让学生在探索中找到图形覆盖现象的规律

刘映娟

案例背景

几年前，我执教了苏教版数学五年级下册的《图形覆盖现象的规律》。教材是让学生通过解决在数表里框出几个数，找到几个不同的和来发现图形覆盖现象中的规律，并运用规律解决连号的参观券或座位等实际问题，感受数学与生活的密切联系，培养学生乐于思考、勇于探索的精神。每次教学都很顺利，学生能用圈划、连线、列举等多种办法找到规律。每次都能在有限的40分钟里完成教学任务，内容饱满、环节紧凑，层层递进，学生热情高涨、思维活跃，表达清晰。然而在顺利的同时我也疑惑，图形覆盖现象的规律如此简单，教学的真正意义在哪里？但每次都是一闪而过，教学依旧“画葫芦”。直到2014年6月，我参加了如皋的“南通市小学数学高效课堂教学”专题研讨活动，听了万老师的《找规律》，结合自己的教学经验，才有了恍然大悟之感。

案例描述

（一）课前游戏，激趣质疑

今天，老师想和同学们玩个“手指找朋友”的游戏。伸出右手，能说出手指的名称吗？（小指，无名指，中指，食指、大拇指）我们再来为手指找相邻的好朋友好吗？

分析：课前玩手指游戏，不仅调动了学生参与课堂的热情，更为新课的学习作好了思维上的铺垫。手指游戏普通、方便、有趣，学生在找的过程中，有序地找到四种，分别是小指和无名指、无名指和中指、中指和食指、食指和大拇指。

（二）创设情境，发现问题

1.展示生活小现象

（1）小强的妈妈想在4月上旬（1～10日）连续休假2天，可以是哪两天？

（2）小明和妈妈一起看电影，放映厅第8排有10个座位，妈妈可以买哪两张？

（3）10位小朋友在舞台小合唱，灯光师每次可以给2位小演员打灯光，可能是哪两位？

导学单一：

（1）选择你喜欢的一种现象研究一下，并说说你是用什么方法找到答案的？

（2）思考：这三个不同的生活现象中，隐藏着什么相同的秘密？

2.分工合作，展示交流

预设一：（1）文字列举：一号二号、三号四号、五号六号、七号八号、九号十号。补充：还有二号和三号、四号和五号、六号和七号、八号和九号（一共9种拿法）。

预设二：数字列举：1～2、2～3、3～4、4～5、5～6、6～7、7～8、8～9、9～10。

教师评价：想到用数字来表示，看起来方便多了，比文字列举更进一步。

预设三：画图连线：

[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

教师追问：你觉得在连线时怎样才能做到不重复不遗漏？（依次、有序）

通过交流展示，孩子们找到了圈划、列举、连线等多种方法，并发现这3个生活现象都是从总数里每次拿相邻的两个数，求一共有几种不同的拿法。

分析：教材上呈现的例题对学生来说比较枯燥，学生会根据要求找规律，但不知为何找？找了有何用？运用这3个常见的生活小现象，让学生觉得新知与这些小现象有关，可以激发学生的探索需要。学生通过合作交流，发现找到答案的方法还是很多的。预设的几种情况都在学生中产生了，这些原生态的方法是课堂的真实体现，令人欣慰。

（三）提出问题，初步感知

1.合作交流，展示新法

师：像这样的数学现象，我们还可以研究些什么呢？

导学单二：

（1）教师示范：每次拿相邻的3个数，可以有几种不同的拿法？同时解释：像这样，每次框住相邻的3个数，称为一种拿法，我们把它叫作平移法。

（2）把1号、2号、3号框住，框住的这次不算，猜一猜：还可以往后平移几次？

（3）为什么平移7次，却得到8种不同的拿法？

小组活动，展示交流。

2.回忆反思，沟通方法

师：刚才研究拿相邻的2个数所用的方法中，是不是也有这样的平移？

3.观察比较，提出猜想

师：对比两次研究结果，你有什么想法？这是偶然的巧合还是必然的联系呢？仅凭两个例子下结论为时尚早，怎么办呢？

分析：简单明了的示范点拨、语言说明，让学生的探究有了明确的指向性。本次小组活动，在导学单的引领下，更体现其数学价值、本质内涵，这样的设计对学生的建模有着积极的意义。

（四）合作探究，发现规律

1.再移再比，深入探究

师：如果拿相邻的4个数，需要平移几次？可以得到几种不同的拿法？拿相邻的5个数呢？

学生再次独立操作，合作交流，发现规律。（完成表格）

师追问：为什么“总数-框住的个数=平移的次数”？平移的次数+1=不同拿法的种数？

2.迁移规律，概括算法

师：刚才研究的总数都是10，如果把总数变一变，还会有这样的规律吗？

（1）如果总数是15，拿相邻的3个数，5个数呢？

（2）如果总数是500，拿相邻的10个数呢？

（3）如果总数是m，每次拿相邻的n个数，有多少种不同的拿法呢？

分析：在独立操作、合作交流中，学生发现总数、每次拿的个数、平移的次数和不同的拿法之间的关系，从而得出用计算的方法来解决问题更为简单。通过老师的一再追问，把学生的思维不断引向深入，学生在不断的探索、交流中感知规律，在潜移默化中掌握规律，在自我反思中理解规律。

