利用BS方程研究由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态

2017-05-09翁铭华

赤峰学院学报·自然科学版 2017年7期

关键词：夸克介子激发态

翁铭华

（闽江学院物理学与电子信息工程系，福建福州 350108）

利用BS方程研究由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态

翁铭华

（闽江学院物理学与电子信息工程系，福建福州 350108）

在重夸克极限下建立由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS方程并求解得到相应的双夸克的第一激发态的质量.

BS方程；粲夸克；重夸克极限

近年来人们已经在实验上寻找并发现含有两个粲夸克的重子[1-4].随着大型强子对撞机LHC的运行，将进行更高能量的对撞实验必将会给人们提供更多关于高能区域的新物理现象.我们将获得更多的含有两个粲夸克的重子的激发态的信息.由此，迫切需要对含有两个粲夸克的重子的激发态的相关性质的理论研究.

90年代初发展起来的重夸克有效理论是适用于重夸克质量可看做趋于无穷大的体系[5,6].例如：由一重一轻两个夸克构成的介子体系，以及由一个重夸克和两个轻夸克构成的重子体系.对于由一重一轻两个夸克构成的介子体系，重夸克与轻夸克之间传递的能量小小于重夸克的质量，从而对重夸克的动量没有影响.对于由一个重夸克和两个轻夸克构成的重子，两个轻夸克可以看作一个整体，即先构成轻的双夸克，再与重夸克相互作用形成重子.由于重夸克的质量相对于重轻体系之间传递的能量来说可视为无穷大，所以重夸克的速度可以看作是恒定的.由一重一轻两个夸克构成的介子体系，以及由一个重夸克和两个轻夸克构成的重子体系，重夸克与轻的部分的相互作用与重夸克的自旋和质量无关.重夸克有效理论所具有的重夸克的对称性，是重夸克极限下的新的对称性，适用于研究一些非微扰的现象.

在重夸克有效理论的框架下，由两个粲夸克与一个轻夸克构成的重子可以看做由两个部分组成：由两个粲夸克构成的重的双夸克和一个轻夸克[7].我们可以想象，由两个粲夸克构成的重的双夸克由于质量非常大，那么对应的双夸克的半径就很小，可以近似于点粒子考虑.这也是为何我们采用由两个粲夸克构成的重的双夸克模型而不是由一重一轻两个夸克构成的双夸克模型.且在重夸克极限下，由两个粲夸克构成的重的双夸克带有颜色，并且具有味道和自旋的对称性.如需做更进一步的研究可以将两种情况的双夸克模型同时考虑进来，这将是下一步的工作.在重夸克有效理论的框架下，我们采用了由两个粲夸克构成的双夸克图像，关于由两个粲夸克与一个轻夸克构成的重子的复杂的三体问题就被简化为二体问题，在理论处理上带来极大的便利.

Bethe-Salpeter(BS)方程是在相对论情况下用于描述两粒子束缚态的方程，在非相对论极限下可转化为薛定谔方程.采用BS方程研究粒子体系，可以将相对论效应的贡献考虑进来，这一点BS方程优于薛定谔方程.但是，BS方程的求解要比薛定谔方程复杂许多.于是通常在建立BS方程的过程中，采用各种各样的方法以简化求解，如wick转动等.在我们的模型中，我们采用重夸克极限的近似.由于粲夸克的质量相对于轻夸克是非常大的，所以将粲夸克质量看做无穷大是合理的.在此近似下，重夸克的传播子的形式可以得到简化.同时，我们对BS方程的相互作用核采用了瞬时近似.在瞬时近似下，两个粲夸克之间传递的四动量被简化为三动量，忽略了能量传递的部分.由于粲夸克的质量非常大，可以认为大大于他们之间传递的能量，所以瞬时近似在研究两个粲夸克构成的双夸克系统是合理的.

由泡利不相容原理，两个粲夸克为味道相同的夸克，构成的双夸克的第一激发态的总的自旋角动量量子数与总的轨道角动量量子数之和必须为奇数.于是，由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的总的轨道角动量量子数1，总的自旋角动量量子数只能为0，构成总的角动量量子数为1[8].由此可以定义两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS波函数如下：

其中ψ为粲夸克波函数，x1,x2为空间坐标，i,j,k为颜色指标，α,β为自旋指标,PD为双夸克的动量,p为两个粲夸克之间的相对动量，X=(x1+x2)/2为双夸克的质心坐标，x=x1-x2为两个夸克之间的相对坐标.方程(1)分别给出了由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS波函数在坐标空间和动量空间的定义以及两者之间的傅里叶变换关系.在实际求解过程中，大多采用的是BS波函数在动量空间的定义式.我们之后的计算均在动量空间进行.

