒子)及其稳定性，p 点周期等.λ→λ∞对应于高能.λ＜λ∞有2n个稳定的不动点，Henon 变换的奇异吸引中心，可能对应于衰变和级联簇射.非线性方程组对应Dirac 耦合方程.Dirac 方程用孤子方法化为常微分方程是

由此就可以联系于混沌方程.以质量m 为参数λ，m→α－1=λ0=0.3995 可能对应u，d 夸克－部分子的质量1.7－3.3 MeV 和4.1－5.8 MeV［24］.由此讨论非线性Higgs 方程等的叠加及混沌解.或者以Higgs 场或其m 为参数λ.这时可能已经不是非线性映象了.

轫致辐射、电磁簇射(与物质相互作用，e－→e－γ，γ→e+e－)都是二分叉.光子能量εγ＜2mec2时簇射停止，这相当于参数λ.但是一般量子方程中无这参数.宇宙线超高能粒子与原子核碰撞的广延大气簇射，粒子数可达1012个.电磁簇射都是电磁相互作用及其旋量场、矢量场的方程组.n→∞对应于高能极限，泛函方程类似标度律.vW2趋于常数约为1/3，近似于λ0.

联系于重整化群方程的Callan 等的标度性，类似Feigenbaum 泛函方程

KNO 标度，Dao 标度都是高能时的结果.相应的Pearson 方程是线性的，符合泛函方程.

粒子与混沌的关系可能是，稳定性条件1＜λ＜3，与三个夸克，分数夸克电荷(1/3，2/3)，粒子三代等有关.一个粒子可以三分岔为夸克，或四分岔为(u，d，s，c)等等.而能量特大时，多分岔为砂子(sandon)［9］.这就是非线性方程统计性混沌解与粒子的多层次－状态模型(MSSM)的关系［9］.如果

是三分岔，则是非线性方程，Heisenberg 统一方程［13］，其与SU(3)对称性方程一致，导致高能(阈λ→λ∞)或小距离(λ=1/r→1/r0)时是三夸克、砂子及统计性.分岔可以是衰变，级联衰变.如1→2→3 是二体衰变(粒子或夸克对)再化为三夸克等;或者1→3→2 是三夸克又衰变为二体等等.混沌理论的普适性此时和粒子种类无关，即与方程无关.这与重整化，标度性等对应，特别是标度因子.它也说明超高能时统计混沌的很多性质都是独立的，这正好对应于统计性.0＜λ＜1 时=0 是稳定不动点，对应真空基态;=1－(1/λ)是不稳定的不动点，对应不稳定粒子，如μ，π 等;1＜λ＜3 时是不稳定不动点，对应真空自发破缺是稳定不动点，对应p，n 等;而λ ≧1 时真空开始自发破缺.

非线性方程由混沌达到定态.在变化的时间内很复杂，由统计性决定.这相应于粒子和奇点的关系:稳定奇点(或焦点)对应稳定粒子(如v.e，p).不稳定结点对应亚稳定粒子.

按照一般的非线性理论，各种非线性量子理论中都应该有孤子和混沌.QCD、超对称性等都是非线性的，其中应该有混沌.高能时一方面是统一［11］，另一方面是混沌，而混沌也是一种统一［9］.笔者提出某些非线性方程具有孤子和混沌双解，二者成立的条件不同，某些参数是某个常数时得到孤子，而这些参数在一定区域变化时出现分岔－混沌.这种双解可能对应于量子理论中的波－粒二象性，并探讨了其在数学、物理、粒子理论及神经系统中可能存在的新的意义［25，26］.

量子混沌必须非线性量子理论［9，27，28］.这可能应该推广混沌概念本身.量子混沌主要是n＞58，59 的高激发态.此时的混沌应联系于Pauli 不相容的可能破缺［29］.混沌就是轨道随机不分明，出现混沌也就开始相容.但轨道电子原来已是统计性的电子云，这与混沌应该存在关系.更一般，研究量子论中的与混沌不相容的各个方面.这样如果发现混沌则它们就不成立.如果高激发态原子混沌则相容［9，30］，这样粒子内部混沌也应相容.结合超对称性，还可以引入超混沌(hyperchaos).

总之，基于已知理论和方法，探讨新的方程及其解，并用于粒子物理，必然是有意义的.

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