（五）走进生活，活用规律

1.基本练习

（1）这是小红设计的一条花边。

每次给相邻的2个方格盖上红色的透明纸，一共有多少种不同的盖法？每次盖3个方格呢？5个呢？

（2）有15张天文台参观券。要拿6张连号的券，一共有多少种不同的拿法？endprint

（3）王叔叔在一家外企上班，他每个月有4天的连续休假。5月份，王叔叔准备用这4天休假出去旅游，你认为王叔叔在安排日程时有几种情况？

2.变式练习

（1）礼堂里一排有8个座位。小芳、小英是孪生姐妹，要让她俩坐在一起，并且小芳在小英的右边。在同一排有多少种不同的坐法？

（2）礼堂里一排有8个座位。小芳、小英是孪生姐妹，要让她俩坐在一起。在同一排有多少种不同的坐法？

（3）有一张8人座的圆形餐桌，小芳、小英是孪生姐妹，要让她俩坐在一起，并且小芳在小英的右边，共有多少种不同的坐法？（建议画图试一试）

3.拓展练习

用形如“□□□”的长方形横放，去框日历卡的日期数。每次同时框出3个数，一共可以框出多少个不同的和？

分析：练习设计分三层：第一层次是计算方法的运用，由条件齐全的到总数未知的；第二层次是对比练习，通过不同情况的观察分析，找到条件之间的异同点，深化对规律的理解和运用；第三层次是拓展练习，需要考虑多行的求和，为下节课的教学内容作延伸。

案例反思

仔细研读教材，《图形覆盖现象的规律》的教学主要是想让学生知道规律是什么，是怎样探索出来的，能解决生活中的哪些问题。因此，我们需要创设一定的生活情境，让学生知道规律在生活中有着较为广泛的运用。我们更需要让学生在“找”上做文章，培养他们的合作意识和探究能力。

（一）创设生活情境，让学生的学习更有亲近感

创设情境是数学教学中常用的一种策略，有利于提高学生的学习兴趣，激发探求新知的欲望。课前的“玩手指”游戏，让学生在快乐的活动中感知相邻的真正含义。接下来的三个小例子，更让学生亲近生活中的覆盖现象。从课堂反映来看，学生是热情的，展示的方法是多样的，有的举实例，有的用数字替代，有的用圈画找答案，这些原生态的方式是课堂的真实再现，学生为自己找到了结果而高兴，为解决了生活的实际问题而开心。然而，这些情境的设计，是老师观察生活、研究学生、深读教材的结晶。

（二）引领数学问题，让学生的研究更有方向感

学生的探索能力主要体现在面对新的现象或问题有主动的应对策略，快速而有效地发现给定现象中隐藏的规律或者解决问题的办法。因此课堂教学中，老师需适时进行问题引领、需适时进行言语点拨，需给足学生探索的时间和空间。老师用“在这样的数学问题中，我们还可以研究些什么呢”直接引领学生转向“平移法和平移的次数”两个概念，并用“导学单”不断把探索引向深入，让学生的合作探究有更明确的方向。这样安排，容易激活学生的潜能，便于学生形成解决问题的策略，形成独特的体验，思维不断得到升华。

（三）类比覆盖现象，让学生的探索更有成就感

研究现象，更多的是为了找到规律，并运用规律解决实际问题。教师设计了3个追问：（1）“拿相邻的2个数是否也可以采用平移的方法？”（2）对比两次研究结果，你有什么想法？这是偶然的巧合还是必然的联系呢？（3）如果拿相邻的4个数，需要平移几次？可以得到几种不同的拿法？拿相邻的5个数呢？教师一系列的追问与点拨，再移再比，类推规律，总结算法，无不体现出教师的别具匠心。教师的精彩之处，就是不断启迪学生的智慧，让学生获得前所未有的成就感。

（四）“内化”覆盖规律，让学生的运用更有生活感

有位教育家说过：每个人都希望自己是个探索者、成功者，在学生的世界里，这种希望更加迫切和强烈。学以致用，是学生最开心的事。本课的练习非常有层次感，能满足每个学生的学习需求。基本练习只为巩固学习的规律；变式练习通过不同情况的观察分析，找到条件之间的异同点，深化对规律的理解和运用；拓展练习，让学生有“跳一跳才能摘到果子”的感觉。细品练习，从基础到提高、从简单到复杂，层层递进，而整个的练习设计紧紧围绕解决生活中的实际问题，让学生的学习更有生活感。endprint