质疑与追问 增强学生思维的缜密性

朱耀峰

教学内容：“分类计数”问题（适合“长方体和正方体”单元结束时使用）。

教学目标：通过活动，帮助学生积累由特殊到一般、寻找规律解决问题的数学经验；进一步培养学生的空间想象力，培养学生探究数学奥秘的兴趣；掌握分类计数的方法以解决相关问题。

教学设想：借助课件直观，将学生的探究活动不断引向深入，通过不完全归纳引导学生把握问题的共性进而发现规律、获得一般性结论；教学中要尽可能地让学生自己发现规律、表述规律，教师只能在学生确有困难时给予适当指引；通过穷尽列举完善分类，让学生养成及时验证结论的学习习惯；通过质疑与追问，提升学生思维品质的严密性。

教学过程：

一、谈话导入

课前，我们通过魔方认知了三面涂色、两面涂色、一面涂色的相关情况，谁能说说在魔方中三面涂色、两面涂色、一面涂色的部件分别处在魔方的什么位置？能不能通过旋转把魔方中三面涂色的部分移到两面涂色或一面涂色的位置？（不能。）看来三面涂色、两面涂色、一面涂色的位置是确定的。

今天，我们就来一起探究跟表面涂色有关的计数问题。板书：“分类计数”。课件出示：

把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64个大小相同的小正方体（如图）。

（1）三面涂色的小正方体有多少个？

（2）两面涂色的小正方体有多少个？

（3）一面涂色的小正方体有多少个？

设计意图：没有先研究棱长为3的正方体再研究棱长为4的正方体，主要出发点是棱长为3的正方体比较特殊，两面涂色的每条棱上只有1个，一面涂色的每个面上只有1个，六面都没涂色的也只有1个，不具有一般性；而棱长为4的正方体更具一般性，便于探究规律。

二、引导探究

1.棱长为4的正方体

（1）三面涂色的小正方体有多少个？

启发：处在什么位置上的小正方体才会是三面被涂色的？其中有几个是能看到的？而不能看到的又有几个？说说不能看到的那些小正方体在什么位置？（课件变色能看到7个顶点上的小正方体。）再闭上眼睛想一想：三面涂色的小正方体在什么位置？有几个？记住它们所在的位置。

（2）两面涂色的小正方体有多少个？

启发引导（与三面涂色基本同，略），思考：这个数据该通过怎样的计算获得？（课件变色能看到的9条棱上的每条棱上2个小正方体。）引导学生得出2×12=24。

（3）一面涂色的小正方体有多少个？

启发引导（与三面涂色基本同，略），思考：这个数据该通过怎样的计算获得？（课件变色能看到的3个面上的每个面上的4个小正方体。）引导学生得出2×12=24。

（4）追问：六个面都没有涂色的小正方体有多少个？

启发：这样的小正方体处在什么位置？它的个数该如何计算？（引导学生想象：将大正方体剥去一层皮，得到的该是什么情况？）引导学生得出：六个面都没有涂色的小正方体在大正方体的中间，而非表面。有两种算法：64-8-24-24=8（个）或2×2×2=8（个），这两种方法可以相互印证。

（5）操作教具（验证学生的发现）。

①将处在顶层的4个顶点上的4个小正方体从教具中取下，让学生见证“三面涂色”。

②将处在非底层的8条棱上的16个小正方体取下，让学生明确计算方法、见证“两面涂色”。同时追问学生：还有两面涂色的小正方体在哪里？

③取出其中5个一面涂色的小正方体，让学生明确计算方法、见证“一面涂色”。

④呈现“六个面都没涂色”的小正方体（由8个小正方体组成的棱长为2的正方体）。

⑤将最底层的小正方体按类归位，验证计数的结果及计算方法。

（6）填表。

将正方体的棱长、各种正方体的个数及计算方法填入活动记录表中。并引发思考：计算所需的数据与原正方体的棱长有什么关系？

设计意图：要求学生能够准确表达出不能看到的三面涂色、两面涂色、一面涂色及六个面都没有涂色的小正方体的位置，是想通过学生的准确表达从而在头脑中建立表象。再闭上眼睛想一想，再次建立初步的表象。计算方法的探究主要是为找到通式的规律作铺垫，实物教具的操作更是为了让学生在头脑中建立清晰的表象。活动记录表的填写，主要是通过比较与归纳，从而找到此类问题的规律，获取解决问题的一般方法，积累数学活动经验。

2.棱长为3的正方体

学生自主完成，将探究结果填在活动记录表中。完成后指名汇报交流。

3.棱长分别为5、6、10的正方体

学生自主完成，将探究结果填在活动记录表中。

小组内交流自己的发现。

投影呈现学生的活动记录表。

通过课件形象呈现，印证学生的结论。

引导学生初步发现正方体表面涂色问题的一般规律。

设计意图：将棱长为4的正方体作为重点进行教学，棱长为3、5、6、10的正方体用于进一步强化认识及新建立的概念，通过比较归纳发现正方体表面涂色的一般规律。课件呈现主要是为了让学生头脑中的概念表象更清晰。

