关于焦耳定律实验的理论分析

李 钢

（苏州第三十中学，江苏 苏州 215008）

焦耳定律是中学物理中重要的电学定律，Q＝I2Rt是能量转换中电流通过电阻时做功将电能转换为内能的定量计算公式.对于焦耳定律的演示实验，用传统的煤油吸热法时间较长，长年以来很多教师或实验研究人员试图改进或更新焦耳定律的演示实验.

改进的方法包括以下几个方面：

（1）改进温度的显示方法，例如相同的瓶子装满煤油，瓶塞上插相同内径的细玻璃管，通过玻璃管中液面上升的多少反映热量的多少.

（2）提高电阻丝的发热功率，例如适当提高电源的电压.

（3）减少吸热介质的热容量.例如空气吸热法（图1），用等量的空气替代煤油……

图1

这些方法都是用等质量的吸热介质吸取不同电阻丝整体的热量，通过比较介质温度变化的多少来反映热量的多少.我把它们归类为整体吸热法.

更新的方法包括：

（1）将两段电阻丝分别做成螺旋状并将火柴头插入，通电后看哪个电阻圈里的火柴先点燃.

（2）用油膏将小木杆粘在不同电阻丝下，通电后看哪根电阻丝下的小木杆因油膏的熔化先掉下来（图2）.

图2

（3）将蜡纸或塑料膜覆盖在电阻丝上，看与电阻丝接触的部分哪个先熔化……

因为这些方法都不是吸取整个电阻丝的热量，我把这些归类于局部吸热法.下面就这两类方法的理论依据进行分析.

1 整体吸热法

整体吸热法都是通过比较等质量的相同材料的吸热介质，吸收整个电阻丝的热量后，温度变化的多少来间接反映电阻丝放出热量的多少.

在实验过程中，我们可以把电流产生的热量机械地分为3个部分：电阻丝吸收电热，温度升高；吸热介质吸收电阻丝的热量，温度升高；散失的热量，例如瓶子、空气吸收的热量.

实际上我们实验演示的是吸热介质吸热升温的初始阶段，散失的热量占的比重很小，为了讨论方便，将这部分忽略不计.这样电流产生的热量Q就分为2部分：电阻丝吸收的热量Q1，介质吸收的热量Q2.

其中c、m、ΔT各表示它们的比热、质量和温度的变化量.

假设吸热介质的热容量c2m2远大于电阻丝的热容量c1m1，Q1忽略不计.这样电流产生的热量就近似地看作全部被吸热介质吸收，介质温度的升高量ΔT2可推导如下.

可见介质温度的升高量与电流的平方、电阻丝的阻值和通电时间成正比，这就是煤油吸热法的理论依据.煤油吸热法中煤油有较大的质量，又可以通过对流，将电阻丝供给的热量传给全部煤油，因此热容量较大，符合假设的要求.

空气吸热法也是吸收整个电阻丝的热量，但由于空气的热容量不是很大，实验中可能出现一些枝节，在第3部分再进行分析.

2 局部吸热法

以油膏熔化法为例.暂且假设粘住小木杆的油膏质量相等，与电阻丝接触的长度相等，小木杆也一样重.看看下面的分析.

因为接触部分电阻丝ΔL的阻值不同，通以相同的电流，同样时间内产生的热量不同，电阻大的产生的热量ΔQ多，油膏吸收的热量就多，升温多，就会先熔化，小木杆就先掉下来.整根电阻丝的热量Q＝∑ΔQ，因为每小段的长度相同，累积成同样长度的电阻丝，不就能说明整根电阻丝电阻大的热量多吗.

其实不然.问题是为什么一定要规定同样长度呢？在相同情况下，电流产生的热量不论材料、粗细、长短，只和阻值有关，不同长度不是同样可以达到电阻值不同吗？这样的分析用的是积分法，积分是有定义域的，不是同样长度又会怎么样呢？例如一根单位长度的电阻大，但很短，整体电阻小；另一根单位长度的电阻小，但很长，整体电阻大.不就变成电流和通电时间相同时，整体电阻小的反而产生的热量多了吗？

局部的热量不能反映整体的热量，因此这种理论依据是不能成立的.

再看看实际情况.用额定电压都是220V的1000W和300W的电炉丝（材料相同、粗细不同），仿照此类实验（图3）.

图3

实验1.将长度相同、粗细不同的电炉丝串联（细的电阻大），接通电路后粘在细电阻丝上的油膏先熔化.似乎能说明电流和时间相同时整体电阻大的热量多.

实验2.将较长的粗电炉丝与很短的细电炉丝串联（粗的电阻大），接通电路后还是粘在细电阻丝上的油膏先熔化.不就变成整体电阻小的热量多了吗？

实验3.将粗细相同的电炉丝剪成长短不同的两段再串联（长的电阻大），接通电路后油膏的熔化基本不分先后.不就变成热量与整体阻值的大小无关了吗？

这是为什么呢，分析如下.

（1）油膏的熔化反映的是接触点的温度，并不反映电阻丝的总体热量.

油膏与电阻丝接触部分本来质量就极小，又是热的不良导体，因此油膏吸热部分的热容量极小.油膏的热容量C2m2远小于电阻丝的热容量C1m1，Q2忽略不计.这样电流产生的热量就近似地全部被电阻丝吸收.又由于油膏的热容量太小，温度极容易升高，温度的变化几乎与电阻丝温度的变化同步，ΔT2≈ΔT1，油膏的熔化取决于温度，因此熔化的快慢实际上反映的是电阻丝温度变化的快慢.

