点击几何光学难题的求解策略

杨丽芬 孙国标

（1.绍兴市鲁迅中学，浙江 绍兴 312030；2.绍兴市柯桥中学，浙江 绍兴 312030）

几何光学试题通常以折射率为核心，考查光的反射、折射、全反射、色散等知识.在高三复习中，笔者发现有些光学试题综合度大，数学要求高、灵活性强，学生求解较为困难.下面笔者归纳了求解几何光学难题的4种策略，但求予读者以点滴启发.

图1

1 勤作光路，寻求角度关系

例1.如图1所示，两块相同的玻璃等腰三棱镜ABC置于空气中，两者的AC面相互平行放置，由红光和蓝光组成的细光束平行于BC面从P点射入，通过两棱镜后，变为从a、b两点射出的单色光，对于这两束单色光

（A）红光在玻璃中传播速度比蓝光大.

（B）从a点射出的为红光，从b点射出的为蓝光.

（C）从a、b两点射出的单色光不平行.

（D）从a、b两点射出的单色光仍平行，且平行于BC.

图2

解析：由于红光在玻璃中的折射率小于蓝光的折射率，在玻璃中传播速度为v＝，因此（A）选项不难判断是正确的.本题的难点在于：红光与蓝光出射时是否平行？直接观察不易得到结果，但若能作出光路图，找到角度关系，问题便迎刃而解.

作出某一颜色光的光路如图2所示，由几何关系得，θ2＋θ3＝∠A，θ6＋θ7＝∠A，又因为sinθ1＝nsinθ2，nsinθ3＝sinθ4，θ4＝θ5，sinθ5＝nsinθ6，nsinθ7＝sinθ8，从而得到θ3＝θ6，θ2＝θ7，θ1＝θ8，即出射光与入射光平行.又因为蓝光折射率大，因此出射时红光应在蓝光的右侧且平行射出，故正确选项为（A）、（B）、（D）.

思路点拨：画光路图是求解几何光学的问题的基本策略，而且应“边作图边找几何关系”.

2 巧用对称，转换光路

例2.截面为等腰直角三角形的棱镜称为全反射棱镜，如图3所示，由a、b两束单色光组成的复色 光沿PO方向斜射向一全反射棱镜ABC的BC面，经AB、AC面反射后从BC面射出.已知a光的频率小于b光的频率，棱镜对a、b单色光的折射率均大于.则下列说法正确的是

（A）经BC面射出的a、b光一定都与OP方向平行.

（B）经BC面射出的a光位置比b光更靠近O点.

（C）a、b光在AB、AC面上一定都会发生全反射.

（D）a、b两束光从BC射入到BC射出的路程相同.

图3

图4

解析：与上例的方法相同，根据几何关系，作光路如图4所示，第1次折射的折射光线应与第2次折射的入射光线平行，则得到出射光线应与入射光线平行，且a光的折射率小于b光的折射率，因此a光第一次折射的折射角应大于b光，作出光路如图4中虚线所示，故a更靠近O点，故（A）（B）正确.而各色光在全反射棱镜的的临界角均小于45°，故AB面反射时的入射角为45°＋θ2，可以发生全反射，而AC面反射时的入射角为45°-θ2，不一定可以发生全反射，故（C）选项错误.

但本题的难点在于（D）选项，a、b两束光从BC射入到BC射出的路程是否相同？有学生从光路图中粗略地可以看出两路程不相同，但没有根据.其实，如果我们利用对称性，转换光路，问题便迎刃而解.

如图5所示，作△AB′C，使其与△ABC关于AC 对称，作△BB′C′，使其与△BB′C 关于BB′对称.对b光而言，将DE光线延长交B′C于G，由几何关系不难证明EF和EG关于AC对称，因此可以将光线DEF等效为DEG，同理将OD延长，交B′C′于H点，由几何关系得DH与DG关于BB′对称，因此可以将光线ODEG等效为ODH，同理a光走过的路程可以等效为OH′，所以a光走过的路程长，（D）选项错误.

图5

思路点拨：在研究光的反射时，利用对称性，将反射光线作镜面对称，可以将光线等效成直线传播，在研究镜面间多次反射问题时极为方便.

3 分析特殊光线，明确光路走向

例3.如图6所示，半径为R的1／4透明圆柱体固定于地面上，透明体对红光的折射率为n.今让一束平行于地面的红光射向圆柱体的左侧，经折射后红光照射到圆柱体右侧的地面上.下列说法中正确的是

（A）红光能从圆柱体的右侧的圆弧面上的任一点射出，因为折射，出射后的光线不是平行光.

（B）从圆柱体的圆弧面上射出的光线能将圆柱体右侧的地面照亮，且照亮的区域比阴影长度长.

（C）折射率n越小，圆柱体右侧地面上的阴影长度越长.

（D）折射率n越大，圆柱体右侧地面上的阴影长度越长.

图6

解析：作光路如图7所示，但解本题的困惑在于：入射角小于临界角C的入射光，折射角应小于90°，那折射光与地面的交点应在A点的右侧还是左侧？从图7分析似乎都是可以的，那（B）、（C）、（D）3选项便无法确定.其实，我们可以分析一些特殊光线，便可明确光路走向.我们来分析入射角趋向于0°的光线，其折射角也应趋向于0°，即光射向无穷远，因此说明入射角越小，射到地面上越远，因此照亮地面的区域应在A的右侧，阴影区域应A的左侧，正确光路为图7（a）所示.故（B）选项错误；而且n越小，临界角越大，阴影长度越长.故正确选项为（C）.

图7

思路点拨：一束光在传播时，其边界光线因处于特殊位置而成为我们关注的点.当涉及求光照范围或宽度等问题时，瞄准边界光线常常为我们快速解题打开方便之门.

4 定量分析，显现渐变过程

例4.一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出.已知该玻璃对红光的折射率为1.5.设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则在θ从0°逐渐增大至90°的过程中

（A）t1始终大于t2.

（B）t1始终小于t2.

（C）t1先大于后小于t2.

（D）t1先小于后大于t2.

解析：作出光路图如图8所示，出射光线与入射光线平行，而且红光在玻璃中走过的路程长，但红光在玻璃中的传播速度也比蓝光大，因此在玻璃中的传播时间没法比较.当然，我们可以采用上例的方法，考虑特殊光线，当入射角为0°时，折射角也为0°，因此光走过的路程相同，则红光在玻璃中的传播时间小于蓝光的传播时间，但是否当入射角增大的过程中一直如此呢？仅对特殊光线的分析不能得到清晰的答案，因此我们必须定量分析，给出传播时间t关于入射角的函数表达式，然后进行比较.

图8

设入射角为θ1，折射角为θ2，玻璃砖的厚度为d，某一色光在玻璃中的折射率为n，因此光在玻璃中传播的时间为

因为已知该玻璃对红光的折射率为1.5，当然玻璃对蓝光的折射率应大于1.5.因为由折射定律得sinθ1＝nsinθ2.因为n＞，所以θ2＜45°，所以θ越大，sin2θ2越大.

对于同样的入射角，n越大，θ越小，时间就越长，因此在θ从0°逐渐增大至90°的过程中，红光的传播时间始终小于蓝光的传播时间，故（B）选项正确.

思路点拨：在几何光学中，经常研究某些极值或者两种色光比较等问题，我们可以写出所求量与变量之间的函数关系，利用函数的单调性和极值进行求解.