4.棱长为a的正方体木块

让学生通过小组合作，在观察分析前面5种正方体表面涂色的相关数据，发现规律得出结论：三面涂色：8个；两面涂色：（a-2）×12（个）；一面涂色：（a-2）2×6（个）；六个面都没涂色的：（a-2）3（个）。完成活动记录表。

设计意图：将探究的内容由有具体长度的正方体推进到用字母表示的抽象的正方体，也将刚刚获得的有关正方体表面涂色的新认知由特殊推向一般，发现规律得出结论，丰富和积累了学生学习数学和解决问题的经验。

5.长7、宽5、高4的长方体endprint

课件呈现：将一个长为7厘米、宽为5厘米、高为4厘米的长方体木块表面涂色后切成棱长为1厘米的小正方体，结果会怎样？

在学生充分自主探究的基础上小组合作完成，将探究结果填在活动记录表中。

在学生充分交流的基础上，通过实物教具的操作形象化展示与印证学生的探究结果。

设计意图：将探究的内容由正方体推进到长方体，进一步地将刚刚获得并得到强化的认知由特殊再次推向一般。不仅丰富了学生学习数学和解决问题的经验，更能让学生体会到长、正方体之间的密切关系。而圆柱、圆锥、棱锥、棱台、圆台等立体实物都不具备这样的特征。实物教具的操作，验证学生的结论、方法，进一步建立表象形成认知。

6.由特殊到一般（课件出示）

一个长方体木块，长a、宽b、高c（a、b、c都为大于或等于2的整数），把它的表面涂上红色后，再将其分割成边长为1的小正方体。（1）三面涂色的小正方体有多少个？（2）两面涂色的小正方体有多少个？（3）一面涂色的小正方体有多少个？（4）六个面都没涂色的小正方体有多少个？

（引导学生观察前面的活动数据，从而发现每一个结果与正方体的棱长或长方体的长宽高之间的关联度。）

设计意图：将探究的内容由正方体扩展到长方体、再由具体数据推向抽象的字母，使所探究的内容进一步贴近知识本质和概念的内涵，丰满学生的数学知识和认识经验，让学生对所学内容有了系统的建模，从而形成准确的概念认知。

三、质疑追问

1.应用

一个长为8厘米、宽为6厘米、高为3厘米的长方体木块，将其表面涂成红色后再分割成棱长为1厘米的小正方体。提出问题并解答，并将结果填在活动记录表中。

设计意图：从给图形到不给图形，全凭学生在头脑中构图，旨在培养学生的空间想象能力。

2.质疑

（1）为什么此前一题中“a、b、c都为大于或等于2的整数”？

（2）分割成的小正方体会不会出现有4个面涂色的？

3.追问

如果是将长方体表面涂色再切成小正方体，会不会出现4个面涂色的小正方体呢？（引发学生的讨论、辩论、争论。）课件出示10×1×1的长方体。

设计意图：当教学活动进行到获得一般规律与结论时，很多老师往往是组织一些练习用于巩固新的认知。但对于长方体表面涂色问题还有很多“特殊情况”需要进行深度探究。通过质疑及追问再次让学生的认知“从一般到特殊”，甚至是“特殊中的特殊”，居然出现了四面涂色的小正方体，更出现了五面涂色的小正方体。让学生见证数学的奇妙！似在意料之外，即在意料之中！有效培养了学生思维的缜密性。

四、深度探究

将下列长方体表面涂色后再切割成棱长为1的小正方体，得到的小正方体中：（1）三面涂色的小正方体有多少个？（2）两面涂色的小正方体有多少个？（3）一面涂色的小正方体有多少个？六个面都没涂色的小正方体有多少个？

1.4×3×2 2.3×2×2

3.2×2×2 4.3×2×1

5.2×2×1 6.2×1×1

7.3×1×1 8.4×3×1

设计意图：这一环节是在学生获得有关长、正方体表面涂色问题的一般认知的基础上，通过“穷尽”的列举，将长、正方体表面涂色问题不断引向深入，使学生的知识结构与认知体系更丰满、更繁茂，认知领域的“知识树”根基更稳固，将探究发现的“一般规律”灵活运用，做到“具体问题具体分析”。

本节课的教学，先是在正方体体系内由一般到特殊，由具体到抽象，让学生探究发现正方体表面涂色问题的一般规律。然后由正方体表面涂色这一特殊情况推向长方体表面涂色的一般情况，让学生将有关正方体表面涂色的认识迁移到长方体表面涂色的认知中，实现了从特殊到一般的飞跃，再将具体的长方体推向抽象的用字母表示长宽高的长方体，引导学生得出有关长方体表面涂色问题的一般规律。在似乎“万事大吉”的情况下，又进行了深度探究，不仅实现了“从一般到特殊”，更完成了“从特殊到特殊”。让学生一次又一次地深陷探究的“漩涡”中，在一次又一次的“看到彼岸”的欣喜中，不断收获“柳暗花明”，练就缜密的思维。endprint