（2）电阻丝温度的变化并不取决于电阻丝整体的电阻值.

电阻丝温度的变化量ΔT可推导如下（热量Q，电流I，通电时间t，电阻R，比热c，质量m，长度L，横截面积S，电阻率ρ阻，密度ρ密）.

特别注意到，ΔT与导体横截面积的平方成反比，因此电阻丝的粗细对温度的升高十分相关.老式的电热丝电炉，工作时电热丝有的地方红得厉害，有的地方比较暗淡，就是因为粗细不匀.灯泡钨丝断了，搭丝后再用，总是搭丝处再次烧断，就是因为搭丝处接触面积小，温度高.

现就以上推导的结论进行如下讨论和验证.

（1）在电流相同，通电时间相同，横截面积相同时，不同材料的电阻丝不论长短，只要比值大的温度就升高得多，即横截面积相同时，温度的升高只与材料有关，而与整个电阻丝的电阻值无关.

为了验证以上结论，笔者进行了以下实验：将直径都是0.3mm的长1m的镍铬丝（阻值约6Ω）和长1m的锰铜丝（阻值约3Ω），R镍＞R锰，拉直后钉在木板上，并用同一张塑料膜与两条电阻丝接触.将两条电阻丝串联后接上低压电源，塑料膜与镍铬丝接触的部分先开始熔化.改用0.5m长的镍铬丝（阻值约3Ω）与2m长的锰铜丝（阻值约6Ω）做相同的实验，还是与镍铬丝接触的塑料膜先开始熔化.

（2）在电流相同，通电时间相同时，相同材料的电阻丝，也不论电阻丝的长度如何，即不论电阻的大小如何，总是横截面积小的温度升高得多.

为了验证这个结论，笔者进行了以下实验：将长1m直径0.3mm的镍铬丝（6Ω左右）与长1m直径0.5mm的镍铬丝（2Ω左右）串联，通电后，与0.3mm镍铬丝接触的塑料膜先开始熔化.再将长2m直径0.5mm的镍铬丝（4Ω左右）与很短的长20cm直径0.3mm的镍铬丝（1Ω左右）串联，通电后还是与0.3mm镍铬丝接触的塑料膜先开始熔化.

（3）在电流相同，通电时间相同时，相同材料，同样粗细的电阻丝，不论电阻大小如何，温度的升高总是相同的.将1m长的镍铬丝接在电路中（可以看作电阻小的一段与电阻大的一段串联），在不同的部位覆盖塑料膜.通电后，可以看到与不同部位电阻丝接触的塑料膜同时开始熔化.

（4）在研究电热与电流关系的实验中，在阻值相同的情况下，也不一定是电流大的电阻丝温度升高快.例如同样材料的电阻丝R1、R2.R1长L、横截面积S，R2长4L、横截面积4S，R1＝R2.R1中通以电流I，R2中通以电流2I，在同样的时间里，R2产生的热量多，Q2＝4Q1，但温度的升高ΔT2＝ΔT1／4，电流小的电阻丝温度反而高.因为R2的体积是R1的16倍，质量16倍，4倍的热量分给16倍的质量，升高的温度当然就少了.

由以上分析可见，用局部吸热法演示焦耳定律的理论依据是站不住脚的.

3 空气吸热法的分析

笔者把空气吸热法归类于整体吸热法，是因为空气吸收的是电阻丝整体的热量且有一定的热容量.但毕竟空气的热容量并不是很大，演示过程中可能出现一些枝节：在演示电热与电阻的关系时，一开始是电阻大的一边升温快，但过了较短的时间减缓了，电阻小的一边相对来说反而快些.最后两边温度基本持平，这又是为什么呢？

空气温度的变化大体分为3个阶段：开始阶段，容器内空气与外界空气的温差较小散热较少，温度近似线性上升（图4中0～t1）.随着温度的升高，散热加快，升温减缓（图4中t1～t2）.当吸收的热量与散失的热量相等时，达到热平衡，温度不再变化.由于空气的热容量较小，整个过程时间不长.

图4

在图1空气吸热法的演示中，两边电阻丝的材料和粗细是相同的，只是长度不同.根据前面的分析，在电流相同的情况下，电阻丝的升温相同，由于电阻大的一边，电阻丝较长，供给的热量多，空气膨胀快，上升快.因此在第一时间段（图5中0～t1）电阻大的一边升温快（ΔT1＞ΔT2）.

图5

由于空气盒里空气的质量相对比较小，热容量较小，温度很容易升高.第2时间段（t1～t2）电阻大的一边进入第2阶段，而电阻小的一边仍处在第1阶段，造成电阻小的一边升温快的假像（ΔT1′＜ΔT2′）.

经过一段时间以后两边都达到热平衡，两边空气的温度都与电阻丝基本同步.根据上面的分析，两边电阻丝的温度是相同的，空气的热膨胀相同，结果两边的液面基本相同.

因此在进行该实验时，应掌握在第1时间段，观察到液面上升快慢不同后就结束演示，否则出现后面的情况很难对学生解释.

由于影响实验的因素很多，以上分析虽然力求详实，但难免有疏漏甚至有误，望共同探讨.