关于单形稳定性的几何不等式的改进

陈 士 龙

(安徽广播影视职业技术学院 基础教学部，安徽 合肥 230011)

0 引言

几何不等式的稳定性也称为稳定性版本，这个概念在上世纪80年代后才得到系统研究，其理论和方法被广泛应用体视学、机器人中的几何探索和仿晶学等领域.文献［1－5］中对几何不等式的稳定性概念给出了准确的描述.即指在一些含有等号的几何不等式中，当其中的几何体为某种特殊的几何体或其中几何体相似时取等号.假设某几何体使得不等式与相等时相差很小，那么此几何体与去等号的特殊几何体的“偏差”也很小.比如在平面上凸体K 的等周不等式

当且仅当凸体K 为圆时取等号.其中P(K)与A(K)分别为凸体K 的周长与面积.假设对ε＞0，如果

能否断定存在圆B，使得在某种“偏差”度量g(K，B)下，有

这里f(ε)是满足当ε→0 时，f(ε)→0 的非负实函数.若存在某种“偏差”度量，使得当(2)成立时必有式(3)成立，则称式(1)是稳定的，否则是不稳定的.

在不等式(1)中，存在圆盘B，K 与B 间的Hausdorff 度量为δ(K，B)，使得对任给实数ε＞0，当

时，有

若在(2)式中，令ε=(P(K))2－4πA(K)，便得到(1)式的一种加强形式

此时把不等式(5)称为不等式(1)的一个稳定性版本.

设n 维欧氏空间En中的n 维单形Ωn的顶点集为{A1，A2，…，An+1}，它的棱长为aij=|AiAj|(1≤i＜j≤n+1)，有时也用表示单形的各个棱长，V 表示单形的体积，R 和r 分别表示n 维单形Ωn的外接球半径和内切球半径，Fi(i=1，2，…，n+1)表示单形顶点Ai所对的侧面(n－1 维单形)的n－1维体积(面积).

设K 为n 维欧氏空间En中的有界凸体，对En中每个单位向量μ，凸体K 的一对与μ 垂直的支撑超平面之间的距离记为τ(K，μ)，令

称W(K)为凸体K 的宽度［6］.

Sallee 与1974年提出这样的一个猜想:内接已知超球面的所有单形中，正则单形具有最大的宽度.Alexander 于1977年证明了这一个猜想，获得如下的定量结果［6］:

在En中，n 维单形Ωn的宽度W(Ωn)与外接球面半径R 之间成立不等式

当Ωn为正则单形时等号成立，其中

n 维单形Ωn的宽度W(Ωn)与体积V 之间成立不等式

当单形Ωn为正则单形时等号成立.上式即为著名的单形宽度的杨－张不等式.

1 主要结果

定理 设n 维单形Ωn的(n－1)－偏正度量为，则对任意的ε＞0，当

时，有

或不等式(6)的一个稳定性版本

显然不等式(10)是对不等式(6)的一种推广.其中，

2 引理及引理的证明

为了证明上节中的几个定理，需要引用下面几个引理和定义，

定义1［8］设n 维欧氏空间En中n 维单形Ωn的棱长为是棱长为的正则单形，则单形Ωn的“偏正”度量定义为

更一般的，可对上面的定义进行推广，则n 维单形Ωn的“k－偏正”度量为

其中Vi(k)(i=1，2，…，μn，k)是单形Ωn的k 维子单形的k 维体积

引理1［7］对n 维欧氏空间En中n 维单形Ωn的顶点集A={A1，A2，…，An+1}的每个非空真子集S，En中必存在一定向超平面H，使SAH，且A 中各点到H 的带号距离都相等，若以v 表示H 的单位法向量，这个带号距离就是τ(Ωn，v).令I={1，2，…，n+1}，θm表示I 的一切m 元子集所组成的集合，即:θm={σ|σI，|σ|=m}于是单形Ωn的顶点集A 的每一个子集Aσ，可以和I 的一个子集σ 对应Aσ={Sσ|α ∈σ，σI}，当1≤|σ|≤n 时，由引理1 可知存在定向超平面Hσ，使得Aσ中的一切点到Hσ的带号距离都相等，若以vσ表示Hσ的单位法向量，记

引理2［7］对n 维欧氏空间En中n 维单形Ωn，有

引理3［7］对n 维欧氏空间En中n 维单形Ωn，记，则

引理4［9］对n 维欧氏空间En中n 维单形Ωn，有

等号成立当且仅当n 维单形Ωn维正则单形.

定理的证明:对一切σ ∈θm，计算的算术平均值为，由引理3 得，

由单形宽度的定义可知

由不等式(20)和(21)得

由代数恒等式

结合不等式(18)、(22)、(23)可得式(10).由推导过程可知当且仅当n 维单形Ωn为正则单形时等号成立.

由著名的Euler 不等式R≥nr 知，式(11)推广了文［11］中的结论:在定理的条件下，成立

其中:

［1］Minkowski H.Volume und oberflache［J］.Math.Ann.，1903，57:447－495.

［2］Bonnesen.Probl emes des Isop im de Piphanes［M］.Paris:Gauthier－Villars，1929.

［3］Goodey P R，Groemer H.Stability results for first order projection bodies［J］.Poc.Amer.Math.Soc.，1990，109:1103－1114.

［4］Gardner R J，Vaddallo S.Stability inequalities in the dual Brun－Minkowski theory［J］.J.Math.Anal.and Appl.，1999，231:568－587.

［5］Grmer H.Stability properties of geometric inequalities［J］.Amer.Math，Monthly，1990，97:382－394.

［6］Alexander R.The width and diameter of a simplex［J］.Geometriate Dedicata，1997，6(1):87－94

［7］杨路，张景中.度量方程应用于Sallee 猜想［J］.数学学报，1983，26(4):488－493.

［8］马统一.Veljan－Korchmaros’不等式的稳定性［J］.数学年刊，2008，29A(3):399－412.

［9］杨世国.关于内接单形的一个几何不等式［J］.数学杂志，2003，23(2):218－220.

［10］冷岗送，唐立华.再论Pedoe 不等式的高维推广及应用［J］.数学学报，1997，40(1):14－21.

［11］杨世国，等.关于单形几个几何不等式的稳定性［J］.浙江大学学报，2012，39(1):12－17.