对于由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态，BS方程在动量空间的表达式可写为如下形式：

其中S(p1)和S(p2)分别两个粲夸克的传播子，将采用重夸克极限下的形式，K(1g)和K(cf)为两个粲夸克之间的相互作用核中的单胶子交换项和标量禁闭项，将采用瞬时近似.两个粲夸克之间的相互作用核的形式来源于由一个重夸克和一个轻夸克构成的介子体系的势模型.虽然这是非相对论的势模型，但是由于我们采用的是BS方程的方法研究体系，所以得到的结果包含部分的相对论效应.且单胶子交换和标量禁闭这两种相互作用已成功的应用于由一个重夸克和一个轻夸克构成的介子体系.

两个粲夸克之间的相互作用核中的单胶子交换项和标量禁闭项K(1g)和K(cf)在瞬时近似下可以分别写为如下形式[9]：

其中αs和k分别为单胶子交换项和标量禁闭项的耦合常数，pt为两个粲夸克之间的相对动量沿双夸克动量PD投影的横向分量，K(cf)中的第二项是为了消除红外奇点而引入，μ为无穷小量为了消除数值计算出现的发散而引入.由于采用了瞬时近似，相互作用核中的两个粲夸克之间的相对动量沿双夸克动量PD投影的纵向分量，即两个粲夸克之间传递的能量已经被忽略，这将使得BS方程从四维化简为三维.

两个粲夸克的传播子S(p1)和S(p2)在重夸克极限下可以分别写为如下形式：

其中mc为粲夸克的质量，mD为两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的质量，vD=vDμγμ为两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的速度与γ矩阵的点积，，pl为两个粲夸克之间的相对动量沿双夸克动量PD投影的纵向分量，ε为无穷小量为消除数值计算中出现的发散而引入.

另一方面，由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS波函数由洛伦兹变换性质考虑应为轴矢量.于是由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS波函数的参数化形式可以按照轴矢量的洛伦兹形式展开.同时考虑到在重夸克极限下，由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS方程将对BS波函数提供附加的约束条件.经过计算，由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS波函数可化简为如下参数化形式：

将方程(3-7)代入方程(2)可得到：

将方程(8)离散化，可以得到关于f～(pt)的本征方程.从实验选取三个输入参数：粲夸克质量mc=1.486GeV，来自重夸克偶素的拟合[10];粲夸克之间的相互作用核的参数αs=0.4，k=0.18，来源于重介子谱的实验[11].利用逆迭代法求解方程(8)得到由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的质量mD=3.68GeV.

为了研究由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态，构建了由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的BS方程并求解出相应的双夸克的第一激发态的质量.两个粲夸克之间的相互作用核采用单胶子交换和标量禁闭两种类型，此相互作用核的形式已被成功应用于由一个重夸克和一个轻夸克构成的介子系统的研究.BS方程最初是在闵氏时空建立的，但是这给求解方程带来很大的困难.我们对粲夸克传播子采用重夸克极限的近似并在相互作用核中采用瞬时近似，使得方程的求解简化.因为粲夸克质量很大，所以采用重夸克极限近似是合理的.因为两个粲夸克之间交换的能量相对于粲夸克质量来说非常小，所以我们所用的瞬时近似是合理的.通过求解离散化之后的BS方程，得到由两个粲夸克构成的双夸克的第一激发态的质量为3.68GeV.

B工厂预期会得到一万个关于含两个粲夸克的重重子的事件.预期LHC会得到更多关于含两个粲夸克的重重子的事件.含两个粲夸克的重重子在重夸克极限以及双夸克图像下，可以看作是由两个粲夸克构成的双夸克与一个轻夸克相互作用形成.因此我们的结果将对研究含两个粲夸克的重重子的性质有重要意义.下一步的工作将研究由两个粲夸克构成的双夸克的高阶激发态的性质.

〔1〕M.Mattsonet al.(SELEX Collaboration),Phys.Rev.Lett.89,112001(2002).

〔2〕A.Ocherashviliet al.(SELEX Collaboration), Phys.Lett.B 628,18(2005).

〔3〕R.Chistovetal.(Belle Collaboration),Phys.Rev.Lett.97,162001(2006).

〔4〕B.Aubertet al.(BABAR Collaboration),Phys.Rev.D74,011103(2006).

〔5〕M.J.White and M.J.Savage,Phys.Lett.B271, 410(1991).

〔6〕M.A.Sanchis-Lozano,Nucl.Phys.B271,440 (1995).

〔7〕M.Anselmino,P.Kroll,and B.Pire,Z.Phys.C36,89(1987).

〔8〕S.S.Gershtein,V.V.Kiselev,A.K.Likhoded, and A.I.Onishchenko, Phys.Rev.D62, 054021(2000).

〔9〕C.-H.Chang,J.-K.Chen,and G.-L.Wang, Commun.Theor.Phys.44,646(2005).

〔10〕S.S.Gershtein,V.V.Kiselev,A.K.Likhoded, and A.I.Onishchenko,Phys.Rev.D62, 054021(2000).

〔11〕E.Eichten,K.Gottfried,T.Kinoshita,K.D.Lane,and T.-M.Yan,Phys.Rev.D17, 3090(1978).

O572.33